梯形區(qū)域下執(zhí)行器增益偏差容忍區(qū)間的分析

于　潔，王福忠，姚　波，王維宏

(1.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽 110034；

2.沈陽工程學(xué)院 a.基礎(chǔ)教學(xué)部; b.教務(wù)處，遼寧 沈陽 110136)

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梯形區(qū)域下執(zhí)行器增益偏差容忍區(qū)間的分析

于潔1，王福忠2a，姚波1，王維宏2b

(1.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽 110034；

2.沈陽工程學(xué)院 a.基礎(chǔ)教學(xué)部; b.教務(wù)處，遼寧 沈陽 110136)

摘要：針對執(zhí)行器故障，建立執(zhí)行器某一條通道的增益偏差模型，在梯形區(qū)域極點配置下，利用LMI給出了各個通道的增益偏差容忍區(qū)間的算法，并計算得到執(zhí)行器各個通道的增益偏差容忍區(qū)間。通過計算結(jié)果的對比，了解了各個通道對閉環(huán)系統(tǒng)的影響程度，判斷了是否該加強某一通道的硬件個數(shù)，為梯形區(qū)域極點配置中是否增減執(zhí)行器通道硬件提供了理論依據(jù)，并通過仿真示例說明了該方法的正確性和有效性。

關(guān)鍵詞：容忍區(qū)間；梯形區(qū)域極點配置；執(zhí)行器通道；冗余度

馮諾伊曼在1962年提出了容錯的基本思想。近幾年里，容錯控制在很多領(lǐng)域都有所應(yīng)用[1-2]。文獻[1]主要研究的是容錯飛行控制系統(tǒng)中控制器的設(shè)計。文獻[2]研究的是車輛懸架系統(tǒng)除執(zhí)行器故障自適應(yīng)PID滑模的容錯控制方法。被動容錯控制又稱可靠控制，近幾年來，有許多學(xué)者取得了很多成就[3-8]。文獻[3-5]主要研究的是離散系統(tǒng)的可靠控制問題。文獻[6-8]主要研究的是線性系統(tǒng)的可靠控制問題。在線性系統(tǒng)中，可靠極點配置是控制器設(shè)計的重要手段，有很多的學(xué)者給出了將極點配置在不同區(qū)域的配置方法[9-15]。文獻[9]研究的是具有區(qū)域極點約束的可靠控制器設(shè)計。文獻[10-12]主要是針對圓盤內(nèi)可靠控制器的設(shè)計。文獻[13]給出了在部分扇形區(qū)域內(nèi)可靠控制器的設(shè)計。文獻[14]是在文獻[9]和文獻[13]的基礎(chǔ)上，給出了在梯形區(qū)域內(nèi)可靠控制器的設(shè)計。但是，如果控制器可靠了，又會增加系統(tǒng)的保守性，也會增加消耗，那么硬件冗余的設(shè)計就很有必要了。在這一方面也有學(xué)者做過研究，文獻[15]主要研究的是一類線性系統(tǒng)，在圓盤區(qū)域極點配置的條件下，當執(zhí)行器出現(xiàn)故障時，提出了容忍區(qū)間的概念及其算法。

在這些研究結(jié)果的基礎(chǔ)之上，提出了在梯形區(qū)域極點配置下容忍區(qū)間的概念，并在線性系統(tǒng)的條件下給出了執(zhí)行器第i條通道增益值容忍區(qū)間的算法。

1線性系統(tǒng)問題描述

考慮具有如下形式的線性系統(tǒng)：

(1)

(1)式中，x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u∈Rm是執(zhí)行器的信號向量，A和B是適維常值矩陣，且有

u=Kx

(2)

引理 1[9]：對于線性系統(tǒng)(1),使得系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均配置在由h1、h2組成的垂直條形區(qū)域內(nèi)的充分必要條件是：存在正定對稱的矩陣X，使得(3)式成立。

(3)

引理 2[9]：對于線性系統(tǒng)(1),使得系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均配置在以θ為夾角的廣義扇形區(qū)域內(nèi)的充分必要條件是：存在正定對稱的矩陣X，使得(4)式成立。

(4)

