本質(zhì)有窮的亞純函數(shù)的Borel例外值

蔡惠京

(中山市廣播電視大學(xué)，廣東中山，528402）

本質(zhì)有窮的亞純函數(shù)的Borel例外值

蔡惠京

(中山市廣播電視大學(xué)，廣東中山，528402）

對于復(fù)平面上的亞純函數(shù)，推廣通常的增長級為p階增長級，引進本質(zhì)有窮的概念，進而研究本質(zhì)有窮的亞純函數(shù)的Borel例外值的存在性。將通常意義下有限級全純函數(shù)的Hadamard因子分解定理和關(guān)于整函數(shù)組的Borel定理推廣到本質(zhì)有窮的亞純函數(shù)上來，在此基礎(chǔ)上，將熟知的有限級亞純函數(shù)的Borel例外值定理推廣到本質(zhì)有窮亞純函數(shù)的情形。

亞純函數(shù)；增長級；例外值

1 引言與主要結(jié)果

定理A 如果f(z)是超越的，則對于任意有限或無限的復(fù)數(shù)a，方程

f(z) = a

有無窮多個解，至多有兩個a值例外。

人們稱上述定理中的例外值為亞純函數(shù)f(z)的Picard值。

為了推廣Borel定理，Nevanlinna引進了亞純函數(shù)f(z)的特征函數(shù)T(r,f)的定義，在此基礎(chǔ)上給出了亞純函數(shù)的增長級的概念，進而給出如下：

則對于任意有限復(fù)數(shù)a，都有

人們稱定理B中的例外值為亞純函數(shù)f(z)的Borel值。

為f(z)的p階增長級，這里

相應(yīng)地，我們還要推廣定義1為如下的：

據(jù)此，本文將定理B推廣為如下：

我們稱上述定理中的例外值為亞純函數(shù)f(z)的p階Borel值。

Valiron曾經(jīng)將Borel值進行了細分，并對于全純函數(shù)將Borel定理推廣為[7]：

(3) 如果a是f(z)的一個Borel值，則對于任意復(fù)數(shù)的單零點序列的收斂指數(shù)都等于f(z)的增長級。

Singh和Gopalakrishna將Valiron的結(jié)果推廣到了有限級亞純函數(shù)的情形[8,9]。本文我們可以進一步將他們的結(jié)果推廣到本質(zhì)有窮的亞純函數(shù)的情形。我們將證明如下：

2 幾個引理

為證明我們的結(jié)論，需要用到幾個引理。

引理1 （Nevanlinna第一基本定理）設(shè)f(z)是亞純函數(shù)，則對于任意有限復(fù)數(shù)a，皆有

由此可知，p階有窮的亞純函數(shù)全體關(guān)于加法和乘法運算形成一個域。

不難得到：

便得到(2.1)式。

便得到(2.2)式。

引理證畢。

引理證畢。

是全純函數(shù)，且成立：

便易得證引理結(jié)論。

3 亞純函數(shù)的Hadamard因子分解定理

本節(jié)，我們借助于引理4，將Hadamard關(guān)于整函數(shù)的因子分解定理推廣為：

且成立下述結(jié)論：

證明：由引理3知，f(z)的零點序列和極點序列都是p階有窮的。用表示f(z)的全部零點序列形成的典型乘積，表示f(z)的全部極點序列形成的典型乘積，再由引理3和引理4，就得到(4.2)式。

