基于多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的滾珠絲杠副橫向振動控制

第一作者王民男，博士，教授，1972年生

基于多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的滾珠絲杠副橫向振動控制

王民，李鳳蛟，昝濤，高相勝(北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術(shù)學院先進制造技術(shù)北京市重點實驗室,北京100124)

摘要：為克服滾珠絲杠副動態(tài)特性隨螺母沿絲杠運動不斷變化，導致絲杠振動難以控制問題，提出采用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器對滾珠絲杠副橫向振動進行控制。建立含多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的滾珠絲杠副在螺母及兩端軸承處彈性支撐條件的動力學模型，獲得不同螺母運動、受動態(tài)工作負載激勵時絲杠橫向振動頻率響應函數(shù)。以不同螺母位置絲杠橫向振動頻率響應函數(shù)幅值最大值最小化為優(yōu)化目標，獲得多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器最佳動力參數(shù)。仿真計算結(jié)果表明，采用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器進行絲杠橫向振動控制，其效果及魯棒性顯著。

關(guān)鍵詞：滾珠絲杠；振動控制；多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；參數(shù)優(yōu)化

基金項目：國家重大科技專項(2012ZX04010-021-04)

收稿日期：2014-03-19修改稿收到日期：2014-04-24

中圖分類號:TH113.1文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學

Bending vibration control of a ball screw via multi-tuned mass dampers

WANGMin,LIFeng-jiao,ZANTao,GAOXiang-sheng(Beijing Municipal Key Lab of Advanced Manufacturing Technology, College of Mechanical Engineering and Applied Electronic Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Abstract:A ball screw system is widely used as a mechanical transmission unit. As the structure of the ball screw is long and narrow, the high speed performance of the screw is affected by its bending vibration. In addition, the resonance frequencies of the screw exist in a big range due to the movement of its nut. To overcome this problem, multi-tuned mass dampers were used to control the bending vibration of the ball screw here. After establishing the dynamic model of the screw with multi-tuned mass dampers, the frequency response function for the bending vibration of the screw was calculated. To control the bending vibration of the screw with the variation of its nut position, a numerical optimization algorithm was used to obtain the optimal design parameters of the multi-tuned dampers. The simulation results showed that the multi-tuned mass dampers have a good performance to control the bending vibration of the screw.

Key words:vibration control; ball screw; multi-tuned mass damper; parametric optimization

作為數(shù)控機床伺服進給系統(tǒng)中應用最廣的機械傳動部件—滾珠絲杠副由絲杠、螺母組成，可實現(xiàn)絲杠旋轉(zhuǎn)運動到螺母直線運動轉(zhuǎn)換。由于絲杠結(jié)構(gòu)為細長軸，尤其在大型數(shù)控機床中，工作臺行程較長，絲杠長徑比很大，導致絲杠進給系統(tǒng)剛性及抗振性能下降，絲杠副臨界速度受橫向固有頻率限制難以提高。隨數(shù)控機床進給、切削速度不斷提高，對滾珠絲杠副的臨界轉(zhuǎn)速及抗振特性提出更高要求。為此，本文提出采用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Multiple Tuned Mass Damper, MTMD)設(shè)計抗振滾珠絲杠，在空心絲杠中設(shè)置多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器進行橫向振動控制，以提高滾珠絲杠副的抗振性能及臨界轉(zhuǎn)速。

多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器最早由Xu等[1]提出，與單個調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)相比，具有抗振頻帶寬、抑振效果及控制魯棒性好等優(yōu)點[2]，已成功用于橋梁等大型結(jié)構(gòu)振動控制及機床切削顫振控制[3-4]。滾珠絲杠副因絲杠螺母隨機床進給在整個行程上連續(xù)移動，導致絲杠固有頻率、振型均有較大改變。較單阻尼器，多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器因具有更好的控制頻帶寬、控制效果與魯棒性，非常適合于滾珠絲杠副的橫向振動控制。

