機(jī)械能教學(xué)需要注意的兩個(gè)易混淆問(wèn)題

于曉麗　吳偉

摘 要：物理教學(xué)中，機(jī)械能相關(guān)概念與應(yīng)用呈現(xiàn)出理解難度大，容易混淆的特點(diǎn)。文章針對(duì)機(jī)械能教學(xué)中兩個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，以例題區(qū)分論證了機(jī)械能守恒不等于機(jī)械能不變，以及給出在解決實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)如何恰當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能；動(dòng)能；勢(shì)能

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）10（S）-0042-3

能量問(wèn)題貫穿中學(xué)物理教學(xué)的始終。機(jī)械能作為最常見(jiàn)、最直觀、最基礎(chǔ)的能量，對(duì)初高中物理教學(xué)至關(guān)重要。但機(jī)械能教學(xué)中存在兩個(gè)容易混淆的問(wèn)題。下面給出具體例子進(jìn)行說(shuō)明。

1 機(jī)械能守恒≠機(jī)械能不變

人教版高中物理必修2中給出機(jī)械能守恒定律的定義：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能的保持不變，這叫做機(jī)械能守恒定律。重力、彈力做功與路徑無(wú)關(guān)，這時(shí)候可以適時(shí)引入保守力的概念，保守力是指做功只跟始末位置有關(guān)，跟路徑無(wú)關(guān)的力。因而機(jī)械能守恒定律的定義就意味著W外=0，W非保內(nèi)=0，則：E=E0。外力不做功保證系統(tǒng)與外界無(wú)能量交換；摩擦力不做功保證系統(tǒng)內(nèi)無(wú)機(jī)械能之外的能量轉(zhuǎn)化；只有保守內(nèi)力做功，系統(tǒng)內(nèi)必有動(dòng)能與勢(shì)能有相互轉(zhuǎn)化。因而，機(jī)械能守恒定律的物理實(shí)質(zhì)是：系統(tǒng)內(nèi)必有動(dòng)能與勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能恒定。機(jī)械能不變只要求系統(tǒng)的機(jī)械能數(shù)值總量保持不變，動(dòng)能、勢(shì)能可以均保持不變，也可以存在機(jī)械能之外的其他形式的能量間轉(zhuǎn)化。

例1 汽車以50千米每小時(shí)勻速在水平面運(yùn)行，問(wèn)汽車的機(jī)械能是否守恒？

分析 汽車始終在水平面勻速行駛，其動(dòng)能、重力勢(shì)能均保持不變，沒(méi)有動(dòng)能和勢(shì)能的互相轉(zhuǎn)化，不滿足機(jī)械能守恒的實(shí)質(zhì)，所以只能說(shuō)汽車的機(jī)械能不變，不能說(shuō)守恒。

例2 如圖1所示，不計(jì)阻力，小球下擺過(guò)程中小球機(jī)械能是否守恒？

圖1 小球下擺過(guò)程

分析 對(duì)小球而言，外力不做功，只有重力做功，整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能總量保持不變，符合機(jī)械能守恒的條件，所以機(jī)械能守恒。

例3 如圖2，在傾角為θ=37°的固定斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為m=10kg的物塊，物塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75，現(xiàn)用平行于斜面大小為60N的拉力F拉動(dòng)物塊沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，試判斷物塊的機(jī)械能是否守恒？

圖2 物體在粗糙斜面下滑過(guò)程

分析 1.對(duì)物塊受力分析，物塊受四個(gè)力的作用：G=mg=100N，F(xiàn)N=Gcosθ=80N，

f=μFN=60N，F(xiàn)=60N 則： F=f

2.對(duì)力做功分析：

支持力FN不做功，拉力F、摩擦力f和重力G做功。

重力G做功：保守力做功，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化；

拉力F做功：把其他形式的能量轉(zhuǎn)化成機(jī)械能，摩擦力f做功把這部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成分子熱運(yùn)動(dòng)能量，只是：機(jī)械能的增加=機(jī)械能的減少（因?yàn)镕=f）。

