利用異結構同步對鐵磁混沌電路的非線性反饋控制

龐霞,劉凌,劉崇新,董子晗

(西安交通大學電氣工程學院,710049,西安)

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利用異結構同步對鐵磁混沌電路的非線性反饋控制

龐霞,劉凌,劉崇新,董子晗

(西安交通大學電氣工程學院,710049,西安)

為了抑制變電站中由電壓互感器引起的鐵磁混沌振蕩問題,提出了一種異結構同步的非線性反饋控制方法設計控制器。該方法構造了一個正定的李雅普諾夫函數(shù),使其隨時間的導數(shù)定負,并將基于李雅普諾夫函數(shù)構造的控制器外加在狀態(tài)方程中,選擇狀態(tài)變量磁鏈為輸出信號,并使該輸出信號追蹤正弦參考信號,要求誤差信號趨于零值。為使控制信號在實際中易于提取,在控制器中用電流替換磁鏈進行改進。數(shù)值仿真結果表明,加入控制器后,系統(tǒng)輸出磁鏈(標幺值)由5降到近似1,電壓(標幺值)由17的非周期過電壓降到近似1的正弦穩(wěn)態(tài)值。改進控制器后的系統(tǒng)輸出電壓也由非周期過電壓過渡為周期性正弦電壓,且電壓幅值大大降低,研究結果證明了該控制方法的有效性。

鐵磁混沌;非線性;混沌控制

鐵磁諧振是電力系統(tǒng)中的一種非線性電氣現(xiàn)象,人們對鐵磁諧振研究始于20世紀初,數(shù)十年來,人們對鐵磁諧振從理論分析、實驗以及計算機仿真等方面進行了大量的研究。有學者發(fā)現(xiàn),在由變壓器或者互感器等非線性電感元件飽和引起的諧振中出現(xiàn)分頻信號,該分頻信號用線性理論無法解釋,只能通過非線性動力學中的分岔理論解釋。Kieny于1991年首先在鐵磁諧振中觀察到混沌現(xiàn)象,之后學者們進行了相關探索[1-3]。近年來,應用混沌理論分析鐵磁諧振中的分形和混沌現(xiàn)象是比較熱門的研究內容[4-8],但就電力系統(tǒng)中鐵磁混沌抑制的工作還需廣泛開展。

鐵磁混沌是鐵磁諧振的一種,呈現(xiàn)非周期振蕩特性。在中性點不接地的配網(wǎng)變電站中含有電磁式電壓互感器(PT),PT的勵磁電感在某些操作中受到?jīng)_擊會飽和,飽和的勵磁電感與母線對地電容參數(shù)匹配可能形成非線性諧振系統(tǒng),該局部非線性系統(tǒng)就可能會產(chǎn)生分岔和混沌振蕩[9]。鐵磁混沌振蕩會產(chǎn)生比周期性振蕩更高的過電壓,可能會燒毀互感器等設備,或導致設備外絕緣閃絡、爆炸等嚴重事故的發(fā)生。近年來,由于PT引起的變電站鐵磁諧振時有發(fā)生,溫州巨溪變電站[10]35 kV母線因電壓互感器發(fā)生鐵磁振蕩。某發(fā)電廠廠用變電站[11]6 kV系統(tǒng)因鐵磁諧振造成PT燒毀導致廠用電停電事故,浙江部分變電站[12]35 kV側因電壓互感器發(fā)生鐵磁諧振燒壞高壓熔絲等。

為了減少鐵磁混沌過電壓所帶來的危害,對電力系統(tǒng)中PT飽和所產(chǎn)生的鐵磁混沌的抑制工作顯得較為迫切。近年來,國內學者對鐵磁混沌的抑制已進行了很多相關研究[13-15],文獻[13]考慮時滯因素對鐵磁諧振的影響,設計了一種脈沖時滯同步抑制鐵磁諧振的方法;文獻[14]采用改進的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡對中性點直接接地系統(tǒng)的鐵磁混沌控制進行研究;文獻[15]基于常值脈沖法研究了鐵磁混沌的抑制,并證實了其有效性。

以上對鐵磁混沌的研究大多集中在中性點直接接地系統(tǒng)上,本文對中性點非直接接地系統(tǒng)的鐵磁混沌電路進行仿真,并提出一種基于李雅普諾夫函數(shù)的異結構同步非線性反饋混沌控制方法,控制本文提出模型中的鐵磁混沌,以期為實際鐵磁混沌的抑制提供理論指導。

1 鐵磁混沌模型

1.1 理論模型

本文研究了劉崇新教授提出的一個由實際變電站接線圖簡化而來的含有非線性電感的三階非自治鐵磁混沌電路[16],如圖1所示。圖中n=N1/N2,N1、N2為互感器原、副邊線圈的匝數(shù),電路激勵為正弦交流電壓源u(t)=sin(ωt),C1、C2、R1、R2均為線性元件。

對于電磁式電壓互感器,其電感為非線性的,當激勵的幅值增大到一定值時,線圈磁通鏈會飽和,其電流與磁通的關系用奇次方多項式擬合

i3=aψ3+bψ

(1)

