帶有中間緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)備維修策略研究

帶有中間緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)備維修策略研究*

嚴(yán)正峰，劉猛

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009)

摘要：為了保障生產(chǎn)系統(tǒng)的連續(xù)性并降低其維修成本，提出一種以馬爾可夫決策理論為基礎(chǔ)的維修策略動(dòng)態(tài)選擇方法。在綜合考慮系統(tǒng)運(yùn)行成本、緩沖庫存成本、設(shè)備維修成本及停機(jī)損失成本的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了生產(chǎn)系統(tǒng)可靠性成本模型。該模型以帶有中間緩沖區(qū)的二級(jí)生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，以設(shè)備狀態(tài)和緩沖庫存量為自變量，以可靠性成本為目標(biāo)函數(shù)。利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法對模型求解，推導(dǎo)出系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略，為生產(chǎn)線設(shè)計(jì)和維修計(jì)劃的制定提供依據(jù)。最后，通過實(shí)例驗(yàn)證了模型的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞：生產(chǎn)系統(tǒng)；庫存；緩沖區(qū)；可靠性成本；維修策略

文章編號(hào)：1001-2265(2015)09-0081-05

收稿日期：2014-11-30；修回日期：2014-12-20

基金項(xiàng)目：*安徽省科技廳工程技術(shù)研究中心建設(shè)計(jì)劃；安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)項(xiàng)目(201106G01015)

作者簡介：嚴(yán)正峰(1969—)，男，湖北黃梅縣人，合肥工業(yè)大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)樵O(shè)施布局與物流規(guī)劃，(E-mail)mryzf99@yeah.net。

中圖分類號(hào)：TH186；TG506

The Study of Maintenance Policy in a Production System with an Intermediate Buffer

YAN Zheng-feng，LIU Meng

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009,China)

Abstract：To guarantee continuity and decrease maintenance cost of a production system, a dynamic selection method of maintenance policy based on Markov decision was put forward. On the basis of the comprehensive consideration to the cost of operating, inventory, maintenance and the cost due to the lost production, a reliability-cost model was established. The model took the secondary production system as the research object, equipment condition and the buffer inventory as independent variables, reliability-cost as objective function. The best maintenance policy in different conditions of production system was derived by method of stochastic dynamic programming, the model can provide basis for design of production line and scheduling the maintenance plan. The example verification proved the effectiveness of the model.

Key words： production system; inventory; buffer; reliability cost; maintenance policy

0引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，生產(chǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變得日益復(fù)雜，故障損失也越來越大，因此生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性逐漸受到人們的重視。日常生產(chǎn)活動(dòng)中，生產(chǎn)系統(tǒng)中的設(shè)備不可避免地要出現(xiàn)故障，重大設(shè)備故障引起生產(chǎn)系統(tǒng)長時(shí)間停頓，給高速運(yùn)行的生產(chǎn)系統(tǒng)帶來重大的經(jīng)濟(jì)損失[1]。生產(chǎn)系統(tǒng)中增設(shè)緩沖區(qū)可以將設(shè)備—設(shè)備之間的“剛性連接”轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)備-緩沖區(qū)—設(shè)備的“柔性連接”，從而減少單臺(tái)設(shè)備故障造成整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)停止運(yùn)行的狀況。以緩沖區(qū)庫存量和設(shè)備狀態(tài)為依據(jù)，制定合理的維修計(jì)劃，能夠有效降低設(shè)備故障率，提高生產(chǎn)效益及生產(chǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

