金屬切削過程刀具磨損信號(hào)的混沌特征

第一作者關(guān)山男，博士，教授，1970年6月生

金屬切削過程刀具磨損信號(hào)的混沌特征

關(guān)山，彭昶(東北電力大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 吉林132012)

摘要：針對(duì)刀具磨損過程中聲發(fā)射信號(hào)非線性特征，提出基于混沌理論的信號(hào)分析及特征提取方法。采用延遲時(shí)間法對(duì)去噪后的時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，分析延遲時(shí)間及嵌入維數(shù)隨刀具磨損的變化規(guī)律；用關(guān)聯(lián)維數(shù)、最大Lyapunov指數(shù)及Kolmogorov熵三種混沌特征參數(shù)定量分析刀具在不同切削條件下隨磨損量增大所呈現(xiàn)的變化規(guī)律。研究結(jié)果表明，刀具磨損聲發(fā)射信號(hào)具有明顯的混沌特征，三種混沌特征參數(shù)、延遲時(shí)間及嵌入維數(shù)與刀具磨損狀態(tài)具有明顯的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可用作刀具磨損狀態(tài)監(jiān)測、磨損量預(yù)測的特征參數(shù)。

關(guān)鍵詞：刀具狀態(tài)監(jiān)測；相空間重構(gòu)；混沌特征參數(shù)

基金項(xiàng)目：吉林省科技廳科技公關(guān)計(jì)劃(20140204004SF)

收稿日期：2014-03-19修改稿收到日期：2014-05-14

中圖分類號(hào):TH165.3;TP206文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Chaotic characteristics of tool wear signal during metal cutting process

GUANShan,PENGChang(School of Mechanical Engineering, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China)

Abstract:Aiming at the nonlinear characteristics of acoustic emission signals from tool wear, a method of signal analysis and feature extracting based on the chaos theory was proposed. Here, the phase space reconstruction of denoised time series with the time delay method and the analysis of the variation laws of time delay and embedded dimension versus tool wear were performed firstly. Then, the variation laws of tools with increase in the amount of tool wear under different cutting conditions were analyzed using three chaotic characteristic parameters including correlative dimension, the maximum Lyapunov exponent and Kolmogorov entropy. The results showed that the acoustic emission signals from tool wear have obvious chaos characters, moreover the above three chaotic characteristic parameters, time delay and embedded dimension have significant corresponding relationships with the states of tool wear so that they can be used as parameters for condition monitoring of tool wear states and prediction of the amount of tool wear.

Key words:tool condition monitoring; phase space reconstruction; chaotic characteristic parameters

刀具狀態(tài)監(jiān)測技術(shù)作為保障工件表面質(zhì)量與尺寸精度、防止工件報(bào)廢機(jī)床損壞、優(yōu)化加工過程、降低成本、提高生產(chǎn)效率的有效手段，頗受重視。刀具磨損與切削條件、工件材料、刀具種類等多種因素有關(guān)，為典型的非線性、非平穩(wěn)過程。因此，采用非線性分析方法最直接、最有效?；煦缋碚撘蚓哂心芙沂緩?fù)雜系統(tǒng)表現(xiàn)的非平穩(wěn)、非線性、不連續(xù)等獨(dú)到之處，被廣泛用于非線性系統(tǒng)故障診斷及預(yù)測[1-6],但用于刀具磨損狀態(tài)監(jiān)測較少[7-8]。

本文通過采集刀具不同磨損階段的聲發(fā)射信號(hào)，運(yùn)用混沌分析理論研究刀具在不同磨損階段采集的監(jiān)測信號(hào)混沌動(dòng)力學(xué)特征，以期找到更有效的信號(hào)特征提取方法，提高刀具磨損狀態(tài)監(jiān)測及磨損量預(yù)測準(zhǔn)確率。

1實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)及試驗(yàn)方法

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見圖1，所用PXR30諧振式聲發(fā)射傳感器的諧振頻率為300 kHz、帶寬80～400 kHz，前置放大器為PXPAⅡ?qū)拵暟l(fā)射放大器，帶寬 15 kHz～2 MHz，增益40 dB。預(yù)處理實(shí)現(xiàn)對(duì)聲發(fā)射信號(hào)帶通濾波。用PCI-1721數(shù)據(jù)采集卡，利用 LabVIEW軟件編寫數(shù)據(jù)采集程序完成數(shù)據(jù)采集，采樣頻率為1MHz。實(shí)驗(yàn)材料為高溫合金GH625，刀片為肯納公司的KC9125硬質(zhì)合金涂層刀片，采用CKA6136i數(shù)控車床進(jìn)行車削實(shí)驗(yàn)。