式中:a=1;b=1。

R1為電源內阻;R2為母線電阻;C1和C2均為母線對地電容圖1 鐵磁混沌電路

對于圖1,列寫方程可得

(2)

(3)

再令x=φ,y=uC1/ω,z=uC2/ω,α=1/(ωC1R2),β=1/(ωC2R2),ζ=1/(ω2C1),η=1/(ωC2R1),F=Um/(ω2C2R1),μ=(β+η),則可得狀態(tài)方程

(4a)

(4b)

(4c)

當Fsinτ為0時,式(4)為非線性自治系統(tǒng),其原點為平衡點。當Fsinτ不為0時,Fsinτ為周期函數(shù),故增加一個時間維,式(4)改寫為一個四階自治方程,即為一個等價扭擴系統(tǒng),相應的方程如下

(5)

式中:θ=τ+τ0。t作為一個新的獨立變量,該四維系統(tǒng)有4個獨立變量(x,y,z,τ)。在一定的參數(shù)條件下,當電源的幅值F達到一定值時,這個四階自治等價扭擴系統(tǒng)即出現(xiàn)混沌。文獻[13]對該系統(tǒng)的混沌動力學特性進行了詳細分析,文獻[9]還研究了電壓互感器的勵磁特性對該電路的鐵磁混沌的影響。

1.2 數(shù)值仿真

在相空間中,穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)對應于一點,周期態(tài)對應于封閉曲線,混沌運動則對應于一定區(qū)域內隨機分離的永不封閉的軌跡。根據(jù)動力學系統(tǒng)的數(shù)值計算結果,畫出相空間中相軌跡隨時間變化的相圖,通過對比分析以確定系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象。

設置參數(shù)ζ=0.65,α=0.25,β=0.13,η=0.65,C1=1.56×10-5F,C2=3×10-5F,R1=163.3 Ω,R2=816.6 Ω。

(a)三維相圖

(b)x-y相圖圖2 F=260.80時鐵磁混沌系統(tǒng)的相圖

圖2為鐵磁混沌系統(tǒng)數(shù)值仿真的x-y相圖和x-y-z三維相圖,其相圖為奇怪吸引子,呈現(xiàn)了混沌振蕩的基本特性。圖3為F=260.8、z=0截面的龐加萊映射圖,證明F=260.8時系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌。圖2和圖3中的數(shù)值均以標幺值表示。

圖3 F=260.8時z=0截面的龐加萊映射

圖4所示為隨F變化的李雅普諾夫指數(shù)譜。當存在正的李雅普諾夫指數(shù)時,系統(tǒng)為混沌振蕩狀態(tài)。圖4顯示激勵F=19時,李雅普諾夫指數(shù)第一次出現(xiàn)正值L1=0.003 535,L2=0,L3=-0.246 4,L4=-0.787 0,系統(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩。當F=73時,最大李雅普諾夫指數(shù)為0.030 45;當F=75時,最大李雅普諾夫指數(shù)為0.088 63。F在區(qū)間(231,282)中,系統(tǒng)處于混沌振蕩狀態(tài)。當F=260.8時,L1=0.124 7,L2=0,L3=-0.372 0,L4=-0.782 7,李雅普諾夫維數(shù)為

李雅普諾夫維數(shù)為分數(shù)維數(shù),且存在正的李雅普諾夫指數(shù),故該系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌振蕩。

圖4 隨F變化的李雅普諾夫指數(shù)譜

2 鐵磁混沌控制

由于混沌運動對初始值極端敏感,故從任意靠近的兩個初始值出發(fā)的軌道在一定的時間區(qū)間內都會以指數(shù)形式分離。系統(tǒng)初始值極其微小的差異都能夠使系統(tǒng)的振蕩輸出產(chǎn)生本質的變化。

圖5是混沌狀態(tài)下x和y的時域信號圖,其值為標幺值。從圖中可以看到,鐵磁混沌使得電壓急劇增加,電流大幅度上升,可能導致電壓互感器燒毀、外絕緣閃絡等嚴重事故的發(fā)生,嚴重危害電力輸變電網(wǎng)絡運行的可靠性和安全性,故針對電力系統(tǒng)中PT飽和所產(chǎn)生的混沌狀態(tài)的抑制顯得較為迫切。

圖5 混沌狀態(tài)的時域信號圖

在系統(tǒng)分析中,從數(shù)學方面來考慮,經(jīng)常借助于構造一個李雅普諾夫函數(shù)V(x,y)來進行輔助分析。李雅普諾夫判斷系統(tǒng)零解穩(wěn)定性的思想是:利用V(x,y)及通過方程組得到全導數(shù)dV(x,y)/dt來幫助確定系統(tǒng)零解是否具有穩(wěn)定性。