多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器動力學參數(shù)較多，得到最佳控制效果需進行多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。已有研究對不同控制對象提出多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器參數(shù)優(yōu)化方法及優(yōu)化目標函數(shù)[5-9]。本文為獲得滾珠絲杠副橫向振動最佳控制效果，建立符合實際工況的滾珠絲杠副在螺母及兩端軸承處彈性支撐條件的動力學模型，獲得螺母位置受動態(tài)工作負載激勵時絲杠橫向振動頻率響應函數(shù)。并考慮螺母位置移動對絲杠橫向振動影響，獲得螺母位置沿絲杠軸向變動時的頻率響應函數(shù)最大值。以該最大值的最小化為優(yōu)化目標采用Minimax優(yōu)化方法[10]進行優(yōu)化，獲取考慮螺母位置變動下絲杠橫向振動頻率響應幅值最小化的多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的最佳動力參數(shù)。

1絲杠橫向振動振型函數(shù)

滾珠絲杠傳動系統(tǒng)中，絲杠與螺母及兩端軸承間均會產(chǎn)生接觸變形。本文將絲杠等效成歐拉伯努利梁，絲杠兩端軸承及螺母與絲杠間接觸剛度均用徑向支撐剛度表示，兩端軸承支撐剛度分別用kv1、kv2表示，螺母與絲杠的徑向支撐剛度用kv表示。以絲杠左端點為坐標原點，絲杠長度為L，螺母位置為L1,橫截面積為A，則絲杠模型簡化見圖1。

圖1　絲杠橫向振動支撐模型 Fig.1 Supporting model of transverse vibration of screw

梁橫向彎曲振動振型函數(shù)為

Y(x)=D1ch(λx)+D2sh(λx)+

D3cos(λx)+D4sin(λx)

(1)

式中：λ4=Αω2ρ/(ΕΙ)，ω為絲杠橫向振動固有頻率，ρ為絲杠密度，EI為彎曲剛度；D1～D4為模態(tài)振型系數(shù)。

據(jù)式(1)，O1O段振型函數(shù)為

Y1(x)=C1ch(λx)+C2sh(λx)+

C3cos(λx)+C4sin(λx)

(2)

OO2段振型函數(shù)為

Y2(x)=C5ch(λx)+C6sh(λx)+

C7cos(λx)+C8sin(λx)

(3)

據(jù)O1，O2點的支撐條件有

(4)

(5)

(6)

(7)

絲杠左右兩部分在O點連續(xù)，位移、彎矩、轉(zhuǎn)角相等，有

Y1(L1)=Y2(L1)

(8)

(9)

(10)

據(jù)O點剪力關(guān)系有

(11)

由式(1)～式(8)可推導出振型系數(shù)C1～C8，從而求出絲杠橫向振動振型函數(shù)。為便于分析計算，對絲杠振型函數(shù)進行質(zhì)量歸一化，絲杠k階模態(tài)質(zhì)量為

(12)

絲杠各階歸一化振型函數(shù)為

(13)

式中：φk,1，φk,2為絲杠O1O，OO2段k階振型函數(shù)；Ck,n(n=1,2…,8)為絲杠k階振型函數(shù)系數(shù)。

為表達簡單，用φk代替φk,1，φk,2。實際計算中通過判斷絲杠某點位置x與螺母位置L1的關(guān)系決定φk代表哪段的振型函數(shù)。

2絲杠橫向振動幅頻響應函數(shù)

含MTMD的滾珠絲杠副系統(tǒng)簡化模型見圖2。考慮實際中滾珠絲杠副外力為螺母處所受負載，設(shè)工作臺施加給螺母的橫向負載為簡諧力F(t)=F0eiωt，F(xiàn)0為幅值，ω為頻率。