3.物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能總量保持不變，但存在機(jī)械能之外的其他形式的能量間的轉(zhuǎn)化。所以只能說(shuō)物塊的機(jī)械能保持不變，不能說(shuō)物塊的機(jī)械能守恒。很多人把此題看成相當(dāng)于只有重力做功的看法是不合適的。

實(shí)際教學(xué)中可以從上述三道例題出發(fā)，總結(jié)出機(jī)械能守恒與機(jī)械能不變的區(qū)別與聯(lián)系，如圖3：

因而教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)只有同時(shí)具備機(jī)械能守恒條件、有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化以及機(jī)械能總量不變這三個(gè)因素，談機(jī)械能守恒才是科學(xué)的。而機(jī)械能不變只需要機(jī)械能總量不變這一個(gè)方面即可。

2 動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒定律

在解決關(guān)于機(jī)械能的實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)一般情況下三個(gè)定律可以通用，因?yàn)槿弑举|(zhì)是相同的。但遇到一些特殊的問(wèn)題，比如下面給出的三道例題，學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用這三個(gè)定律解題時(shí)就很容易混淆，因而教學(xué)中需要給出較好地區(qū)分方法，下面舉例說(shuō)明。

動(dòng)能定理

例1： 如圖4所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，在光滑的水平軌道上以速度v作直線運(yùn)動(dòng)。今在車頂前緣放上一質(zhì)量為m的物體，物體相對(duì)于地面的初速度為零。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為μ，為使物體不致從車頂上跌下去，問(wèn)車頂?shù)拈L(zhǎng)度l最短應(yīng)為多少？

圖4 動(dòng)能定理應(yīng)用例題

分析 由于物體與小車之間摩擦力做功的結(jié)果，最后使得物體與小車具有相同的速度，這時(shí)物體相對(duì)于小車為靜止而不會(huì)跌下去。此題物體和小車的勢(shì)能沒(méi)有變化，僅需考慮他們的動(dòng)能的變化以及系統(tǒng)內(nèi)部小車與物體間摩擦力——非保守力做功問(wèn)題，因而運(yùn)用動(dòng)能定理。

在這一過(guò)程中，以物體和小車為一系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒，有：Mν=（m+M）V

而m相對(duì)于M的位移為l，如圖4所示，運(yùn)用動(dòng)能定理，則一對(duì)摩擦力的功為

-μmgl= （m+M）V2- Mν2

聯(lián)立以上兩式即可解得車頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度為：

l=

功能原理

例2：如圖5，一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面傾角為θ，今將物塊由彈簧的自然長(zhǎng)度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？

圖5 功能原理應(yīng)用例題

分析 以彈簧、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)，取彈簧自然伸長(zhǎng)處為原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸正向，且以原點(diǎn)為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能零點(diǎn)。此題存在勢(shì)能、動(dòng)能的變化，且存在系統(tǒng)內(nèi)部非保守力——摩擦力做功，因而運(yùn)用功能原理。彈簧彈力和重力是保守力，不需考慮做功問(wèn)題。

則在物塊向上滑至x處時(shí)，有

[ mv2+ kx2-mgxsinθ]-[ kl2-mglsinθ]=-μmgcosθ（l-x）]

物塊靜止位置應(yīng)該：v=0，故有

kx2-mgx（sinθ+μcosθ）+mgl（sinθ+μcosθ）- kl2=0

解此二次方程，得x= -l，另一根x=l，即初始位置，舍去。

機(jī)械能守恒定律

例3：如圖6，有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P， 另一端系一質(zhì)量為m 的小球，小球穿過(guò)圓環(huán)并在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)不計(jì)摩擦。開(kāi)始小球靜止于點(diǎn) A， 彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑R； 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí)，小球?qū)A環(huán)沒(méi)有壓力。求彈簧的勁度系數(shù)。

圖6 機(jī)械能守恒定律應(yīng)用例題

分析 以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，此題存在動(dòng)能、勢(shì)能的變化，且系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功，所以用機(jī)械能守恒定律。

∵ 從A到B：只有保守內(nèi)力（彈簧彈力、重力）做功

∴ 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 EB=EA

取圖中點(diǎn) B 為重力勢(shì)能零點(diǎn)

