水平雙向地震激勵下基于序列最優(yōu)控制算法曲線梁橋控制分析

第一作者李喜梅女，博士生，1979年生

通信作者杜永峰男，教授，博士生導師，1962年生

水平雙向地震激勵下基于序列最優(yōu)控制算法曲線梁橋控制分析

李喜梅1,2，杜永峰1,2(1．蘭州理工大學西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州730050；2.蘭州理工大學防震減災研究所，蘭州730050)

摘要：針對曲線梁橋在地震作用下出現(xiàn)的平扭耦合作用對結構產(chǎn)生的不利影響，將隔震技術與附加減震裝置相結合對平扭耦合進行控制。建立考慮上部結構偏心的曲線梁橋在雙向水平地震作用下的振動控制方程，分別采用序列最優(yōu)控制算法(Sequential Optimal Control,SOC)及經(jīng)典線性最優(yōu)控制(Classical linear Optimal Control,COC)對結構進行分析，求解曲線橋兩種控制算法的地震響應，并通過比較研究兩種控制算法的適用性。結果表明，序列最優(yōu)控制算法較經(jīng)典線性最優(yōu)控制能更有效減小曲線梁橋在水平雙向地震作用下的地震反應、抑制結構扭轉(zhuǎn)耦合效應，對減少落梁震害、確保曲線橋抗震安全有較好的工程實用價值。

關鍵詞：曲線橋；雙向地震激勵；最優(yōu)序列控制

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51178211)

收稿日期：2014-02-10修改稿收到日期：2014-05-09

中圖分類號:TU352.1；U441+.3文獻標志碼：A

Curved girder bridges’ control based on sequential optimal control algorithm under two-directional horizontal earthquake

LIXi-mei1,2,DUYong-feng1,2(1. MOE Western Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering， Lanzhou Univ. of Tech.， Lanzhou 730050，China；2. Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation, Lanzhou Univ. of Tech., Lanzhou 730050, China)

Abstract:Translation-torsion coupling action of curved girder bridges causes adverse effects on structures under earthquake action. Here, the seismic isolation technique and additional damping device were combined to control the translation-torsion coupling of curved girder bridges. The equations of motion for curved girder bridges considering their upper structure’s eccentricity under two-directional horizontal earthquake were established, the sequential optimal control (SOC) and classical linear optimal control (COC) were used to solve the seismic responses of curved girder bridges. The results indicated that the SOC method can more effectively reduce the seismic responses of curved beam bridges under two-directional earthquake and suppress the translation-torsion coupling effects than the COC method can. The study results were valuable for reducing seiamic damage of falling girders and ensuring aseismic safety of curved girder bridges.

Key words:curved bridges; two-directional horizontal earthquake; sequential optimal control (SOC)

曲線梁橋已發(fā)展為大中城市最便捷、直接的交通要道及樞紐[1]。對普通直線橋梁已有多種減、隔震控制方法，但對曲線橋的減、隔震研究較少。主動控制中控制算法為關鍵步驟，而半主動控制算法往往可基于主動控制算法導出，因此研究主動控制算法有重要意義[2]。亓興軍等[3-5]采用經(jīng)典最優(yōu)控制算法對曲線連續(xù)梁橋建立有限元在三維地震動下控制效果進行分析，但計算過程需求解非線性Riccati方程，有限元模型自由度數(shù)量太多導致求解嚴重困難。閻石等[6-9]對曲線梁橋的振動控制研究未考慮地震波水平雙向輸入。而對曲線橋而言，由于結構本身不規(guī)則性，會造成縱、橫向地面運動相互耦合，故應考慮地震動兩水平分量同時作用情況。杜永峰等[10]針對經(jīng)典最優(yōu)控制算法缺點，借鑒離散系統(tǒng)最優(yōu)控制的Bellman最優(yōu)法則，在每個時間步長上建立目標函數(shù)，導出更一般的序列最優(yōu)控制算法(SOC)，并用于隔震曲線梁橋的控制分析。本文據(jù)曲線梁橋受力特點，考慮隔震曲線梁橋上部結構剛度中心與質(zhì)量中心不一致造成的平扭耦合地震效應，建立隔震曲線梁橋的雙質(zhì)點6自由度簡化分析模型，采用序列最優(yōu)控制算法(SOC)對一座三跨隔震曲線連續(xù)梁橋進行分析，并與經(jīng)典控制算法對比。

