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    關(guān)于非齊次樹(shù)上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強(qiáng)偏差定理

    2016-01-06 01:39:22金少華,趙玉姝,閆會(huì)強(qiáng)
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年3期

    關(guān)于非齊次樹(shù)上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強(qiáng)偏差定理

    金少華1,趙玉姝1,閆會(huì)強(qiáng)2,宛艷萍3

    (1.河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津300401;2. 河北工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,天津300401;

    3.河北工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院,天津300401)

    [摘要]樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.本文通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅,將Doob 鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究,研究給出了一類非齊次樹(shù)上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強(qiáng)偏差定理.

    [關(guān)鍵詞]非齊次樹(shù); 鞅; 馬氏信源; 強(qiáng)偏差定理

    [收稿日期]2015-03-30

    [基金項(xiàng)目]河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD2014051)

    [中圖分類號(hào)]O177.91[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

    1前言

    樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.Shi和Yang[1]研究給出了m根Cayley 樹(shù)指標(biāo)m階有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的一些極限性質(zhì). 文獻(xiàn)[2]研究給出了Bethe樹(shù)上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類強(qiáng)偏差定理.本文通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅,將Doob 鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究, 研究給出了一類非齊次樹(shù)上連續(xù)馬氏信源熵密度的若干強(qiáng)偏差定理.

    2定義

    設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)o的無(wú)限樹(shù),{Nn, n≥1}是一列正整數(shù)集,如果第n (n≥0)層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰,則稱T為廣義Bethe樹(shù)或廣義Cayley樹(shù).特別地,若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N,用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類得到模m的剩余類

    (0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},

    (1)={1,m+1,2m+1,3m+1,…,nm+1,…},

    ……………………

    (m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},

    當(dāng)n∈(i)時(shí),令

    Nn+1=αi(αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1),i=0,1,2,…,m-1,

    就得到了一類特殊的非齊次樹(shù)Tα0,α1,…αm-1.以下恒以T表示樹(shù)Tα0,α1,…αm-1,以Ln表示第n (n≥0)層上所有頂點(diǎn)的子圖,Tn表示含有從o頂點(diǎn)到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖.

    定義2.1設(shè){Xσ,σ∈T}是定義在概率空間{Ω,F(xiàn),P}上的取值于連續(xù)狀態(tài)(+,β(+))的任意信源,其聯(lián)合密度函數(shù)為

    f(XTn=xTn)=f(xTn).

    (1)

    設(shè)

    {P(X0,1∈A)},A∈β(+)

    (2)

    是{Xσ,σ∈T}的初始分布,并有正則條件概率族

    P(σ,S(σ);Xσ,A)=E[IA(XS(σ))|Xσ],?Xσ∈+, A∈B(+).

    (3)

    P(σ,S(σ);Xσ,A)=∫Af(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))dXS(σ),

    (4)

    則稱f(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))為轉(zhuǎn)移密度函數(shù),記

    f(σ,S(σ);Xσ,XS(σ))=fS(σ)(Xσ,XS(σ)).

    (5)

    設(shè)fS(σ)(Xσ,XS(σ))是{Xσ,σ∈T}的一列轉(zhuǎn)移密度函數(shù),初始分布對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)記為f0,則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布(2)與正則條件概率族(3)的在+上取值的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏信源.則{Xσ,σ∈T}的聯(lián)合密度函數(shù)為

    (6)

    設(shè)Q是(Ω,F(xiàn))上的另一概率測(cè)度,{Xσ,σ∈T}在Q下的聯(lián)合密度函數(shù)為

    (7)

    定義2.2設(shè)聯(lián)合密度函數(shù)f(XTn),g(XTn)均如前定義,令

    (8)

    稱φ(ω)為Q相對(duì)于P的樣本散度.

    定義2.3設(shè)λ為一實(shí)數(shù),{hk(x)}是定義在+上的一函數(shù)列,稱

    (9)

    為函數(shù)hk(Xξk)的Laplace變換.

    3主要結(jié)果及其證明

    引理3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為定義在概率空間(Ω,F(xiàn),P)上取值于連續(xù)狀態(tài)(+,β(+))的任意信源,其聯(lián)合密度函數(shù)由(1)式給出.f(XTn),g(XTn)與hk(x)均如前定義,φ(ω)如(8)式定義.令

    (10)

    則{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥1}在測(cè)度Q下為一非負(fù)鞅.

    證由(7)式,有

    (11)

    由(10)式,有

    tn(λ,ω)=tn-1(λ,ω)·In,

    (12)

    其中

    (13)

    (14)

    由(14)式,有

    E[tn(λ,ω)|σ(XTn-1)]=tn-1(λ,ω),

    所以{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥1}在測(cè)度Q下為一非負(fù)鞅.

    定理3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為定義在概率空間(Ω,F(xiàn),P)上取值于連續(xù)狀態(tài)(+,β(+))的任意信源,其聯(lián)合密度函數(shù)由(1)式給出.φ(ω)和hk(x)如前定義.若存在λ0>0,使得當(dāng)λ∈[-λ0,λ0]時(shí),(λ)有定義.令D={ω:φ(ω)<+∞}.若

    (15)

    (16)

    (17)

    其中

    (18)

    (19)

    并且

    (20)

    (21)

    證根據(jù)引理3.1及Doob鞅收斂定理,存在A(λ)∈F且P(A(λ))=1,使得

    (22)

    由(10)式和(22)式,對(duì)任意的λ∈[-λ0,λ0],有

    (23)

    于是由(8)式和(23)式,有

    (24)

    在(24)中取λ=0,有

    φ(ω)≥0,ω∈A(0)∩D.

    (25)

    (26)

    ω∈A(λ)∩D.(27)

    當(dāng)-λ0<λ<0時(shí),將(27)式兩邊同除以-λ,有

    ω∈A(λ)∩D.

    (28)

    (29)

    由于|hk(Xξk)|∈[0,+∞),則由(29)式,有

    (30)

    由(28)式及(30)式,有

    (31)

    (32)

    (33)

    (34)

    由(33)式,有

    (35)

    由(34)式和(35)式,有

    ω∈A*∩A(0)∩D.

    (36)

    因?yàn)镻(A*∩A(0))=1,故由(36)式,有(16)式成立.

    當(dāng)0<λ<λ0時(shí),將(27)式兩邊同除以-λ,有

    ω∈A(λ)∩D.

    (37)

    (38)

    由于|hk(Xξk)|∈[0,+∞),則由(38)式,有

    (39)

    由(37)式及(39)式,有

    (40)

    (41)

    (42)

    (43)

    由(42)式,有

    (44)

    由(43)式和(44)式,有

    (45)

    因?yàn)镻(A*∩A(0))=1,故由(45)式,有(17)式成立.

    [參考文獻(xiàn)]

    [1]Shi Z Y, Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree [J]. Statistics & Probability Letters, 2010, 80(15): 1223-1233.

    [2]Yang W G. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree [J]. Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.

    A Class of Strong Deviation Theorems of the Entropy Density

    of Continuous Markov Information Source on a Non-Homogeneous Tree

    JINShao-hua1,ZHAOYu-shu1,YANHui-qiang2,WANYan-ping3

    (1. College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China;

    2. College of Economics and Business Administration, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China;

    3.School of Computer and Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401,China)

    Abstract:In recent years, tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The strong deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper, through constructing a non-negative martingale and applies Doob’s martingale convergence theorem to the research of a.e. convergence, a class of strong deviation theorems of the entropy density of continuous Markov information source on a non-homogeneous tree are given.

    Key words: non-homogeneous tree; martingale; Markov information source; strong deviation theorem

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