圖2　含MTMD滾珠絲杠示意圖 Fig.2 Diagram of ball screw with MTMD

工作臺及螺母位置的移動會導致絲杠各階固有頻率、模態(tài)振型不斷變化。某螺母位置L1處、絲杠第k階模態(tài)動力學模型見圖3。

圖3　含MTMD滾珠絲杠系統(tǒng)第k階模態(tài)動力學模型 Fig.3 The dynamic model ofthe k th mode of the ball screw system with MTMD

則絲杠k階模態(tài)外力為

Fk(t)=F(t)φk(L1)

(14)

式中：φk(L1)為k階模態(tài)螺母處振型值。

含MTMD滾珠絲杠系統(tǒng)動力學方程為

F0φk(L1)eiωt

(15)

(16)

uj=yk,j+qkφ(aj)

(17)

式中：qk，uj，yk,j分別為絲杠k階模態(tài)位移、第j個阻尼器自身位移及與絲杠k階模態(tài)相對位移，j=1,…,n，n為阻尼器個數(shù)；ωk，ξk分別為絲杠k階模態(tài)固有頻率、阻尼比；mj，kj，cj分別為第j個阻尼器質(zhì)量、剛度及阻尼；φk(aj)為k階模態(tài)第j個阻尼器安裝處振型值。

(18)

(19)

考慮簡諧模態(tài)力Fk(t)=Fφk(L1)eiωt，k階模態(tài)響應位移及阻尼器與k階模態(tài)間相對位移表示為

qk(t)=Hqk(ω)eiωt

(20)

(21)

將式(20)、(21)代入式(18)、(19)，整理得滾珠絲杠第k階模態(tài)頻響函數(shù)為

(22)

螺母在L1處、絲杠軸向x處，含各階模態(tài)的橫向振動頻率響應函數(shù)為

H(ω,L1,x,mj,ωj,ξj)=

(23)

式中：mn為模態(tài)數(shù)量。

為分析方便，引入無量綱變量及頻響函數(shù)

vk=ω/ωk

(24)

γk,j=ωj/ωk

(25)

(26)

(27)

將無量綱變量代入式(22)得k階模態(tài)無量綱頻響函數(shù)為

(28)

為求出絲杠軸向不同處考慮前mn階模態(tài)的橫向振動頻響函數(shù)，引入無量綱變量為

v=ω/ω1

(29)

γj=ωj/ω1

(30)

βk=ωk/ω1

(31)

(32)

Hg=H/δst

(33)

為分析方便，與頻率相關(guān)的兩無量綱優(yōu)化參數(shù)ν，γj分別為頻率變量及各TMD固有頻率與所有L1取值時絲杠各階模態(tài)固有頻率中最低值之比。將無量綱變量代入式(23)，可得螺母在L1出、絲杠軸向x處橫向振動無量綱頻率響應函數(shù)為

Hg(v,L1,x,mj,γj,ξj)=

(34)

3MTMD優(yōu)化方法

絲杠副傳動時絲杠做旋轉(zhuǎn)運動，螺母帶動工作臺做直線運動。為保證機床加工過程的平穩(wěn)性，抑制工作臺振動，以螺母處絲杠橫向振動頻響函數(shù)最大幅值最小化為優(yōu)化目標。為盡量保證在工作臺整個行程中振動始終得到有效控制，需對螺母運動不同位置的頻響函數(shù)進行優(yōu)化。優(yōu)化目標為絲杠各階模態(tài)引起的螺母位置絲杠頻響函數(shù)最大幅值最小。

設(shè)計MTMD減振絲杠時，每個TMD沿軸向均布在中空絲杠內(nèi)，在MTMD總質(zhì)量一定前提下，調(diào)整各TMD參數(shù)，即mj，γj，ξj，使其在前兩階絲杠模態(tài)頻率范圍內(nèi)，螺母在不同位置時絲杠無量綱頻響函數(shù)最大幅值盡量最小。因此優(yōu)化目標函數(shù)可定義為

(35)

MTMD參數(shù)優(yōu)化算法為

(36)

(37)