即 mv + kR2=mgR（2-sin30°）+0

又：kR-mg=m ，所以 k=

實(shí)際教學(xué)中可以從上述三道例題出發(fā)，給出一般情況下在解決機(jī)械能相關(guān)問(wèn)題時(shí)究竟優(yōu)先選取何種定律的方法，主要從關(guān)注系統(tǒng)內(nèi)何能變化、系統(tǒng)中何力做功兩個(gè)角度來(lái)判定，表3。

表3 “動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒定律”的例題分析

參考文獻(xiàn)：

[1]許慧. 高中物理能量相關(guān)知識(shí)的教學(xué)研究[D]. 蘇州大學(xué)碩士學(xué)位論文， 2008.

[2]李慶國(guó). 機(jī)械能守恒嗎？——對(duì) “機(jī)械能守恒定律” 幾種錯(cuò)誤理解的討論[J]. 物理教學(xué)探討： 中學(xué)教學(xué)教研專輯，2010，（6）：39.

[3]吳吉成.“機(jī)械能守恒”與“機(jī)械能不變”是一回事嗎？[J].高考：理化生，2012，（Z2）：101.

[4]任炳杰.動(dòng)能定理，功能原理和機(jī)械能守恒定律[J].中學(xué)物理：高中版，2013，（12）： 25.

（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：物理教學(xué)中，機(jī)械能相關(guān)概念與應(yīng)用呈現(xiàn)出理解難度大，容易混淆的特點(diǎn)。文章針對(duì)機(jī)械能教學(xué)中兩個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，以例題區(qū)分論證了機(jī)械能守恒不等于機(jī)械能不變，以及給出在解決實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)如何恰當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能；動(dòng)能；勢(shì)能

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）10（S）-0042-3

能量問(wèn)題貫穿中學(xué)物理教學(xué)的始終。機(jī)械能作為最常見(jiàn)、最直觀、最基礎(chǔ)的能量，對(duì)初高中物理教學(xué)至關(guān)重要。但機(jī)械能教學(xué)中存在兩個(gè)容易混淆的問(wèn)題。下面給出具體例子進(jìn)行說(shuō)明。

1 機(jī)械能守恒≠機(jī)械能不變

人教版高中物理必修2中給出機(jī)械能守恒定律的定義：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能的保持不變，這叫做機(jī)械能守恒定律。重力、彈力做功與路徑無(wú)關(guān)，這時(shí)候可以適時(shí)引入保守力的概念，保守力是指做功只跟始末位置有關(guān)，跟路徑無(wú)關(guān)的力。因而機(jī)械能守恒定律的定義就意味著W外=0，W非保內(nèi)=0，則：E=E0。外力不做功保證系統(tǒng)與外界無(wú)能量交換；摩擦力不做功保證系統(tǒng)內(nèi)無(wú)機(jī)械能之外的能量轉(zhuǎn)化；只有保守內(nèi)力做功，系統(tǒng)內(nèi)必有動(dòng)能與勢(shì)能有相互轉(zhuǎn)化。因而，機(jī)械能守恒定律的物理實(shí)質(zhì)是：系統(tǒng)內(nèi)必有動(dòng)能與勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能恒定。機(jī)械能不變只要求系統(tǒng)的機(jī)械能數(shù)值總量保持不變，動(dòng)能、勢(shì)能可以均保持不變，也可以存在機(jī)械能之外的其他形式的能量間轉(zhuǎn)化。

例1 汽車以50千米每小時(shí)勻速在水平面運(yùn)行，問(wèn)汽車的機(jī)械能是否守恒？

分析 汽車始終在水平面勻速行駛，其動(dòng)能、重力勢(shì)能均保持不變，沒(méi)有動(dòng)能和勢(shì)能的互相轉(zhuǎn)化，不滿足機(jī)械能守恒的實(shí)質(zhì)，所以只能說(shuō)汽車的機(jī)械能不變，不能說(shuō)守恒。

