幾何學(xué)中的珍寶

陳世亨

一、 追溯勾股定理的文化淵源

勾股定理從被發(fā)現(xiàn)至今已有5000多年的歷史，5000多年來(lái)，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都相繼發(fā)現(xiàn)和研究過(guò)這個(gè)定理.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，在4000多年前，我國(guó)人民就應(yīng)用了這一定理.據(jù)我國(guó)一部古老的算書《周髀算經(jīng)》記載，商高（約公元前1120年）答周公曰：“勾廣三，股修四，徑隅五”.這本書中同時(shí)還記載有另一位中國(guó)學(xué)者陳子（公元前7-前6世紀(jì)）與榮方在討論測(cè)量問(wèn)題時(shí)說(shuō)的一段話：“若求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日.”如圖1，即邪至日

這就是一般意義下的勾股定理.

2000多年前，古希臘的畢達(dá)哥拉斯（約公元前585年-公元前497年）在觀察方形瓷磚密鋪的地板面時(shí)，發(fā)現(xiàn)了勾股定理.因此，在國(guó)際上勾股定理又被稱為畢達(dá)哥拉斯定理.

歷史文獻(xiàn)記載，商高知道特殊情況下的勾股定理比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派至少要早五六個(gè)世紀(jì)，而陳子掌握普遍性的勾股定理的時(shí)間要比畢達(dá)哥拉斯早一二百年，無(wú)可爭(zhēng)議，是我們的祖先最早發(fā)現(xiàn)勾股定理，我們?yōu)榇硕湴梁妥院溃?/p>

二、 體驗(yàn)勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

勾股定理是古人在測(cè)量土地、研究天文和制作工具的過(guò)程中，通過(guò)很多人的經(jīng)驗(yàn)積累得到的.我們學(xué)習(xí)《勾股定理》時(shí)，也不妨體驗(yàn)一次勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，當(dāng)一回小小數(shù)學(xué)家.

活動(dòng)1：探究等腰直角三角形三邊的關(guān)系.

問(wèn)題：圖2中正方形A、B、C的面積有何關(guān)系？你能歸納出正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三條邊有什么特殊關(guān)系嗎？

活動(dòng)2：探究網(wǎng)格中直角三角形三邊之間的關(guān)系.

問(wèn)題1：在圖3的方格紙中，每個(gè)小方格的面積均為1，三個(gè)正方形A、B、C的面積有何關(guān)系？

問(wèn)題2：圖3中正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？

問(wèn)題3：通過(guò)對(duì)等腰直角三角形及網(wǎng)格中的直角三角形三邊關(guān)系的探究，你能對(duì)任意直角三角形三邊關(guān)系提出一個(gè)合理的猜想嗎？

問(wèn)題4：如圖4，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，上面提出的猜想仍然成立嗎？你有什么方法進(jìn)行證明呢？

通過(guò)對(duì)特殊情形的觀察與分析，進(jìn)行合情推理，作出猜想，再對(duì)一般情形進(jìn)行證明，得到所有直角三角形都具有這個(gè)性質(zhì)，即如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.

三、 感受勾股定理證明的魅力

勾股定理的證明方法層出不窮，至今已多達(dá)近四百種.由于《幾何原本》的廣泛流傳，歐幾里得的證明是勾股定理所有證明中最為著名的.

如圖5所示，在直角三角形ABC各邊上分別向外作正方形，連接CD、FB.

因?yàn)锳C=AF，AB=AD，∠FAB=∠CAD，所以△FAB≌△CAD.

作CL∥AD.

所以S正方形ACHF=S矩形ADLM.同理可證S正方形BKGC=S矩形MLEB，

所以AB2=BC2+AC2，即a2+b2=c2.

為此，希臘人稱之為“已婚婦女的定理”;法國(guó)人稱之為“驢橋問(wèn)題”;阿拉伯人稱之為“新娘圖”“新娘的坐椅”;在歐洲，又有人稱之為“孔雀的尾巴”或“大風(fēng)車”.

公元3世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽和劉徽分別對(duì)勾股定理作了證明.

趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”，又稱“弦圖”，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABCD，把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，每個(gè)直角三角形的面積為ab，中間的小正方形的面積為（a-b）2.于是便可得如下的式子：c2=（a-b）2+4×ab，化簡(jiǎn)得c2=a2+b2.他是世界上第一個(gè)用數(shù)形結(jié)合方法得到勾股定理的人.“趙爽弦圖”是后世證明的先導(dǎo)，體現(xiàn)了圖形割補(bǔ)的思想.

劉徽用了“青朱出入圖”進(jìn)行證明，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(lái)（出），移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)（入），結(jié)果剛好填滿，勾股定理的證明便清晰地呈現(xiàn).整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，也被稱為“無(wú)字證明”.

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家證明勾股定理是多么巧妙，多么簡(jiǎn)捷，融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，真可謂獨(dú)具匠心.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）