引理 3[14]：對于線性系統(tǒng)(1)，存在增益矩陣K，使得系統(tǒng)的極點配置到D(h1,h2)、Dθ的共同區(qū)域內(nèi)的充分必要條件是：存在正定對稱矩陣X和矩陣P，使得式(5)、(6)同時成立。其中，B1=AX+BP。

(5)

(6)

當系統(tǒng)的執(zhí)行器有故障時，原系統(tǒng)可以表述為如下形式：

(7)

考慮執(zhí)行器通道的增益偏差模型，假設(shè)系統(tǒng)第i條通道出現(xiàn)了故障，則：

uf=Miu

(8)

其中，Mi和fi分別為

引入如下符號，以便表達：

1)eig(A)表示對矩陣A求特征值；

2) λij表示執(zhí)行器第i條通道出現(xiàn)故障時系統(tǒng)統(tǒng)的第j個特征值；

3)Re[λ]表示λ的實部值；

4)Im[λ]表示λ的虛部值；

5)Max(a,b)表示取a,b中的最大值；

6)Min(a,b)表示取a,b中的最小值。

(9)

根據(jù)定義可以知道，如果容忍區(qū)間越大，那么該條通道的故障增益值被容許的波動范圍就越大；如果硬件冗余度越小，那么該條通道的故障對系統(tǒng)的可靠性影響就越小。反之，如果容忍區(qū)間越小，那么該通道的故障增益值可以波動的范圍就小了，當然可靠性就重要了，該信號通道需要的硬件冗余度就大了。

2容忍區(qū)間分析

定理對于上述閉環(huán)系統(tǒng)(9)，下列優(yōu)化問題有解，其中目標函數(shù)為

(10)

約束條件為

(11)

(12)

(13)

h1≤xij≤h2

(14)

證畢。

3仿真示例

參考一個CH-47雙旋翼直升飛機的線性模型：

其中，y1為垂直速度(節(jié)/h)，y2為傾斜角度(弧度)。

控制輸入：u1為集流螺旋槳推力，u2為差動集流螺旋槳推力[16]。

規(guī)定故障值波動的范圍如下：

0.1≤f1,f2≤1.5

經(jīng)過計算該系統(tǒng)的矩陣A的極點為

v1=-2.227 9，v2=0.065 2，

v3=0.491 3+0.415 1i，v4=0.491 3-0.415 1i。

顯然系統(tǒng)是存在右側(cè)極點的，可以得知原系統(tǒng)并不穩(wěn)定。

計算機仿真結(jié)果如下：

可將此不穩(wěn)定系統(tǒng)的極點配置到D(h1,h2)、Dθ的梯形區(qū)域內(nèi)，如圖1所示。圖2和圖3分別是閉環(huán)系統(tǒng)(9)執(zhí)行器第一條通道和第二條通道故障增益波動引起的系統(tǒng)的極點分布圖。從圖中可以看出，當存在故障增益波動時，閉環(huán)系統(tǒng)(9)的極點一部分在梯形區(qū)域內(nèi)，一部分在梯形區(qū)域外，明確了當故障增益波動時極點仍在梯形區(qū)域內(nèi)的增益波動范圍，即執(zhí)行器通道故障增益波動的容忍區(qū)間。

要想得到梯形區(qū)域極點配置下的故障增益容忍區(qū)間，需要滿足兩個條件：一個是閉環(huán)系統(tǒng)極點的實部在執(zhí)行器增益波動時可以保持在指定的變化范圍內(nèi)；另一個是閉環(huán)系統(tǒng)極點的虛部與實部的比值在執(zhí)行器增益波動時可以保持在指定的變化范圍內(nèi)。兩條同時滿足時，就是執(zhí)行器第i條通道故障增益波動的容忍區(qū)間。

執(zhí)行器第一條通道極點實部隨故障增益波動變化曲線如圖4所示。橫向兩條直線h1、h2表示xi、i=1,2,3,4的變化范圍，縱向兩條直線f1、f2表示執(zhí)行器第一條通道故障增益值f1變化的范圍，曲線x1，x2，x3，x4表示閉環(huán)系統(tǒng)的4個極點的實部值在執(zhí)行器第一條通道故障參數(shù)f1變化時的變化情況。由此可知，使閉環(huán)系統(tǒng)的4個極點的實部均在由h1,h2,f1,f2四條直線圍成的矩形內(nèi)的故障增益變化的范圍，就是滿足定理的f1的變化范圍，即[0.408 9，1.038 1]。