圖1　聲發(fā)射數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)示意圖 Fig.1 Diagram of acoustic emission data acquisitionsystem

實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖菫檠芯孔兦邢鳁l件下刀具磨損狀態(tài)分類及刀具磨損量預(yù)測問題，如將切削速度、進(jìn)給量、切削深度三個(gè)可選參數(shù)進(jìn)行全面組合，則會(huì)形成多種切削條件，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)量過大及由于切削速度對(duì)刀具壽命影響遠(yuǎn)大于其它兩因素，過大切削速度變化范圍會(huì)導(dǎo)致變切削條件下分類與預(yù)測準(zhǔn)確率下降。因此將切削速度參數(shù)依據(jù)相近原則分成3組，見表1，針對(duì)每組與其它兩因素的三種水平進(jìn)行3因素3水平正交試驗(yàn)。

表1　各組正交實(shí)驗(yàn)所選用的切削速度

據(jù)表1，選定切削條件的實(shí)驗(yàn)方法為：① 取刀片1切削10 s后停車，僅采集切削過程中6～10 s之間數(shù)據(jù)，取下刀片，利用工具顯微鏡測量后刀面磨損量VB值大小。② 更換刀片2，切削20 s后停車，只記錄15～20 s之間數(shù)據(jù)，取下刀片測量VB值。③ 更換新刀片，切削時(shí)間較上次增加10 s記錄切削時(shí)間內(nèi)最后5 s數(shù)據(jù)停車，取下刀片，測量VB值。④ 步驟③反復(fù)進(jìn)行，每次切削均更換新刀片，切削時(shí)間均較上次增加10 s，直到切削時(shí)間累加到足夠長、新刀片在此切削時(shí)間內(nèi)能磨損為止，切削實(shí)驗(yàn)終止。⑤ 選另一切削條件，重復(fù)①、②、③、④實(shí)驗(yàn)，直至完成全部選定切削條件實(shí)驗(yàn)。

圖2　刀具不同磨損階段采樣信號(hào)時(shí)序圖 Fig.2 Timing diagram of different wear stages sampled signal

該實(shí)驗(yàn)方法與實(shí)際切削過程相符，每次切削僅記錄最后5 s的數(shù)據(jù)，不僅能減少數(shù)據(jù)采集量，且該段數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)刀具當(dāng)前磨損狀態(tài)。采用切削時(shí)間逐步遞增方式便于標(biāo)定切削時(shí)間、刀具磨損量及信號(hào)特征間對(duì)應(yīng)關(guān)系，為建立刀具磨損量曲線回歸方程，實(shí)現(xiàn)磨損量預(yù)測準(zhǔn)備數(shù)據(jù)條件。

本文以切削速度560 r/min、進(jìn)給量0.3 mm/r、切削深度0.4 mm時(shí)采集的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說明，所有數(shù)據(jù)均采用相空間重構(gòu)結(jié)合奇異值分解法去噪。圖2為不同磨損階段采樣信號(hào)的時(shí)序圖，自上而下分別對(duì)應(yīng)VB值為0.11、0.13、0.17、0.24、0.26、0.31。

2時(shí)間序列信號(hào)混沌分析基礎(chǔ)

混沌分析為通過混沌吸引子及混沌特征量，如關(guān)聯(lián)維D2、 Kolmogorov熵及Lyapunov指數(shù)表征被研究系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。時(shí)間序列信號(hào)是動(dòng)力系統(tǒng)中全部物理因子相互作用的綜合反映，蘊(yùn)藏參與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的全部變量的跡，因此用系統(tǒng)一個(gè)觀察量即可重構(gòu)整個(gè)原系統(tǒng)模型，即為相空間重構(gòu)[9-11]。

2.1相空間重構(gòu)理論

為重構(gòu)一個(gè)與原始系統(tǒng)拓?fù)涞葍r(jià)的狀態(tài)空間，只需考察一個(gè)分量時(shí)間序列，并將其在某些固定時(shí)間延遲點(diǎn)的測量作為新維處理，其可確定某個(gè)多維狀態(tài)空間中一點(diǎn)。重復(fù)此過程并測量不同時(shí)間的各延遲量即可產(chǎn)生諸多此類點(diǎn)，亦即代表系統(tǒng)的時(shí)間演化。

