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    如何求概率

    2015-12-26 03:27:28秦振
    初中生天地 2015年33期
    關(guān)鍵詞:圖法樹狀正整數(shù)

    □秦振

    如何求概率

    □秦振

    一、列舉法

    就是根據(jù)題意列舉出事件的所有可能的n種結(jié)果,從中找出事件A的所有可能的m種結(jié)果,再利用公式計(jì)算其概率.

    例1小穎準(zhǔn)備了10張形狀、大小完全相同的不透明卡片,上面分別寫有整數(shù)-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上,從中任取一張,以卡片上的數(shù)作為不等式ax+3>0的系數(shù)a,求該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.

    分析:用列舉法,將卡片上的10個(gè)數(shù)分別代入不等式求解.

    解:當(dāng)a=-1時(shí),不等式為-x+ 3>0,解不等式,得x<3,不等式有正整數(shù)解.當(dāng)a=-2時(shí),不等式為-2x+3>0,解不等式,得不等式有正整數(shù)解.當(dāng)a=-3時(shí),不等式為-3x+3>0,解不等式,得x<1,不等式?jīng)]有正整數(shù)解.當(dāng)a=-4時(shí),不等式為-4x+3>0,解不等式,得,不等式?jīng)]有正整數(shù)解.……,當(dāng)a取-3至-10中任意一個(gè)整數(shù)時(shí),不等式?jīng)]有正整數(shù)解.所以不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率為

    點(diǎn)評(píng):應(yīng)用列舉法解題時(shí),在計(jì)算時(shí)應(yīng)該及時(shí)觀察、歸納解題過(guò)程及計(jì)算結(jié)果的規(guī)律,通過(guò)猜想,減少運(yùn)算量,簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

    二、樹狀圖法

    在求概率的過(guò)程中,為了分析出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,我們采用“樹狀圖”的方法,將所有結(jié)果都列出來(lái),這樣既避免了重復(fù)和遺漏,又直觀且有條理.

    例2從一副撲克牌中取出兩組牌,分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4.將它們背面朝上分別重新洗牌后,從兩組牌中各摸一張,那么摸出的數(shù)字之和等于5的概率是多少?

    分析:根據(jù)題意,可以用樹狀圖法,列出從兩組牌中各摸一張的所有可能情況,從中找出其數(shù)字之和為5的所有情況,再計(jì)算其概率.

    解:從兩組牌中各摸一張的所有可能情況:如圖1所示.從圖中可知共有16種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果,而兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的結(jié)果有4種,因此P(摸出的數(shù)字之和等于

    圖1 

    點(diǎn)評(píng):利用樹形圖時(shí),務(wù)必注意各種情況出現(xiàn)的可能性相同.

    三、列表法

    對(duì)于比較復(fù)雜的問(wèn)題,可以用列表的方法將所有可能的結(jié)果全部列出,然后再求解.它適合出現(xiàn)的結(jié)果比較多的情況.

    例3已知甲袋中有四張除數(shù)字外完全相同的標(biāo)有1、2、3、4的卡片,乙袋中有三張除數(shù)字外完全相同的標(biāo)有1、2、3的卡片,從甲袋和乙袋中分別抽出一張卡片.

    (1)分別用a、b表示從甲袋、乙袋抽出的卡片上標(biāo)有的數(shù)字,請(qǐng)用列表法寫成(a,b)的所有取值;

    (2)求在(a,b)中關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+2b=0有實(shí)數(shù)根的概率.

    分析:(1)a可以取不同的4個(gè)值,b可以取不同的3個(gè)值,所以(a,b)有12個(gè)可能的結(jié)果.

    (2)方程x2-ax+2b=0有實(shí)數(shù)根的條件是Δ=a2-8b≥0,在(1)的結(jié)果中,選出滿足這個(gè)條件的(a,b)的個(gè)數(shù),然后求概率.