據(jù)式(36)、(37)，用MATLAB軟件的Minimax算法進行優(yōu)化，以獲取MTMD最優(yōu)化參數(shù)。

4仿真分析及結(jié)果

本文采用MTMD各阻尼器等質(zhì)量等間隔分布，以各TMD頻率比、阻尼比為優(yōu)化參數(shù)。為考察TMD個數(shù)對優(yōu)化效果影響，采用兩種MTMD阻尼器布置方案，兩種方案阻尼器總質(zhì)量相等。方案一為5個TMD均布于空心絲杠中，每個TMD質(zhì)量0.09 kg。方案二為9個TMD均布于空心絲杠中，各TMD質(zhì)量為0.05 kg?？紤]螺母位置相對于絲杠中心點對稱時其頻率響應幅頻特性相同，因此阻尼器對稱等間隔分布。為提高優(yōu)化計算效率，令阻尼器優(yōu)化參數(shù)、阻尼比相等。

無阻尼器、方案一、二優(yōu)化后所得螺母位置絲杠橫向振動幅頻特性見圖4～圖6。方案一優(yōu)化后各TMD頻率比分別為3.10，0.82，1.09，0.82及3.10，各阻尼器位置分別為1L/6，2L/6，3L/6，4L/6及5L/6，各阻尼器阻尼比均0.155。方案二優(yōu)化后各TMD頻率比分別為2.91，3.34，0.98，0.83，1.44，0.83，0.98，3.34及2.91，各阻尼器位置為1L/10，2L/10，3L/10，4L/10，5L/10，6L/10，7L/10，8L/10及9L/10，各阻尼器阻尼比均為0.098。

對比兩種優(yōu)化結(jié)果與不加阻尼器看出，用MTMD控制絲杠螺母處橫向振動效果顯著。方案一與無阻尼器時相比，所有螺母處頻響函數(shù)最大振幅減小89.8%，方案二與無阻尼器時相比，所有螺母處頻響函數(shù)最大振幅減小90.3%。因此在MTMD總質(zhì)量相同情況下，阻尼器個數(shù)越多抑制振動效果越明顯。在空心絲杠中加入阻尼器且在結(jié)構(gòu)尺寸允許條件下，阻尼器個數(shù)盡量多些，以達到更好的抑振效果。

圖4 無阻尼器時螺母位置絲杠頻響函數(shù)Fig.4Frequencyresponseofthescrewwithoutdampers圖5 方案一螺母位置處絲杠頻響函數(shù)Fig.5Optimalresultsforcase1圖6 方案二螺母位置處絲杠頻響函數(shù)Fig.6Optimalresultsforcase2

圖7　方案二非優(yōu)化用螺母位置絲杠頻響函數(shù) Fig.7 Frequency response prediction for case 2

為考察MTMD抑制絲杠橫向振動的魯棒性，選2L/10、3L/10及4L/10三個非優(yōu)化用螺母位置，采用方案二優(yōu)化所得的MTMD參數(shù)進行頻響函數(shù)仿真計算，結(jié)果見圖7。

由圖7看出，三個非優(yōu)化用螺母位置，絲杠橫向振動頻響函數(shù)最大幅值得到有效控制，表明本文所用MTMD優(yōu)化算法可保證絲杠整個行程上螺母處橫向振動能有效控制。

5結(jié)論

本文針對絲杠副橫向振動控制問題，采用MTMD方法實現(xiàn)全行程螺母位置絲杠橫向振動的有效控制。通過仿真實驗結(jié)論如下：

(1)MTMD方法控制絲杠橫向振動效果顯著。通過優(yōu)化設(shè)計MTMD參數(shù)，螺母處橫向振動幅值可減少約90%。

(2)所用MTMD優(yōu)化方法能保證全行程螺母在不同位置，絲杠橫向振動均能得到有效控制。

(3)MTMD阻尼器總質(zhì)量一定時，絲杠中加入的阻尼器個數(shù)越多，抑振效果越好。

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