相空間重構(gòu)關(guān)鍵在于選取τ，m，若選取不合理會(huì)直接導(dǎo)致重構(gòu)的相空間不能充分恢復(fù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。設(shè)時(shí)間序列x(t),t=1,2,…,n，適當(dāng)選嵌入維數(shù)m及延遲時(shí)間τ=kΔt(Δt為兩次相鄰采樣時(shí)間間隔，k為整數(shù))，重構(gòu)相空間為

(1)

式中：M=n-(m-1)τ為重構(gòu)相空間樣本數(shù)。

2.2延遲時(shí)間τ的選取

若τ選的太小,致重構(gòu)相空間矢量中任意兩分量在數(shù)值上非常接近，無法提供兩獨(dú)立坐標(biāo)分量；但τ太大，則兩坐標(biāo)在統(tǒng)計(jì)意義上又是完全獨(dú)立的，致混沌吸引子軌跡在兩方向的投影無相關(guān)性。恰當(dāng)選取τ可在最小嵌入空間內(nèi)對(duì)相鄰軌道實(shí)行最優(yōu)分離，見圖3。自相關(guān)函數(shù)法為成熟的求時(shí)間延遲方法?；煦鐣r(shí)間序列x(t),(t=1,2,…,n)的時(shí)間跨度jτ的自相關(guān)函數(shù)為

(2)

式中：n為序列總點(diǎn)數(shù)，做出自相關(guān)函數(shù)關(guān)于時(shí)間t的圖像。

當(dāng)自相關(guān)函數(shù)下降到初始值的1-1/e倍時(shí)，所得時(shí)間即為重構(gòu)相空間的時(shí)間延遲，見圖4。

圖3　不同磨損階段延遲時(shí)間的選取 Fig.3 Delay time selection of different wear stages

圖4　不同切削條件下磨損量與延遲時(shí)間關(guān)系曲線 Fig.4 Curve of amount of wear and delay time under different cutting conditions

由圖3、圖4看出，τ值隨刀具磨損量增加總體趨勢減小。由于損量增加致刀具與被加工件摩擦加劇、聲發(fā)射現(xiàn)象增加，導(dǎo)致單位時(shí)間內(nèi)振鈴計(jì)數(shù)增加，從而使最大相關(guān)時(shí)間減小。因此τ可間接反映聲發(fā)射現(xiàn)象參數(shù)-振鈴計(jì)數(shù)大小。

2.3最佳嵌入維數(shù)m的選取

為保證原始吸引子與重構(gòu)吸引子拓?fù)涞葍r(jià)，嵌入維數(shù)m選取應(yīng)適當(dāng)。m太小重構(gòu)吸引子會(huì)發(fā)生折疊甚至某處出現(xiàn)自相交，重構(gòu)吸引子形狀與原始吸引子完全不同；m太大,吸引子幾何結(jié)構(gòu)完全被打開，不僅會(huì)增加計(jì)算量，亦會(huì)放大噪音污染作用。因此，恰當(dāng)選擇m，既能保證準(zhǔn)確計(jì)算各混沌不變量，又能降低計(jì)算量及噪聲影響。本文用虛假最近鄰點(diǎn)法計(jì)算嵌入維數(shù)。

(3)

維數(shù)增加到m+1時(shí)，其距離變?yōu)?/p>

(4)

若Rm+1(j)較Rm(j)大很多，則可認(rèn)為因高維吸引子中2個(gè)不相鄰點(diǎn)投影到低維軌線時(shí)變成相鄰兩點(diǎn)造成，該鄰點(diǎn)即為虛假鄰近點(diǎn)。若

(5)

(6)

對(duì)實(shí)測時(shí)間序列嵌入維數(shù)從2開始，計(jì)算虛假最鄰點(diǎn)比例，逐漸增加m直到虛假最近鄰點(diǎn)比例小于5%或不隨m增加而減小時(shí)，可認(rèn)為吸引子完全打開，此時(shí)的m即為嵌入維數(shù)。圖5為刀具不同磨損階段假近鄰率隨嵌入維數(shù)變化的關(guān)系曲線。

圖5　不同磨損狀態(tài)下嵌入維數(shù) Fig.5 Embedding dimension under different wear conditions

