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    一類高階線性變系數(shù)常微分方程的通解

    2011-11-22 01:38:56肖建中劉佳音
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2011年4期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)系有形信息工程

    肖建中, 劉佳音

    (南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,南京 210044)

    一類高階線性變系數(shù)常微分方程的通解

    肖建中, 劉佳音

    (南京信息工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,南京 210044)

    利用升階法研究了一類高階線性變系數(shù)常微分方程,給出了齊次方程的通解公式,并討論了非齊次方程待定的特解.

    高階線性變系數(shù)常微分方程;升階法;通解;特解

    我們知道,對(duì)于常系數(shù)線性微分方程,即使是高階的,可通過特征方程求齊次方程的通解,可用常數(shù)變易法、待定系數(shù)法、算子解法、拉普拉斯變換法等方法求特解.但是對(duì)于變系數(shù)線性微分方程,尤其是高階的,一般沒有確定的解法,求解的基本原則是降階[1-4].一般來說,低階方程的求解比高階方程的求解要簡單些,但不盡然,有時(shí)通過對(duì)方程求導(dǎo)使方程的階升高(稱為“升階法”),反而使方程求解變得簡單.在非齊次線性微分方程的常系數(shù)情形,文[5-7]介紹了求得特解的升階法,有時(shí)確實(shí)比待定系數(shù)法等方法簡單.在線性微分方程的變系數(shù)情形,文[8]給出了用升階法求解的幾個(gè)例子.下述例子就是文[8]給出的:

    求解方程x2y″-2xy′+2y=0.對(duì)此方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得x2y?=0,即y?=0.由此得y=c0+c1x+c2x2,代入原方程,得c0=0,故原方程的通解為y=c1x+c2x2.

    受此例的啟發(fā),本文探求可用升階法簡便求解的高階線性變系數(shù)微分方程類.分析上述例子的系數(shù)函數(shù)間關(guān)系,一個(gè)自然的問題是:下述一般形式的方程(p(x)≠0).

    用升階法是否可解?

    本文給予此問題明確的回答.對(duì)方程(1)給出了求解公式;對(duì)方程(2)相應(yīng)于f(x)的不同情形討論了特解的待定形式.由于方程(2)是線性的,故方程(2)的通解可表示為方程(1)的通解與方程(2)的特解之和,從而方程(2)的通解可求出.本文最后給出了所得結(jié)果的一些應(yīng)用實(shí)例.

    以下記L[y]=p(x)y(n)+(-1)1p′(x)y(n-1)+…+(-1)np(n)(x)y,方程(1)即L[y]=0,方程(2)即L[y]=f(x).

    (a)若β=0,則方程(1)的通解為

    這里ci(i=0,1,…,n)為n+1個(gè)常數(shù),其中n個(gè)是任意的.

    (a)若αn+1-(-β)n+1≠0,則方程(2)有形如y(x)=Qm(x)eαx+Cy0(x)的特解,其中Qm(x)為待定的次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式,C為待定的常數(shù).

    (b)若α為λn+1-(-β)n+1=0的j重根(j≥1),則方程(2)有形如y(x)=xjQm(x)eαx+Cy0(x)的特解,其中Qm(x)為待定的次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式,C為待定的常數(shù).

    證對(duì)方程(1)兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得到方程(2)的升階方程為

    現(xiàn)考察方程(2)的解與方程(7)的解之間的關(guān)系.顯然方程(2)的具有n+1階導(dǎo)數(shù)的解必是方程(7)的解.設(shè)y=h(x)是方程(7)的解,則p(x)h(n+1)(x)+(-1)np(n+1)(x)h(x)=f′(x),對(duì)此式取從x0到x的積分(x0為p,f,h公共定義域中某固定的點(diǎn)),有

    方程(8)為非齊次的常系數(shù)線性微分方程,由特解理論[4],若αn+1-(-β)n+1≠0,則方程(8)有形如y1(x)=Qm(x)eαx的特解;若α為λn+1-(-β)n+1=0的j重根(j≥1),則方程(8)有形如y1(x)=xjQm(x)eαx的特解.于是根據(jù)方程(2)的解與方程(7)的解之間的關(guān)系得到(a)與(b).

    實(shí)際求解中,可采用先求方程(2)的升階方程的通解再代入方程(2)確定一個(gè)常數(shù)的方法.

    [1] 丁同仁,李承志.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1998.

    [2] 葉彥謙.常微分方程講義[M].2版.北京:人民教育出版社,1982.

    [3] 王柔懷,伍卓群.常微分方程講義[M].北京:人民教育出版社,1963.

    [4] 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.常微分方程[M].2版.北京:高等教育出版社,2005.

    [5] 朱靈.用升階法求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解[J].高等數(shù)學(xué)研究,2002,5(2):17-19.

    [6] 李青,徐崇志,胡漢濤.用升階法求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解[J].塔里木農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào),2003,15(1):24-25,57.

    [7] 梅宏.常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種求法——升階法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2003,6(2):22-23,47.

    [8] 屈英.一類常微分方程的解法[J].高等函授學(xué)報(bào),1999,12(1):13-14.

    The General Solutions of aclass of Higher-Order Linear Ordinary Differential Equations with Variable Coefficients

    XIAO Jian-zhong, LIU Jia-yin
    (Department of Mathematics,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

    aclass of higher-order linear ordinary differential equations with variable coefficients are studied by means of the order-increasing methods.The general solutions of homogeneous equations are given and the undetermined particular solutions of non-homogeneous equations are discussed.

    higher-order linear ordinary differential equations with variable coefficients;order-increasing methods;general solution;particular solution

    O175.1

    C

    1672-1454(2011)04-0182-04

    2008-10-08

    南京信息工程大學(xué)課程建設(shè)項(xiàng)目(JG032006J01)

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