例2 如圖1所示，不計(jì)阻力，小球下擺過(guò)程中小球機(jī)械能是否守恒？

圖1 小球下擺過(guò)程

分析 對(duì)小球而言，外力不做功，只有重力做功，整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能總量保持不變，符合機(jī)械能守恒的條件，所以機(jī)械能守恒。

例3 如圖2，在傾角為θ=37°的固定斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為m=10kg的物塊，物塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75，現(xiàn)用平行于斜面大小為60N的拉力F拉動(dòng)物塊沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，試判斷物塊的機(jī)械能是否守恒？

圖2 物體在粗糙斜面下滑過(guò)程

分析 1.對(duì)物塊受力分析，物塊受四個(gè)力的作用：G=mg=100N，F(xiàn)N=Gcosθ=80N，

f=μFN=60N，F(xiàn)=60N 則： F=f

2.對(duì)力做功分析：

支持力FN不做功，拉力F、摩擦力f和重力G做功。

重力G做功：保守力做功，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化；

拉力F做功：把其他形式的能量轉(zhuǎn)化成機(jī)械能，摩擦力f做功把這部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成分子熱運(yùn)動(dòng)能量，只是：機(jī)械能的增加=機(jī)械能的減少（因?yàn)镕=f）。

3.物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能總量保持不變，但存在機(jī)械能之外的其他形式的能量間的轉(zhuǎn)化。所以只能說(shuō)物塊的機(jī)械能保持不變，不能說(shuō)物塊的機(jī)械能守恒。很多人把此題看成相當(dāng)于只有重力做功的看法是不合適的。

實(shí)際教學(xué)中可以從上述三道例題出發(fā)，總結(jié)出機(jī)械能守恒與機(jī)械能不變的區(qū)別與聯(lián)系，如圖3：

因而教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)只有同時(shí)具備機(jī)械能守恒條件、有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化以及機(jī)械能總量不變這三個(gè)因素，談機(jī)械能守恒才是科學(xué)的。而機(jī)械能不變只需要機(jī)械能總量不變這一個(gè)方面即可。

2 動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒定律

在解決關(guān)于機(jī)械能的實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)一般情況下三個(gè)定律可以通用，因?yàn)槿弑举|(zhì)是相同的。但遇到一些特殊的問(wèn)題，比如下面給出的三道例題，學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用這三個(gè)定律解題時(shí)就很容易混淆，因而教學(xué)中需要給出較好地區(qū)分方法，下面舉例說(shuō)明。

動(dòng)能定理

例1： 如圖4所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，在光滑的水平軌道上以速度v作直線運(yùn)動(dòng)。今在車頂前緣放上一質(zhì)量為m的物體，物體相對(duì)于地面的初速度為零。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為μ，為使物體不致從車頂上跌下去，問(wèn)車頂?shù)拈L(zhǎng)度l最短應(yīng)為多少？

圖4 動(dòng)能定理應(yīng)用例題

分析 由于物體與小車之間摩擦力做功的結(jié)果，最后使得物體與小車具有相同的速度，這時(shí)物體相對(duì)于小車為靜止而不會(huì)跌下去。此題物體和小車的勢(shì)能沒(méi)有變化，僅需考慮他們的動(dòng)能的變化以及系統(tǒng)內(nèi)部小車與物體間摩擦力——非保守力做功問(wèn)題，因而運(yùn)用動(dòng)能定理。

在這一過(guò)程中，以物體和小車為一系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒，有：Mν=（m+M）V

而m相對(duì)于M的位移為l，如圖4所示，運(yùn)用動(dòng)能定理，則一對(duì)摩擦力的功為

-μmgl= （m+M）V2- Mν2

聯(lián)立以上兩式即可解得車頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度為：

l=

功能原理

例2：如圖5，一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面傾角為θ，今將物塊由彈簧的自然長(zhǎng)度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？

圖5 功能原理應(yīng)用例題

分析 以彈簧、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)，取彈簧自然伸長(zhǎng)處為原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸正向，且以原點(diǎn)為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能零點(diǎn)。此題存在勢(shì)能、動(dòng)能的變化，且存在系統(tǒng)內(nèi)部非保守力——摩擦力做功，因而運(yùn)用功能原理。彈簧彈力和重力是保守力，不需考慮做功問(wèn)題。