通過計(jì)算不同切削條件下采樣信號(hào)的嵌入維數(shù)發(fā)現(xiàn)，隨刀具磨損量增大嵌入維數(shù)呈減小趨勢。表2為不同磨損量下嵌入維數(shù)取9～13時(shí)，假鄰近率的取值。由表2看出，對(duì)應(yīng)每個(gè)嵌入維數(shù)，刀具磨損量增加假鄰近率總體呈減小趨勢。其中有底紋部分為假鄰近率小于5%時(shí)所選最佳嵌入維數(shù)。

表2　假鄰近率與嵌入維數(shù)變化關(guān)系表

將采樣信號(hào)按所選τ及m進(jìn)行相空間重構(gòu)，所得吸引子二維圖見圖6。由圖6可見，不同磨損階段吸引子軌道始終在一定范圍內(nèi)伸縮變化,在局部無序,具有復(fù)雜的拉伸、扭曲、折疊及無窮嵌套的自相似架構(gòu)，符合奇異吸引子特點(diǎn),具有混沌特性。對(duì)比不同磨損階段信號(hào)吸引子圖看出,刀具磨損量增加,吸引子向四周膨脹并拉長，在刀具磨損的初期階段尤其明顯。

圖6　刀具不同磨損狀態(tài)吸引子圖 Fig.6 Attractor figures of different wear conditions

3刀具磨損信號(hào)的混沌特征

在機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷中，對(duì)因機(jī)械系統(tǒng)狀態(tài)變化引起的吸引子結(jié)構(gòu)變化常用關(guān)聯(lián)維數(shù)、最大Lyapunov指數(shù)、Kolmogorov熵等[12-15]混沌特征量描述。

3.1關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)刀具不同磨損階段表述

隨刀具磨損程度增加，吸引子隨之發(fā)生變化，反映吸引子復(fù)雜程度的分維數(shù)亦發(fā)生變化。在眾多分形維數(shù)中關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)吸引子的不均勻性反應(yīng)最敏感，能反映吸引子的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，且求關(guān)聯(lián)維數(shù)的G-P算法簡單可靠，故本文采用G-P算法求關(guān)聯(lián)維數(shù)，研究關(guān)聯(lián)維與刀具不同磨損狀態(tài)間關(guān)系。刀具磨損量0.11 mm時(shí)嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)關(guān)系曲線見圖7。圖7(a)中紅色區(qū)域?yàn)榫€性無標(biāo)度區(qū)，最上一條曲線對(duì)應(yīng)m=2,最下一條曲線對(duì)應(yīng)m=20?？梢妋增加無標(biāo)度區(qū)直線逐漸平行，即直線斜率趨于飽和，此互相平行的直線段斜率即為最佳關(guān)聯(lián)維數(shù)D2。圖7(b)為隨嵌入維數(shù)m增加線性無標(biāo)度區(qū)直線斜率變化情況，當(dāng)嵌入維數(shù)m>10后線性無標(biāo)度區(qū)直線斜率不再隨m增加而增加，趨于飽和，此即計(jì)算的最佳關(guān)聯(lián)維數(shù)為1.502 9，信號(hào)表現(xiàn)為混沌[16]。

圖7　嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)關(guān)系曲線 Fig.7 Curve ofembedding dimension and correlation dimension

對(duì)不同切削條件下所得刀具各磨損狀態(tài)下數(shù)據(jù)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，隨刀具磨損量增加關(guān)聯(lián)維呈上升趨勢，見圖8。據(jù)已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果，關(guān)聯(lián)維大小與刀具磨損量關(guān)系見表3。

圖8　磨損量與關(guān)聯(lián)維關(guān)系曲線 Fig.8 Curve ofamount of wear and correlation dimension

VB值VB<0.20.20.3關(guān)聯(lián)維1.4807～1.80191.6704～2.53022.2708～3.4569

3.2Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是刻畫奇異吸引子性質(zhì)的一種測度與統(tǒng)計(jì)量，表征系統(tǒng)在相空間中兩個(gè)初值較近軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。n維向空間中存在n個(gè)Lyapunov指數(shù)，正Lyapunov指數(shù)表明在該維方向系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌道迅速分離，長期行為對(duì)初始條件敏感，表現(xiàn)出混沌特性。對(duì)奇異吸引子而言，最大Lyapunov指數(shù)為正，且數(shù)值越大說明系統(tǒng)的混沌程度越強(qiáng)。本文采用小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)[17]。計(jì)算流程見圖9。

圖9　小數(shù)據(jù)法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)流程圖 Fig.9 Flow chart of calculating the maximum Lyapunov exponent with small data method