1模型建立

1.1模型假設

圖1　曲線梁橋計算模型簡圖 Fig.1 Curved bridge deck model

分別將隔震曲線梁橋橋墩及上部結構簡化為兩個各具兩水平x、y自由度與一個圍繞質(zhì)量中心軸扭轉(zhuǎn)θ自由度的堆積質(zhì)量m1、m2模型系統(tǒng)，橋墩與上部結構為兩質(zhì)點非同軸質(zhì)量偏心結構的分析模型，上下質(zhì)點分別表示曲線橋下、上結構，見圖1。

1.2運動方程建立

取曲線橋上部結構質(zhì)量中心為坐標原點，曲線梁橋動力方程可表示為

(1)

式中：m1，m2分別為下、上部結構質(zhì)量；J1，J2分別為下、上部結構轉(zhuǎn)動慣量[11]；ri為回轉(zhuǎn)半徑；Xmi、Ymi分別為下、上部結構質(zhì)心相對于參考軸坐標；Kxx，Kyy分別為結構在x、y向平動剛度，取隔震橋梁結構為剪切型，Kxθ，Kyθ分別為結構x、y向平扭剛度，考慮上、下部結構質(zhì)心與剛心的偏心距及上、下部結構質(zhì)心間偏心距，Kθθ為結構的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣。

Kθx=KxθT，Kθy=KyθT

式中：Kx1，Ky1與Kx2，Ky2分別為下、上部結構平移剛度；Kxθ12，Kyθ12分別為僅m2發(fā)生x、y向單位位移時m1需施加的繞z軸力矩；Kθθ12為m1不動僅m2發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時m1需施加的繞z軸力矩；Kxθ11，Kxθ22,Kxθ21，Kyθ11，Kyθ22,Kyθ21，Kθθ11，Kθθ22,Kθθ21含義以此類推[12-13]。

阻尼矩陣[C]用分區(qū)瑞利阻尼模型可分解為

[C]=[C0]+[Cr]，(C0)=αs[M]+βs[K]

式中：[Cr]為體現(xiàn)非比例阻尼的余項阻尼矩陣；Cbr=(αb-αs)mb+(βb-βs)kb；[C0]為經(jīng)典瑞利阻尼矩陣；αs，βs，αb，βb分別為下部結構及隔震系統(tǒng)瑞利阻尼比例系數(shù),即

式中：ξs，ξb分別為下部結構及隔震系統(tǒng)瑞利阻尼比例系數(shù)；ωi、ωj為結構第i,j階圓頻率。

將式(1)轉(zhuǎn)化成狀態(tài)空間表達式，即

2基于狀態(tài)反饋的序列最優(yōu)控制算法

時域內(nèi)結構最優(yōu)控制算法大多對問題進行簡化，文獻[14-16]中序列最優(yōu)控制算法吸收了幾種常見算法優(yōu)點，并對現(xiàn)有算法進行改進，將控制目標函數(shù)化解至每個時間步長，導出更一般的最優(yōu)控制算法，并用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)值方法實現(xiàn)。

2.1基于序列最優(yōu)控制目標函數(shù)的最優(yōu)控制力模型

據(jù)狀態(tài)反饋序列最優(yōu)控制算法構造雙向地震作用下二次型控制目標函數(shù)為

(2)

式中：{X(t)}為含x，y兩方向的結構響應；[Q]，[R]分別為對應兩方向響應及控制力的權重矩陣；t0，tf分別為控制起止時刻。

將地震波及控制力轉(zhuǎn)化為一系列時間域脈沖，由于地震動及控制力均隨時間推移逐步輸入至結構系統(tǒng)，則系統(tǒng)當前時刻響應由當前時刻脈沖與過去時刻脈沖響應疊加而成，即

{X(t)}={X∑(j-1)(t)}+{Xj(t)}

(3)

式中：下標“∑(j-1)”代表直到第(j-1)個步長上(過去時刻)脈沖影響總和。

將式(3)代入式(2)構造Lagrange函數(shù)，原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題。因當前時刻脈沖只影響當前時刻及未來時刻響應，對過去時刻響應無影響，因此將純粹含過去時刻脈沖影響控制目標函數(shù)分離，引用最優(yōu)控制理論的泛函極值條件，可得結構最優(yōu)控制的一般表達式為