則在物塊向上滑至x處時(shí)，有

[ mv2+ kx2-mgxsinθ]-[ kl2-mglsinθ]=-μmgcosθ（l-x）]

物塊靜止位置應(yīng)該：v=0，故有

kx2-mgx（sinθ+μcosθ）+mgl（sinθ+μcosθ）- kl2=0

解此二次方程，得x= -l，另一根x=l，即初始位置，舍去。

機(jī)械能守恒定律

例3：如圖6，有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P， 另一端系一質(zhì)量為m 的小球，小球穿過(guò)圓環(huán)并在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)不計(jì)摩擦。開(kāi)始小球靜止于點(diǎn) A， 彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑R； 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí)，小球?qū)A環(huán)沒(méi)有壓力。求彈簧的勁度系數(shù)。

圖6 機(jī)械能守恒定律應(yīng)用例題

分析 以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，此題存在動(dòng)能、勢(shì)能的變化，且系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功，所以用機(jī)械能守恒定律。

∵ 從A到B：只有保守內(nèi)力（彈簧彈力、重力）做功

∴ 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 EB=EA

取圖中點(diǎn) B 為重力勢(shì)能零點(diǎn)

即 mv + kR2=mgR（2-sin30°）+0

又：kR-mg=m ，所以 k=

實(shí)際教學(xué)中可以從上述三道例題出發(fā)，給出一般情況下在解決機(jī)械能相關(guān)問(wèn)題時(shí)究竟優(yōu)先選取何種定律的方法，主要從關(guān)注系統(tǒng)內(nèi)何能變化、系統(tǒng)中何力做功兩個(gè)角度來(lái)判定，表3。

表3 “動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒定律”的例題分析

參考文獻(xiàn)：

[1]許慧. 高中物理能量相關(guān)知識(shí)的教學(xué)研究[D]. 蘇州大學(xué)碩士學(xué)位論文， 2008.

[2]李慶國(guó). 機(jī)械能守恒嗎？——對(duì) “機(jī)械能守恒定律” 幾種錯(cuò)誤理解的討論[J]. 物理教學(xué)探討： 中學(xué)教學(xué)教研專輯，2010，（6）：39.

[3]吳吉成.“機(jī)械能守恒”與“機(jī)械能不變”是一回事嗎？[J].高考：理化生，2012，（Z2）：101.

[4]任炳杰.動(dòng)能定理，功能原理和機(jī)械能守恒定律[J].中學(xué)物理：高中版，2013，（12）： 25.

（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：物理教學(xué)中，機(jī)械能相關(guān)概念與應(yīng)用呈現(xiàn)出理解難度大，容易混淆的特點(diǎn)。文章針對(duì)機(jī)械能教學(xué)中兩個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，以例題區(qū)分論證了機(jī)械能守恒不等于機(jī)械能不變，以及給出在解決實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)如何恰當(dāng)?shù)剡x取動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律。

關(guān)鍵詞：機(jī)械能；動(dòng)能；勢(shì)能

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）10（S）-0042-3

能量問(wèn)題貫穿中學(xué)物理教學(xué)的始終。機(jī)械能作為最常見(jiàn)、最直觀、最基礎(chǔ)的能量，對(duì)初高中物理教學(xué)至關(guān)重要。但機(jī)械能教學(xué)中存在兩個(gè)容易混淆的問(wèn)題。下面給出具體例子進(jìn)行說(shuō)明。