因而可得：

至此，定理4得證。

這是我們在文[6]中給出的本質(zhì)有窮的全純函數(shù)的Hadamard因子分解定理。

作為定理4的應(yīng)用，我們可以給出下列：

這就得到

于是由

定理5得證。

上述定理表明：本質(zhì)有窮的全純函數(shù)關(guān)于復(fù)合運算是封閉的。

4 全純函數(shù)組的Borel定理

Borel曾經(jīng)對于全純函數(shù)組證明了一個在整函數(shù)值分布研究中有著極其重要作用的結(jié)論[11]：

而由條件(2)，上式右端亞純函數(shù)的p階增長級小于左端函數(shù)的p階增長級，矛盾！這一矛盾說明假設(shè)是不對的，因而定理結(jié)論成立。

對(4.4)式兩端求導(dǎo)數(shù)，得到：

解微分方程，有：

故得證定理。

作為定理6的一個應(yīng)用，我們可以將全純函數(shù)的Borel例外值定理推廣為關(guān)于Borel例外函數(shù)的定理。

至多有一個小函數(shù)例外。

5 定理1的證明

再結(jié)合(5.1)式，有：

以及

由上一段的討論知，這也不可能。

于是定理1得證。

6 定理2的證明

本節(jié)，我們來證明定理2。為此，先借助定理4證明如下：

這就完成(1)的證明。

至多有兩個值例外。

這就完成了定理2的證明。

7 定理3的證明

以及

由上式和(7.2)式，便得到：

此即：

這就完成了定理3的證明。

8 導(dǎo)函數(shù)的Borel值

Hayman曾經(jīng)給出關(guān)于亞純函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的Picard值的一個結(jié)果[13]：

這就完成了定理9的證明。

【參考文獻】

[1]Nevanlinna R. Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes[J]. Paris, 1929.

[2]Nevanlinna R. Analytic functions[M]. Berlin: Springer, 1970.

[3]儀洪勛，楊重駿. 亞純函數(shù)的唯一性理論[M].北京：科學(xué)出版社，1995.

[4]Sato D. On the rate of growth of entire functions of fast growth[J]. Bull. Amer. Math. Soc., 1946, 52: 1046-1052.

[5]蔡惠京.關(guān)于高階線性微分方程解的p階增長性[J].廣東廣播電視大學(xué)學(xué)報，2014，6（23）：99—104.

[6]蔡惠京.本質(zhì)有窮的全純函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的Borel例外值[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2015,2（35）:1-12.

[7]Valiron G. Lectures on the general theory of integral functions[M].New York: Chelsea Pub. Co., 1964.

[8]Singh S.K., Gopalakrishna H.S. Exceptional values of entire and meromorphic functions[J]. Math. Ann., 1971, 191: 121-142.

[9]Gopalakrishna H.S., Bhoosnuemath S.S. Borel exceptional values of differential polynomials[J]. Rev. Roum. Math. Fures et. Appl. 1978, 721-726.

[10]Pólya G. On integral function of an integral function[J]. J. London Math. Soc., 1926, 112: 12-15.

[11]Borel E. Sur les zéros des fonctions entières[J]. Acta Math.1897, 20: 357-396.

[12]楊樂. 值分布及其新研究[M].北京: 科學(xué)出版社, 1982.

[13]Hayman W. Picard values of meromorphic functions and their derivatives[J]. Ann. Of Math., 1959, 70: 9-42.

（責(zé)任編輯：楚和）

Borel Exceptional Values of Meromorphic Functions withEssentialFinite

CAI Hui-jing
(Zhongshan Radio & TV University, Zhongshan, Guangdong,China,528402)

In this paper, we fi rst introduce the concept of essential fi nite generalizing the common order of growth to the p-order of growth for meromorphic functions. Then the existence of Borel exceptional values of essential fi nite meromorphic functions and their derivatives are investigated. The Hadamard theorem has been proved for essential finite meromorphic functions. Therefore the famous Borel theorem has been generalized to essential fi nite meromorphic functions too. Finally, the existence theorem of Picard exceptional values of meromorphic functions and their derivatives are generalized to the existence theorem of Borel exceptional values of essential fi nite meromorphic functions and their derivatives.

meromorphic function; order of growth; Borel exceptional value

O174.52

A

2095－932x（2015）05－0100－09

2015－05－05

蔡惠京（1957－），男，湖南攸縣人，中山市廣播電視大學(xué)教授。