圖1　定常閉環(huán)系統(tǒng)梯形區(qū)域極點分布

圖2　閉環(huán)系統(tǒng)執(zhí)行器第一條通道故障增益

圖3　閉環(huán)系統(tǒng)執(zhí)行器第2條通道故障增益

圖4　執(zhí)行器第一條通道極點實部隨故障

圖5　執(zhí)行器第一條通道故障增益波動引起的

綜上所述，執(zhí)行器第一條通道故障增益波動容忍區(qū)間是[0.799 8，1.038 1]。

圖6表示閉環(huán)系統(tǒng)的4個極點實部值隨第二條通道故障參數(shù)f2變化時分別變化的情況，其原理與圖4相同，滿足條件的f2的范圍是[0.582 1，1.500 0]。

圖7表示閉環(huán)系統(tǒng)的4個極點虛部與實部比值隨執(zhí)行器第二條通道故障參數(shù)f2變化時的變化情況，其原理與圖5相同，滿足條件的f2的范圍是[0.1，1.5]。

圖6　執(zhí)行器第二條通道極點實部隨故障

圖7　執(zhí)行器第二條通道故障增益波動引起的

由圖6和圖7分析可知，執(zhí)行器第二條通道故障增益波動容忍區(qū)間是[0.582 1,1.500 0]。

綜上所述，故障增益的波動對u1的影響較大，對u2的影響就比較小了。那么就可以根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析的結(jié)果來加強執(zhí)行器第一條通道的硬件個數(shù)，降低該信號通道故障對飛機穩(wěn)定性造成的影響，從而提高飛機的可靠性，使CH-47能夠穩(wěn)定的飛行。

4結(jié)論

根據(jù)上述分析結(jié)果確定了在線性系統(tǒng)中，滿足梯形區(qū)域極點配置下，執(zhí)行器單一通道故障增益偏差容

忍區(qū)間的算法，驗證了提出的定理能有效地算出每條通道的容忍區(qū)間，通過對具體實例的分析，可以有針對性地增加某一信號通道的執(zhí)行器數(shù)量，既提高了該通道信號的準確傳遞，又避免了不必要的浪費，節(jié)省成本。

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(責(zé)任編輯張凱校對佟金鍇)

The Analysis of Actuator Gain Error Tolerate

Interval Based on Trapezoidal area

YU Jie1,WANG Fu-zhong2,YAO Bo1，WANG Wei-hong2

(1.College of Mathematics and System Science,Shenyang Normal University,Shenyang 110034;

2a.Department of Preparatory Course; 2b.Academic Affair Office,Shenyang Institute of

Engineering,Shenyang 110136,Liaoning Province)

Abstract：One channel gain bias model of actuator was established in this paper to deal with the actuator failures.The gain deviation tolerance interval algorithm of each channel was given,and the tolerance range of each channel was calculated with LMI under the trapezoidal regional pole assignment.By comparing the calculation results,the influence degree on each channel of the closed-loop system and whether increase the hardware number of one channel was known.This algorithm provides a theoretical foundation to increase or decrease the hardware number of actuator channel under the trapezoidal regional pole assignment and a simulation example shows its correctness and effectiveness.

Key words：tolerate interval;trapezoidal area pole placement;actuator channel;redundancy rate

通訊作者：王福忠(1963-)，男，遼寧沈陽人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事模糊控制、動態(tài)系統(tǒng)的魯棒控制和容錯控制方面的研究。

作者簡介：于潔(1988-)，女，遼寧大連人，碩士研究生。

基金項目：遼寧省自然科學(xué)基金(201202200)；遼寧省教育廳高等學(xué)?？茖W(xué)研究項目(L2011236)

收稿日期：2015-03-06

中圖分類號：TP13

文獻標識碼：A

文章編號：1673-1603(2015)02-0171-05

DOI：10.13888/j.cnki.jsie(ns).2015.02.018