{fc(tA)}=-[R]-1[B]T{λ(tA)}

(4)

(5)

(6)

式中：tA為當前時刻，式(5)、(6)定義域為[tA,tf]。

2.2基于狀態(tài)反饋的序列最優(yōu)控制算法實現(xiàn)

在式(5)中直接求解{λ}，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法得

(7)

利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移算法，由式(6)建立遞推公式為

式中：m為終了時刻時間步長數(shù)。

(9)

式(7)中取k=m，引入終值條件λ(tA+mΔt)=0，將式(9)代入式(7)并反復逆向遞推，最終得

{λ(tA)}=-Δt[QA(m)]({X(tA)}+

(10)

[QA(m)]=e-[Aλ]mΔt [Qλ]e[A]mΔt+

e-[Aλ](m-1)Δt [Qλ]e[A](m-1)Δt+…+

e-[Aλ]Δt [Qλ]e[A]Δt

(11)

將式(11)代入式(4)可求得狀態(tài)反饋時距控制終了時刻m個時間步長對應的理想控制力，即

{fc(tA)}=Δt[IRX(m)]{X(tA)}+

(12)

式中：

[IRX(m)]=[IQ(m)]-1[RQ(m)]

{ERX(m)}=[IRX(m)]{E}

[IQ(m)]=[I]-(Δt)2[RQ(m)][B]

[RQ(m)]=[R]-1[B]T[QA(m)]

式中：IRX(m)，ERX(m)為最優(yōu)控制力系數(shù)，可由此求出每個時刻的最優(yōu)控制力。

較經(jīng)典最優(yōu)控制算法，序列最優(yōu)算法在求解過程中未對目標函數(shù)預先引用近似簡化條件，除將地震波轉(zhuǎn)化為一系列脈沖、采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移數(shù)值算法本身誤差外，該算法建立的模型在概念上更精確。

3隔震曲線連續(xù)梁橋算例及討論

3.1工程背景

某立交匝道上一聯(lián)圓曲線連續(xù)梁橋，跨徑3×20 m，曲率半徑R=50 m，圓心角θ=69°，主梁為單箱單室箱梁。為簡化分析，用獨柱式圓形橋墩，直徑1.5 m，墩高5 m，墩底固結，每個墩頂布置圓形鉛芯橡膠支座。下部結構阻尼比ξs=0.05，隔震層水平阻尼比ξb=0.15，上部結構質(zhì)心為整體坐標系原點。曲線橋梁有限元模型由107個節(jié)點、106個單元組成。平面布置及有限元模型見圖2。

圖2　曲線梁橋布置圖 Fig.2 Curved bridge layout

圖3　徑向、切向阻尼 器布置示意圖 Fig.3 The dampers arrangement for radial and tangential

每個橋墩處切向、徑向各設置一組理想智能控制器連接墩臺與主梁，最大阻尼力2 000 kN，見圖3。采用狀態(tài)反饋序列最優(yōu)控算法對結構進行控制，設控制器能實時提供所需控制力，且不計時滯及自身動力效應。地震激勵采用常用的3種地震波進行分析，在結構x向、y向分別同時輸入El-Centro、Kobe及Northridge地震波南北及東西分量。為比較方便，加速度峰值x方向調(diào)整為250 cm/s2，y方向調(diào)整為220 cm/s2，分別求隔震曲線梁橋在無、有控狀態(tài)下的地震響應。

3.2控制效果分析

3圖看出，或El-Centro地震波，或Kobe、Northridge地震波，推導的序列最優(yōu)控制算法(SOC)與經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)消減曲線橋結構位移響應作用相當，而序列最優(yōu)控制算法(SOC)更有效。因此對總體控制效果而言，序列最優(yōu)控制算法優(yōu)于經(jīng)典最優(yōu)控制算法。如輸入El-Centro地震波，由圖4可知上部結構x、y向最大位移控制率分別為51.7%及38.3%，且不僅最大值減小，在時程幾乎所有時刻均有不同程度減小。