1 機(jī)械能守恒≠機(jī)械能不變

人教版高中物理必修2中給出機(jī)械能守恒定律的定義：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能的保持不變，這叫做機(jī)械能守恒定律。重力、彈力做功與路徑無(wú)關(guān)，這時(shí)候可以適時(shí)引入保守力的概念，保守力是指做功只跟始末位置有關(guān)，跟路徑無(wú)關(guān)的力。因而機(jī)械能守恒定律的定義就意味著W外=0，W非保內(nèi)=0，則：E=E0。外力不做功保證系統(tǒng)與外界無(wú)能量交換；摩擦力不做功保證系統(tǒng)內(nèi)無(wú)機(jī)械能之外的能量轉(zhuǎn)化；只有保守內(nèi)力做功，系統(tǒng)內(nèi)必有動(dòng)能與勢(shì)能有相互轉(zhuǎn)化。因而，機(jī)械能守恒定律的物理實(shí)質(zhì)是：系統(tǒng)內(nèi)必有動(dòng)能與勢(shì)能的轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能恒定。機(jī)械能不變只要求系統(tǒng)的機(jī)械能數(shù)值總量保持不變，動(dòng)能、勢(shì)能可以均保持不變，也可以存在機(jī)械能之外的其他形式的能量間轉(zhuǎn)化。

例1 汽車以50千米每小時(shí)勻速在水平面運(yùn)行，問(wèn)汽車的機(jī)械能是否守恒？

分析 汽車始終在水平面勻速行駛，其動(dòng)能、重力勢(shì)能均保持不變，沒(méi)有動(dòng)能和勢(shì)能的互相轉(zhuǎn)化，不滿足機(jī)械能守恒的實(shí)質(zhì)，所以只能說(shuō)汽車的機(jī)械能不變，不能說(shuō)守恒。

例2 如圖1所示，不計(jì)阻力，小球下擺過(guò)程中小球機(jī)械能是否守恒？

圖1 小球下擺過(guò)程

分析 對(duì)小球而言，外力不做功，只有重力做功，整個(gè)過(guò)程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能總量保持不變，符合機(jī)械能守恒的條件，所以機(jī)械能守恒。

例3 如圖2，在傾角為θ=37°的固定斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為m=10kg的物塊，物塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.75，現(xiàn)用平行于斜面大小為60N的拉力F拉動(dòng)物塊沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，試判斷物塊的機(jī)械能是否守恒？

圖2 物體在粗糙斜面下滑過(guò)程

分析 1.對(duì)物塊受力分析，物塊受四個(gè)力的作用：G=mg=100N，F(xiàn)N=Gcosθ=80N，

f=μFN=60N，F(xiàn)=60N 則： F=f

2.對(duì)力做功分析：

支持力FN不做功，拉力F、摩擦力f和重力G做功。

重力G做功：保守力做功，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化；

拉力F做功：把其他形式的能量轉(zhuǎn)化成機(jī)械能，摩擦力f做功把這部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化成分子熱運(yùn)動(dòng)能量，只是：機(jī)械能的增加=機(jī)械能的減少（因?yàn)镕=f）。

3.物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，且機(jī)械能總量保持不變，但存在機(jī)械能之外的其他形式的能量間的轉(zhuǎn)化。所以只能說(shuō)物塊的機(jī)械能保持不變，不能說(shuō)物塊的機(jī)械能守恒。很多人把此題看成相當(dāng)于只有重力做功的看法是不合適的。

實(shí)際教學(xué)中可以從上述三道例題出發(fā)，總結(jié)出機(jī)械能守恒與機(jī)械能不變的區(qū)別與聯(lián)系，如圖3：

因而教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)只有同時(shí)具備機(jī)械能守恒條件、有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化以及機(jī)械能總量不變這三個(gè)因素，談機(jī)械能守恒才是科學(xué)的。而機(jī)械能不變只需要機(jī)械能總量不變這一個(gè)方面即可。

2 動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒定律

在解決關(guān)于機(jī)械能的實(shí)際物理問(wèn)題時(shí)一般情況下三個(gè)定律可以通用，因?yàn)槿弑举|(zhì)是相同的。但遇到一些特殊的問(wèn)題，比如下面給出的三道例題，學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用這三個(gè)定律解題時(shí)就很容易混淆，因而教學(xué)中需要給出較好地區(qū)分方法，下面舉例說(shuō)明。

動(dòng)能定理

例1： 如圖4所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，在光滑的水平軌道上以速度v作直線運(yùn)動(dòng)。今在車頂前緣放上一質(zhì)量為m的物體，物體相對(duì)于地面的初速度為零。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為μ，為使物體不致從車頂上跌下去，問(wèn)車頂?shù)拈L(zhǎng)度l最短應(yīng)為多少？