緩沖區(qū)庫存量和設(shè)備維修時(shí)機(jī)的動(dòng)態(tài)關(guān)系研究具有一定的理論難度和較高的實(shí)用價(jià)值，為此激發(fā)了一大批研究者展開這一問題的研究，并取得了許多階段性成果。Douer and Yechiali[2]以設(shè)備長期運(yùn)行的期望成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，確定了單臺(tái)設(shè)備的最佳預(yù)防維修周期；Van der Duyn Schouten and vanneste[3]等人以串聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)中的單臺(tái)設(shè)備為研究對象，考慮了設(shè)備失效率的變化，用嵌入法制定了以設(shè)備服務(wù)時(shí)間和緩沖庫存量為基礎(chǔ)的預(yù)防維修策略，并證明了該方法的整體最優(yōu)性。Kyriakidis, Dimitrakos and Karamatsoukis[4-6]等以設(shè)備狀態(tài)和緩沖庫存量為依據(jù)，分別考慮了設(shè)備維修策略和下級(jí)緩沖區(qū)、上級(jí)緩沖區(qū)庫存量的關(guān)系，以設(shè)備運(yùn)行成本最低為目標(biāo)函數(shù)確定了設(shè)備修復(fù)后最優(yōu)的等待時(shí)間。Yevkin O, Krivtsov V[7]以失效率為Weibull分布的設(shè)備為例，建立了設(shè)備的更新函數(shù)，用改進(jìn)的蒙特卡洛方法求解出維修量最小的維修方法。Borrero J S, Akhavan-Tabatabaei R[8]對設(shè)備狀態(tài)的退化和緩沖庫存量進(jìn)行了量化，以設(shè)備長期運(yùn)行的折扣成本最小化為目標(biāo)函數(shù)，建立了兩個(gè)不同的優(yōu)化模型，制定了單臺(tái)設(shè)備的最優(yōu)維修策略。李同玲[9]將預(yù)防性維修問題和生產(chǎn)調(diào)度作為一個(gè)整體進(jìn)行研究,主要研究了關(guān)于預(yù)防性維修的生產(chǎn)調(diào)度問題。對該問題設(shè)計(jì)了一個(gè)遺傳算法進(jìn)行求解。染色體為工件序列和機(jī)器序列,針對此問題設(shè)計(jì)了最先適配啟發(fā)式方法確定各工件的最優(yōu)時(shí)間表并作為遺傳算法的解碼。孫凱彪等[10]研究了周期性維護(hù)和決策維護(hù)。對于周期維護(hù)最小化時(shí)間表長問題,證明了經(jīng)典的FFD算法是一個(gè)很好的啟發(fā)式算法,并且得到了該算法的一個(gè)上界對于決策維護(hù)最小化總完工時(shí)間問題,分析了SPT算法的界。特別地,對于單機(jī)并且機(jī)器僅需要2次維護(hù)的情況,給出SPT算法的界不超過11/9。韓幫軍等[11-12]提出了等效役齡的概念，建立了預(yù)防維修周期間故障率的遞推關(guān)系式，以生產(chǎn)系統(tǒng)中的單臺(tái)設(shè)備為對象建立可靠性成本模型，并用遺傳算法對模型進(jìn)行了優(yōu)化。盛天文等[13]為解決壽命型設(shè)備在基于可靠度的預(yù)防維修下的經(jīng)濟(jì)維修策略問題，提出一種基于可靠度和經(jīng)濟(jì)性，求解維修周期和維修時(shí)間策略的方法。綜上所述，緩沖庫存量的控制對上下級(jí)設(shè)備的維修策略的制定有重要影響，目前研究大多以單臺(tái)設(shè)備為對象，本文將同時(shí)考慮緩沖區(qū)和其上下級(jí)設(shè)備的約束關(guān)系，從系統(tǒng)整體的角度考慮設(shè)備運(yùn)行成本和維護(hù)成本，制定具體維修策略。

本文以帶有緩沖區(qū)的二級(jí)生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，并將其抽象為可靠性框圖模型，構(gòu)建生產(chǎn)系統(tǒng)可靠性成本函數(shù)，利用馬爾可夫決策理論確定生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備狀態(tài)和緩沖庫存的最優(yōu)匹配。模型能夠根據(jù)設(shè)備工作狀態(tài)和緩沖庫存量確定最優(yōu)的維修策略并指導(dǎo)現(xiàn)場的維修調(diào)度。

1模型表達(dá)