    解:(1)(a,b)所有可能如下表:

    1234 1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)ab

    (2)要使方程x2-ax+2b=0有實(shí)數(shù)根,則需Δ=a2-8b≥0.而使Δ=a2-8b≥0成立的(a,b)有(3,1)、(4,1)、(4,2),因此所求概率為P=

    點(diǎn)評(píng):列舉法、樹狀圖法和列表法是求概率的三種基本方法.解題時(shí),可以根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)姆椒?,使解題思路更清晰、過(guò)程更簡(jiǎn)潔.

    四、利用幾何圖形長(zhǎng)度的比求概率

    例4將長(zhǎng)為18cm的鐵絲任意剪成兩段,N表示“較長(zhǎng)的一段大于或等于較短一段的2倍”,求N的概率.

    分析:如圖2所示,設(shè)分點(diǎn)為M,分析M的位置變化,歸納出點(diǎn)N的可能位置.

    圖2 

    解:如圖2所示,設(shè)分點(diǎn)為M,AM=x,根據(jù)題意0<x<18.當(dāng)有0<x<6或12<x<18時(shí),滿足較長(zhǎng)的一段大于或等于較短一段的2倍,所以

    點(diǎn)評(píng):如果試驗(yàn)的可能性結(jié)果用線段的長(zhǎng)度n表示,A可能發(fā)生的可能性用線段的長(zhǎng)度m表示,則由概率的定義可得

    五、利用幾何圖形面積的比求概率

    根據(jù)概率的定義可知,在幾何圖形中,事件發(fā)生的概率就是該圖形的面積與總圖形面積的比.

    例5如圖3所示,趙爽弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)正方形拼成的一個(gè)大正方形.小穎同學(xué)隨機(jī)地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針,若直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為2和1,則針扎在小正方形(陰影)區(qū)域的概率是()

    圖3 

    分析:分別求出大正方形和小正方形的面積,其概率為小正方形與大正方形面積的比.

    點(diǎn)評(píng):這類問(wèn)題可歸納為:設(shè)在面積為S的區(qū)域中有任意一個(gè)區(qū)域A,它的面積為SA,如果任意投擲一點(diǎn),點(diǎn)落入?yún)^(qū)域A中的可能性大小與SA成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān),點(diǎn)落入A的概率為

    六、利用頻率估計(jì)概率

    在相同的條件下進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)后,事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定,穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計(jì)值,反之,如果知道一個(gè)事件發(fā)生的概率,就可以由此推斷出在多次重復(fù)試驗(yàn)后,該事件發(fā)生的頻率.

    例6某出版社對(duì)其發(fā)行的雜志的寫作風(fēng)格進(jìn)行了5次“讀者問(wèn)卷調(diào)查”,結(jié)果如下:

    (1)計(jì)算表中的各個(gè)頻率;

    (2)讀者對(duì)該雜志滿意的概率P(A)大約是多少?

    ?

    (2)用穩(wěn)定的頻率值估計(jì)概率.

    解:(1)表中的頻率分別為:0.998、0.998、0.998、0.999、1.

    (2)由(1)的結(jié)果可知,出版社在5次“讀者問(wèn)卷調(diào)查”中,收到的反饋信息是:讀者對(duì)該雜志滿意的概率大約是P(A)=0.998.

    點(diǎn)評(píng):有的問(wèn)題從表面上看是偶然性起作用,實(shí)際上這種偶然性始終是受內(nèi)部隱藏著的規(guī)律支配的,關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律.

    列表法和樹狀圖法是計(jì)算概率常用且有效的兩種方法,是解決概率問(wèn)題的左膀右臂.樹狀圖法適合于涉及3個(gè)或3個(gè)以上因素的較復(fù)雜的事件.有些可能的結(jié)果沒(méi)法一一統(tǒng)計(jì),例如雨點(diǎn)落在地面上的位置,轉(zhuǎn)盤上的指針最后停下來(lái)的位置等等,這時(shí)可以借助幾何圖形的面積或線段的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算.

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