圖4 動(dòng)能定理應(yīng)用例題

分析 由于物體與小車之間摩擦力做功的結(jié)果，最后使得物體與小車具有相同的速度，這時(shí)物體相對(duì)于小車為靜止而不會(huì)跌下去。此題物體和小車的勢(shì)能沒(méi)有變化，僅需考慮他們的動(dòng)能的變化以及系統(tǒng)內(nèi)部小車與物體間摩擦力——非保守力做功問(wèn)題，因而運(yùn)用動(dòng)能定理。

在這一過(guò)程中，以物體和小車為一系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒，有：Mν=（m+M）V

而m相對(duì)于M的位移為l，如圖4所示，運(yùn)用動(dòng)能定理，則一對(duì)摩擦力的功為

-μmgl= （m+M）V2- Mν2

聯(lián)立以上兩式即可解得車頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度為：

l=

功能原理

例2：如圖5，一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面傾角為θ，今將物塊由彈簧的自然長(zhǎng)度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？

圖5 功能原理應(yīng)用例題

分析 以彈簧、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)，取彈簧自然伸長(zhǎng)處為原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸正向，且以原點(diǎn)為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能零點(diǎn)。此題存在勢(shì)能、動(dòng)能的變化，且存在系統(tǒng)內(nèi)部非保守力——摩擦力做功，因而運(yùn)用功能原理。彈簧彈力和重力是保守力，不需考慮做功問(wèn)題。

則在物塊向上滑至x處時(shí)，有

[ mv2+ kx2-mgxsinθ]-[ kl2-mglsinθ]=-μmgcosθ（l-x）]

物塊靜止位置應(yīng)該：v=0，故有

kx2-mgx（sinθ+μcosθ）+mgl（sinθ+μcosθ）- kl2=0

解此二次方程，得x= -l，另一根x=l，即初始位置，舍去。

機(jī)械能守恒定律

例3：如圖6，有一輕彈簧，其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P， 另一端系一質(zhì)量為m 的小球，小球穿過(guò)圓環(huán)并在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)不計(jì)摩擦。開(kāi)始小球靜止于點(diǎn) A， 彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑R； 當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí)，小球?qū)A環(huán)沒(méi)有壓力。求彈簧的勁度系數(shù)。

圖6 機(jī)械能守恒定律應(yīng)用例題

分析 以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，此題存在動(dòng)能、勢(shì)能的變化，且系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功，所以用機(jī)械能守恒定律。

∵ 從A到B：只有保守內(nèi)力（彈簧彈力、重力）做功

∴ 系統(tǒng)機(jī)械能守恒 EB=EA

取圖中點(diǎn) B 為重力勢(shì)能零點(diǎn)

即 mv + kR2=mgR（2-sin30°）+0

又：kR-mg=m ，所以 k=

實(shí)際教學(xué)中可以從上述三道例題出發(fā)，給出一般情況下在解決機(jī)械能相關(guān)問(wèn)題時(shí)究竟優(yōu)先選取何種定律的方法，主要從關(guān)注系統(tǒng)內(nèi)何能變化、系統(tǒng)中何力做功兩個(gè)角度來(lái)判定，表3。

表3 “動(dòng)能定理、功能原理與機(jī)械能守恒定律”的例題分析

參考文獻(xiàn)：

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[2]李慶國(guó). 機(jī)械能守恒嗎？——對(duì) “機(jī)械能守恒定律” 幾種錯(cuò)誤理解的討論[J]. 物理教學(xué)探討： 中學(xué)教學(xué)教研專輯，2010，（6）：39.

[3]吳吉成.“機(jī)械能守恒”與“機(jī)械能不變”是一回事嗎？[J].高考：理化生，2012，（Z2）：101.

[4]任炳杰.動(dòng)能定理，功能原理和機(jī)械能守恒定律[J].中學(xué)物理：高中版，2013，（12）： 25.

（欄目編輯 羅琬華）