圖4　輸入El-Centro波上部結構位移時程圖 Fig.4 Displacement of superstructure under El-Centro

圖5　輸入Kobe波上部結構位移時程曲線 Fig.5 Displacement of superstructure under Kobe

圖6　輸入Northridge波上部結構位移時程曲線 Fig.6 Displacement of superstructure under Northridge

輸入El-Centro波、Kobe波、Northridge波下上部結構的x、y向及扭轉(zhuǎn)角加速度控制時程曲線見圖7～圖9。由3圖看出，或El-Centro地震波，或Kobe、Northridge地震波，在同等控制能量條件下推導的序列最優(yōu)控制算法(SOC)消減結構最大峰值加速度及結構扭轉(zhuǎn)角加速度效果較經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)均更有效。在Kobe地震動初期加速度反應值有局部放大現(xiàn)象，因原結構施加控制力或添加控制裝置后會改變結構動力特性，部分時間點加速度可能增大，但大部分時間點加速度均會減小，能達減震控制目的。

圖7　輸入El-Centro波上部結構絕對加速度時程曲線 Fig.7 Superstructure absolute acceleration under El-Centro

圖8　輸入Kobe波上部結構絕對加速度時程曲線 Fig.8 Superstructure absolute acceleration under Kobe

圖9　輸Northridg波上部結構絕對加速度時程曲線 Fig. 9 Superstructureabsolute acceleration under Northridg

曲線梁橋在El-Centro波輸入下，無控、序列最優(yōu)控制算法(SOC)及經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)三種不同控制策略響應最大值見表1。由表1看出，兩種控制算法控制效果均較好，但在相同能量指標下，序列最優(yōu)控制算法(SOC)位移、加速度最大值較經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)小，控制效果更明顯。在Kobe、Northridge地震波作用下，規(guī)律相同。

表1　El-Centro波下不同控制策略響應最大值

由于墩頂共布置8 個控制器，分析單個控制器的控制力大小對比較兩種算法控制效率意義不大。因此分別將布置在徑向與切向4個控制器的控制力迭加，獲得x、y向控制力合力時程。結構在同等控制能量條件下El-Centro波輸入的x、y向控制力合力時程曲線見圖10。由圖10看出，在時程曲線開始段，序列最優(yōu)控制算法(SOC)控制力高于經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)，而在時程曲線尾部序列最優(yōu)控制算法(SOC)控制力低于經(jīng)典線性最優(yōu)控制(COC)。故序列最優(yōu)控制算法(SOC)所得控制力幅值隨結構響應衰減快速減小，在地震動峰值較大階段能更好發(fā)揮控制效果。

圖10　輸入El-Centro波控制力時程曲線 Fig.10 The control force of time-history curve under El-Centro

4結論

曲線橋因受偏心及多維地震動作用，使結構反應表現(xiàn)出平動、轉(zhuǎn)動的耦聯(lián)效應。本文考慮曲線橋的偏心及多維地震動輸入，通過序列最優(yōu)控制算法(SOC)，對曲線橋地震反應進行控制分析，結論如下：

(1)本文所用序列最優(yōu)控制算法無需求解Riccati方程，計算量小，未預先對目標函數(shù)引用近似簡化，僅將地震波轉(zhuǎn)化為一系列脈沖及采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)值算法本身誤差外，本算法在概念上更合理。

(2)采用序列最優(yōu)控制算法(SOC)使上部結構角加速度響應及扭轉(zhuǎn)角位移響應均得到顯著減小，由因曲線橋偏心引起的扭轉(zhuǎn)響應得以降低，并使上部結構x、y向位移及加速度響應得到有效控制。

(3)同等控制能量條件下，序列最優(yōu)控制算法(SOC)在時程曲線尾部可降低控制力輸入、節(jié)約輸入能量。因此SOC控制效能更高。

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那么推什么？一言以蔽之，就是推進廉潔政治建設。干部清正、政府清廉、政治清明，是習近平總書記推進反腐倡廉建設思想的目標和理念。干部清正，不僅僅對執(zhí)政黨自身的建設和國家政權體系的建設有利，更是對整個社會風氣的健康發(fā)展有重要作用。清廉是共產(chǎn)黨領導的人民政府應有的本質(zhì)特征。政治清明，是社會主義國家的內(nèi)在要求。中國共產(chǎn)黨領導廣大人民群眾進行民主政治建設，理應是清明的政治。

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