1.1馬爾可夫決策理論

在視情維修方法下，馬爾可夫決策理論是設(shè)備劣化和維修工作建模應(yīng)用最廣泛的工具[14]。一般來說，用幾個(gè)離散的狀態(tài)來描述設(shè)備的劣化狀況比如一個(gè)連續(xù)的標(biāo)量更具有可行性[15]。馬爾可夫決策問題的解稱為方法(policy)，是從狀態(tài)集合到動(dòng)作集合的一個(gè)映射，即π:S→A。按照方法解決問題的過程是，首先智能體需要知道當(dāng)前所處狀態(tài)S，然后執(zhí)行方法對應(yīng)的行動(dòng)π(S),并進(jìn)入下一狀態(tài)，重復(fù)此過程直到問題結(jié)束。最優(yōu)方法記為π*,對應(yīng)值函數(shù)為V*,稱為最優(yōu)值函數(shù)。通常,當(dāng)一個(gè)方法π滿足對狀態(tài)S,有V*(S)-Vπ(S)≤ξ時(shí),我們稱π為狀態(tài)S處的ξ最優(yōu)方法，當(dāng)π對問題所有狀態(tài)均滿足上述條件時(shí)，稱其為問題的ξ最優(yōu)方法[16]。

1.2生產(chǎn)系統(tǒng)基本模型和狀態(tài)分析

以帶有緩沖區(qū)的二級(jí)生產(chǎn)系統(tǒng)為研究對象，不考慮生產(chǎn)系統(tǒng)上級(jí)緩沖區(qū)的物料短缺和下級(jí)緩沖區(qū)的物料堵塞情況。生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備M1以效率d1生產(chǎn)工件并運(yùn)送至B1儲(chǔ)存，M2以效率d2從緩沖區(qū)B1獲取工件(d1≥d2)，不考慮工件在M1和B1，B1和M2之間的運(yùn)送時(shí)間。如圖1所示。

圖1生產(chǎn)系統(tǒng)可靠性框圖模型

隨著設(shè)備M1、M2役齡的增加，其失效率也將增大，可以定期對設(shè)備狀態(tài)進(jìn)行檢查評(píng)估并將其分為m+2個(gè)狀態(tài)，以0代表設(shè)備的全新狀態(tài)，無任何磨損。1,2···,m代表設(shè)備磨損程度逐漸增加的過程，但仍可以正常工作。m+1代表設(shè)備處于失效狀態(tài)，必須進(jìn)行故障維修。設(shè)備由ξ時(shí)刻的狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到ξ+1時(shí)刻的狀態(tài)i′的概率為pii′,因設(shè)備處于被動(dòng)維修狀態(tài),所以i′≥i。

對設(shè)備可以采取的維修方式u∈{0,1,2}，u=0代表不對設(shè)備進(jìn)行維修活動(dòng)，使其以現(xiàn)有狀態(tài)繼續(xù)工作，u=1代表對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防維修，u=2代表對設(shè)備進(jìn)行故障維修。預(yù)防維修和故障維修的維修時(shí)間均服從幾何分布，且其修復(fù)率為定值。當(dāng)設(shè)備處于狀態(tài)1,2···,m時(shí)，可以對設(shè)備采取維修方式u=0，也可以采取維修方式u=1，當(dāng)設(shè)備處于狀態(tài)m+1時(shí)，必須采取維修方式u=2即故障維修。

生產(chǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)由設(shè)備M1的狀態(tài)i,緩沖區(qū)B1的庫存量x和設(shè)備M2的狀態(tài)j決定，即:

S=(i,x,j)

其中：

i∈{0,1,2…,m,m+1,PM},x∈{0,1,2,…,K},

j∈{0,1,2…,m,m+1,PM}。

1.3可靠性成本函數(shù)

可靠性成本指生產(chǎn)系統(tǒng)處于任意狀態(tài)下的運(yùn)行成本Cij，緩沖區(qū)庫存成本h·x (單位庫存成本h和庫存量x的乘積)，預(yù)防維修成本Cp，故障維修成本Cf和停機(jī)造成的生產(chǎn)損失成本Cl的總和(可靠性成本函數(shù)可參考文獻(xiàn)[4,6,7,13])，所以可靠性成本函數(shù)為：

Cs=Cij+h·x+Cp+Cf+Cl

(1)

當(dāng)生產(chǎn)系統(tǒng)處于狀態(tài)S=(i,x,j)時(shí)，如對M1進(jìn)行維修需要考慮M1的停機(jī)損失成本及緩沖庫存B1不能滿足M2的需求而造成的生產(chǎn)損失，對M2維修需要考慮M2的停機(jī)損失成本及緩沖取B1達(dá)到最大庫存容量K造成的生產(chǎn)損失。生產(chǎn)損失成本等于設(shè)備單位時(shí)間生產(chǎn)損失量與停機(jī)時(shí)間的乘積。即：生產(chǎn)損失成本。