圖10為刀具磨損量達(dá)到0.17 mm時(shí)，基本軌道第j對(duì)最鄰近點(diǎn)經(jīng)i個(gè)離散時(shí)間步長后距離dj(i)的演化曲線。圖10(a)中紅色部分為用最小二乘法擬合后所得有最大斜率的直線段，求得該線性區(qū)斜率, 即為最大Lyapunov指數(shù)，見圖10(b)。計(jì)算得最大Lyapunov指數(shù)λ1=0.231 8。

用該方法對(duì)不同切削條件、磨損階段的采樣數(shù)據(jù)計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，結(jié)果見表4。由表4看出，隨刀具磨損量增加最大Lyapunov指數(shù)呈現(xiàn)變大趨勢，說明信號(hào)的混沌特征增強(qiáng)。

表4　刀具磨損量與Lyapunov指數(shù)關(guān)系

圖10　線性區(qū)域及最大Lyapunov指數(shù)選擇曲線 Fig.10 Range of linearity and the maximum Lyapunov exponent selection curve

3.3Kolmogorov熵

K熵不僅可用于混沌特征定性識(shí)別，也可用于描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)混沌程度，代表相空間軌道信息隨時(shí)間損失率的平均值，表征系統(tǒng)可預(yù)測度。對(duì)系統(tǒng)演化過程中無信息產(chǎn)生及丟失的規(guī)則運(yùn)動(dòng)K熵為0；對(duì)信息完全丟失的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)K熵趨于無窮；若K熵取有限正值，表示系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)，且K熵越大系統(tǒng)信息損失速率越大，系統(tǒng)混沌程度越高，系統(tǒng)越復(fù)雜。因此通過K熵計(jì)算可對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行評(píng)價(jià)。圖11為刀具在不同磨損階段，K熵隨嵌入維數(shù)變化關(guān)系曲線。對(duì)每個(gè)磨損狀態(tài)，改變嵌入維數(shù)計(jì)算K熵，取最小值時(shí)即為此磨損階段的K熵。由圖11、表5看出，隨磨損量增加K熵逐漸變大，與Lyapunov指數(shù)變化趨勢一致。且K熵均為有限正值，說明在金屬切削過程中刀具磨損發(fā)出的信號(hào)處于混沌狀態(tài)。

圖11　K熵隨嵌入維變化關(guān)系曲線 Fig.11 Curve of Kentropy change with embedding dimension

刀具磨損量范圍/mmK熵大小分布范圍0.08～0.190.1038～0.25450.21～0.280.3842～0.48430.31～0.390.5314～0.5725

Lyapunov指數(shù)及K熵不僅表征系統(tǒng)的混沌特性，且可用于解決可預(yù)測性期限的定量度量問題。1/K代表系統(tǒng)誤差每增長一倍經(jīng)歷的時(shí)間，其可估計(jì)在一定精度要求下可能預(yù)測時(shí)間長度，作為動(dòng)力系統(tǒng)的平均可預(yù)測尺度，而系統(tǒng)最大可預(yù)報(bào)時(shí)間尺度則由最大Lyapunov指數(shù)倒數(shù)定義。隨刀具磨損，Lyapunov指數(shù)及K熵均不斷增大，刀具磨損量可預(yù)測時(shí)間尺度越小，尤其在刀具進(jìn)入劇烈磨損階段后，磨損量幾乎不可預(yù)測。

4結(jié)論

(1)金屬切削過程中刀具磨損產(chǎn)生的聲發(fā)射信號(hào)具有較強(qiáng)混沌特征。用混沌理論分析采樣信號(hào)能更好提取信號(hào)特征。

(2)通過對(duì)關(guān)聯(lián)維數(shù)D2、Lyapunov指數(shù)及Kolmogorov熵定量計(jì)算知，切削條件、刀具磨損狀態(tài)不同時(shí)，混沌特征量與刀具磨損有極強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。結(jié)合延遲時(shí)間、嵌入維數(shù)及其它算法提取的信號(hào)特征向量，可較好定位刀具的磨損狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)刀具磨損量預(yù)測。

參考文獻(xiàn)

[1]關(guān)貞珍,鄭海起,楊支濤,等. 基于非線性幾何不變量的軸承故障診斷方法研究[J]. 振動(dòng)與沖擊,2009, 28(11):130-133.

GUAN Zhen-zhen, ZHENG Hai-qi, YANG Zhi-tao, et al. Fault diagnosis of bearing based on nonlinear time series of geometrical invariants[J].Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(11): 130-133.