對于任一描述非線性動力學系統(tǒng)的微分方程dx/dt=f(x),若存在一個正定的函數(shù)V(x),且函數(shù)V(x)關于方程dx/dt=f(x)的全導數(shù)dV/dt是定負的,那么該非線性動力學系統(tǒng)的零解則是漸近穩(wěn)定的。這是由于導數(shù)dV/dt<0,其函數(shù)V(x)隨時間得到變化率是定負的,因此函數(shù)V(x)隨時間t的增大而不斷減小,這時方程的軌線就一直穿過閉曲線族V(x)=C,因而系統(tǒng)的響應x(t)最終會趨于零解。

于是式(4b)變?yōu)?/p>

(6)

(7)

(8)

這樣就使

(9)

(10)

e(τ)=x(τ)-r(τ)

(11)

(12)

把式(10)～式(12)代入式(8),得

(13)

于是,得到加控制量后的系統(tǒng)方程

(14a)

(14b)

(14c)

假定要追蹤的參考信號為r(τ)=sin(τ)。圖6是該系統(tǒng)加控制量后的狀態(tài)變量x和y的時域信號及誤差曲線,其值為標幺值。對比圖5與圖6可得,鐵磁混沌振蕩的時域波形是非周期的,且磁鏈x(τ)幅值(標幺值)約為5,電壓y(τ)的幅值(標幺值)約為17;加控制器后的系統(tǒng)波形圖均為周期的,磁鏈和電壓的波形幅值(標幺值)均為1,誤差信號呈指數(shù)衰減,約一個周期內就趨于0,該控制器較好地追蹤了給定的目標信號。

圖6 加控制量后的時域信號及誤差信號

在實際應用中,由于x的物理含義是磁鏈,它不易測得,故要考慮使用近似量代替,還不能影響控制的效果。因為x要追蹤的是給定信號r,即若干時間后x與r的誤差很小,而ax3+bx是電流i3的大小,容易提取,故對式(13)作如下修改,目的在于在u(τ)的表達式中用ax3+bx來取代x項

ζ(ax3+bx)+a(r3-x3)+(b-1)(r-x)=

(ζ-1)(ax3+bx)

(15)

(16)

改進后的誤差函數(shù)曲線如圖7所示,其值為標幺值。以實際應用為目的,用容易獲得的電流量代替不易獲得的磁鏈改進控制器。與圖5比較,加控制器后系統(tǒng)的波形由非周期變?yōu)橹芷诓ㄐ?且幅值大大降低,誤差信號呈指數(shù)衰減,不到兩個周期就可衰減趨于0。

圖7 改進后的誤差曲線

通過構造正定的李雅普諾夫函數(shù),并使其隨時間的導數(shù)為定負的,得到異結構同步的非線性反饋控制器。給定參考信號r(τ),在圖1所示電路的C1支路并接一個獨立電流源,其值由式(15)決定,并用斷路器控制其通斷,如圖8所示,在出現(xiàn)過電壓的情況下接通該電流源,可有效地防止鐵磁諧振過電壓帶來的危害。對該控制器進行了改進,使其能更好地應用到實際中。

圖8 鐵磁混沌控制的實現(xiàn)

3 結 論

本文針對實際變電站的接線情況建模,由電路模型推導出其數(shù)學模型,通過數(shù)值仿真得到該模型的吸引子相圖、龐加萊映射和李雅普諾夫指數(shù)譜,還發(fā)現(xiàn)該電路模型確實存在鐵磁混沌振蕩。為控制該電路中的鐵磁混沌,本文提出了一種基于李雅普諾夫函數(shù)的異結構同步非線性反饋控制方法構造控制器,使系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以追蹤任一目標信號。由于磁鏈不易獲得,對原控制器進行改進,用容易獲得的電流替換原控制器中的磁鏈,使其能夠應用于實際。外加控制器后,系統(tǒng)狀態(tài)變量的時域波形由非周期波形變?yōu)橹芷诓ㄐ?且幅值大大降低,基本為正常運行值,且誤差曲線呈指數(shù)衰減至0。

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(編輯 杜秀杰)

Nonlinear Feedback Control in Ferromagnetic Chaotic Circuit with Different Structure Synchronization

PANG Xia,LIU Ling,LIU Chongxin,DONG Zihan

(School of Electrical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To suppress the ferromagnetic chaotic oscillation from voltage transformer in substations, a nonlinear feedback control strategy with different structure synchronization is proposed to design the controller.A positive definite Lyapunov function with negative definite derivative over time is constructed, and the tentative controller takes part in the state equation, where the flux serves as the output signal to track sinusoidal reference signal to keep error signal as zero.For the purpose of easy extracting, the current is chosen instead of the flux.The numeric simulation shows that once adding the controller, the system flux decreases from 5 p.u.to 1 p.u., and voltage decreases from non-periodic overvoltage of 17 p.u.to steady sinusoidal value of 1 p.u., and the previous non-periodic overvoltage output can be transformed into periodic sinusoidal voltage with greatly reduced amplitude.

ferromagnetic chaos; nonlinear; chaos control

2014-07-09。 作者簡介:龐霞(1989—),女,碩士生;劉凌(通信作者),男,講師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51177117,51307130);教育部高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20100201110023)。

時間:2014-10-31

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141031.1642.012.html

10.7652/xjtuxb201504004

TM132

A

0253-987X(2015)04-0018-06