Cl=d1·t1+d2·t2

(2)

其中，t1表示設(shè)備M1的停機(jī)時(shí)間，t2表示設(shè)備M2的停機(jī)時(shí)間，d1,d2分別表示設(shè)備M1、M2的生產(chǎn)率。將(2)式代入(1)式可得：

Cs=Cij+h·x+Cp+Cf+(d1·t1+d2·t2)

(3)

設(shè)備預(yù)防維修和故障維修時(shí)間均服從幾何分布，假設(shè)設(shè)備修復(fù)率為a，則修復(fù)所用時(shí)間t的概率p(t)=a·(1-a)(t-1)。

2維修策略的制定

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(4)

其中：

(5)

其中：

(6)

其中：

結(jié)合公式(4)，(5)，(6)，可得出引理1。

引理1：對任意n=0,1,2,···有

(1)

0≤x≤K,0≤j≤m

(2)

0≤x≤K,0≤i≤m

(3)

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(4)

0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

參考文獻(xiàn)證明過程可[7]中l(wèi)emma1。

參考文獻(xiàn)令Cα(i,x,j)為初始狀態(tài)折扣成本的最小期望值，其中(i,x,j)∈S，由[5-7]可知

(7)

且存在非負(fù)實(shí)數(shù)B滿足：對所有(i,x,j)∈S且α∈(0,1)有

|Cα(i,x,j)-Cα(i,x*,j)|≤B,x*∈(0,m)

(8)

證明詳見文獻(xiàn)[7]中l(wèi)emma3。(7)、(8)式表明存在(i,x,j)∈S有常數(shù)g滿足：

g,C((i,PM),x,(j,PM))},0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

(9)

C(m+1,x,j)=min{α·a′·C(0,min(x-d2·t,0),j)+α·(1-a′)·

C(m+1,min(x-d2·t,0),j)+h·x+Cm+1,j+Cf1+Cl-g,

C(m+1,x,PM)},0≤x≤K,0≤j≤m,

(10)

C(i,x,m+1)=min{α·b′·C(0,max(x+d1·t,K),j)+α·(1-b′)·

C(i,max(x+d1·t,K),j)+Cf2+Ci,m+1+h·x+Cl-g,

C(PM,x,m+1)},0≤x≤K,0≤i≤m,

(11)

結(jié)合引理(1),(2),(3),(4)和公式(9)，(10)，(11)有以下結(jié)論：

存在(i,x,j)∈S 滿足：

C(PM,x,j)≤C(i,x,j)0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

C(i,x,PM)≤C(i,x,j)0≤i≤m,0≤x≤K,0≤j≤m

C(m+1,x,PM)≤C(m+1,x,j)0≤x≤K,0≤j≤m

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)0≤i≤m,0≤x≤K

3實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證以上結(jié)論的正確性，現(xiàn)給出以下實(shí)例進(jìn)行分析驗(yàn)證。以汽車離合器蓋及壓盤總成裝配線中綜合性能檢測機(jī)和平衡機(jī)構(gòu)成的生產(chǎn)系統(tǒng)為例，綜合性能檢測機(jī)對離合器蓋及壓盤總成進(jìn)行綜合性能檢測，檢測完成后通過機(jī)械裝置將離合器蓋及壓盤總成搬運(yùn)至在制品運(yùn)輸軌道B1，等待平衡機(jī)對其進(jìn)行平衡測試，詳見圖2。