[2]張雨. 柴油機(jī)活塞環(huán)膠結(jié)信息的符號(hào)李指數(shù)含噪辨識(shí)[J]. 內(nèi)燃機(jī)學(xué)報(bào), 2010,28(1): 90-95.

ZHANG Yu. Identification of information of diesel piston ring sticking with noise based on symboilic-lyapunov index[J]. Transactions of CSICE, 2010,28(1):90-95.

[3]馬晉, 江志農(nóng),高金吉. 基于混沌分形理論的特征提取技術(shù)在氣閥故障診斷中應(yīng)用[J]. 振動(dòng)與沖擊,2012, 31(19):26-30.

MA Jin, JIANG Zhi-nong, GAO Jin-ji. Feature extraction method based on chaotic fractal theory and its application in fault diagnosis of gas valves[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(19): 26-30.

[4]Xue Jie-ni, Shi Zhong-ke. Short-time traffic flow prediction based on chaos time series theory[J]. Journal of Transportation Systems Engineering and Information Technology, 2008,8(5): 68-72.

[5]史麗晨, 段志善. 基于混沌-分形理論的往復(fù)式活塞隔膜泵磨損故障分析[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2010, 41(4): 222-226.

SHI Li-chen, DUAN Zhi-shan. Wearing fault diagnosis of reciprocating membrane pump based on chaos and fractal theory[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2010,41(4):222-226.

[6]Guo Jun, Zhou Jian-zhong, Qin Hui,et al. Monthly streamflow forecasting based on improved support vector machine model[J]. Expert Systems with Application, 2011, 38(10): 13073-13081.

[7]張蕾. 非線性時(shí)間序列的高階統(tǒng)計(jì)特征提取和趨勢分析[D]. 沈陽：沈陽航空航天大學(xué), 2013.

[8]張鍇鋒,袁惠群,聶鵬. 基于廣義分形維數(shù)的刀具磨損狀態(tài)監(jiān)測[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014,33(1):162-164.

ZHANG Kai-feng,YUAN Hui-qun,NIE Peng.Tool wear condition monitoring based on generalized fractal dimensions[J].Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(1):162-164.

[9]Shi Jing-zhuo, Zhao Fu-jie, Shen Xiao-xi,et al. Chaotic operation and chaos control of traveling wave ultrasonic montor[J]. Ultrasonics, 2013,53(6):1112-1123.

[10]Ma Hui-zhu, Li Cheng-xiang. Research on parameters estimation of sea clutter in data preprocessing[J]. Optik-International Journal for Light and Electron Optics, 2013,124(5):901-905.

[11]Nie Zhen-hua, Hao Hong, Ma Hong-wei. Structural damage detection based on the reconstructed phase space for reinforced concrete slab: Experimental study[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(4):1061-1078.

[12]Patel V N, Tandon N, Pandey P K. Defect detection in deep groove ball bearing in presence of external vibration using envelope analysis and duffing oscillator[J]. Measurement, 2012, 45(5):960-970.

[13]于大鵬，趙德有. 螺旋槳鳴音的混沌動(dòng)力特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊,2009,28(12): 47-52.

YU Da-peng, ZHAO De-you. Chaotic dynamics of propeller singing[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(12): 47-52.

[14]Shayegh F, Sadri S, Amirfattahi R, et al. A model-based method for computation of correlation dimension, Lyapunov exponents and symchronization from depth-EEG signals[J]. Computer methods and programs in biomedicine, 2014,113(1):323-337.

[15]修妍. 混沌時(shí)序分析中的若干問題及其應(yīng)用研究[D]. 天津：天津大學(xué), 2007.

[16]張英堂,任國全,李國璋. 柴油機(jī)振動(dòng)信號(hào)分形特征診斷的改進(jìn)算法[J].內(nèi)燃機(jī)學(xué)報(bào),2006,24(5):459-464.

ZHANG Ying-tang, REN Guo-quan, LI Guo-zhang. Improved algorithm of diesel engine diagnosis based on fractal dimension of vibration signals[J]. Transactions of CSICE,2006,24(5):459-464.

[17]楊永鋒,仵敏娟,高喆,等.小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的參數(shù)選擇[J].振動(dòng)、測試與診斷,2012, 32(3):371-374.

YANG Yong-feng, WU Min-juan, GAO Zhe, et al. Parameters selection for calculating largest lyapunov exponent from small data sets[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2012,32(3):371-374.