圖2　二級(jí)生產(chǎn)系統(tǒng)模型

令m=10,當(dāng)i,j∈(0,m)時(shí),Cij=0.3(i+j),當(dāng)i=PM或m+1時(shí)Cij=0.3j,當(dāng)j=PM或m+1時(shí)Cij=0.3i,緩沖區(qū)B1最大庫存量K=15,綜合性能檢測機(jī)的預(yù)防維修費(fèi)用Cp1=1.8,修復(fù)率a=0.98,故障維修費(fèi)用Cf1=2.1,修復(fù)率a′=0.95,平衡機(jī)的預(yù)防維修費(fèi)用Cp2=2.1,修復(fù)率b=0.96,故障維修費(fèi)用Cf2=3.0,修復(fù)率b′=0.94。考慮到設(shè)備狀態(tài)衰退的平穩(wěn)性(詳見參考文獻(xiàn)[4]中4.Stationary deterioration),可令Pj,j+1=(m+2-j)-1,h=0.2,d1=d2=0.5。因?yàn)槌?shù)g不影響維修策略的選擇，為計(jì)算簡單，此處令g=0。把以上參數(shù)代入式(9)~(11)，得到該生產(chǎn)系統(tǒng)中設(shè)備的最優(yōu)維修策略。在matlab7.0環(huán)境下利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[17]對模型求解可得C(i,x,j)圖像，如圖3所示。

圖3　生產(chǎn)系統(tǒng)可靠性成本效果圖

且有以下結(jié)論：

(1)當(dāng)x≥4,8≤i≤10且j≤7時(shí),

C(PM,x,j)≤C(i,x,j)

(2)當(dāng)j=11,7≤i≤10且x∈(12,15)時(shí),

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)

(3)當(dāng)x≥4,8≤j≤10且i≤6時(shí),

C(i,x,PM)≤C(i,x,j)

(4)當(dāng)i=11,7≤j≤10且x∈(0,3)時(shí),

C(PM,x,m+1)≤C(i,x,m+1)

(5)當(dāng)i,j∈(0,10),|i-j|≤2,|i+j|≥14

且x∈(0,15)時(shí),

C(PM,x,PM)≤C(i,x,j),

C(PM,x,PM)≤C(PM,x,j),

C(PM,x,PM)≤C(i,x,PM)

結(jié)論(1)、(2)表明對綜合性能檢測機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修時(shí)生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性成本小于生產(chǎn)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的可靠性成本，即生產(chǎn)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略是對綜合性能檢測機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修，詳見圖4。結(jié)論(3)、(4)表明對平衡機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修時(shí)生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性成本小于生產(chǎn)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的可靠性成本，即生產(chǎn)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略是對平衡機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修，詳見圖5。結(jié)論(5)表明同時(shí)對綜合性能檢測機(jī)和平衡機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修時(shí)生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性成本小于系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)下的可靠性成本，小于單獨(dú)對綜合性能檢測機(jī)或平衡機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修時(shí)的可靠性成本，即生產(chǎn)系統(tǒng)在當(dāng)前狀態(tài)下的最優(yōu)維修策略是同時(shí)對綜合性能檢測機(jī)和平衡機(jī)進(jìn)行預(yù)防維修，詳見圖6。

圖4　對綜合性能檢測機(jī)預(yù)防維修

圖5　對平衡機(jī)預(yù)防維修

圖6　同時(shí)對綜合性能檢測機(jī)和平衡機(jī)預(yù)防維修

4結(jié)論

針對傳統(tǒng)制造系統(tǒng)維修策略研究中未全面考慮系統(tǒng)連續(xù)性和可靠性成本的問題，提出一種帶有緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)備維修策略研究方法。構(gòu)建了基于馬爾可夫理論的可靠性成本模型，并詳細(xì)推導(dǎo)出系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的可靠性成本計(jì)算公式。實(shí)例驗(yàn)證部分以具體生產(chǎn)系統(tǒng)為例給出了最優(yōu)維修策略，驗(yàn)證結(jié)果表明生產(chǎn)系統(tǒng)維修策略是狀態(tài)閾值問題。本文的研究對于帶有緩沖區(qū)的生產(chǎn)系統(tǒng)設(shè)備維修計(jì)劃的制定具有一定的指導(dǎo)作用；可靠性成本模型對降低維修成本，提高生產(chǎn)系統(tǒng)的生產(chǎn)率和連續(xù)性有實(shí)踐價(jià)值。在后續(xù)的研究工作中，將重點(diǎn)考慮當(dāng)設(shè)備生產(chǎn)率隨設(shè)備狀態(tài)的衰退發(fā)生變化，設(shè)備在不同衰退程度下修復(fù)率發(fā)生變化的情況下，如何制定生產(chǎn)系統(tǒng)維修策略。

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(編輯李秀敏)