基于輸入輸出數(shù)據(jù)的非線性系統(tǒng)建模

張 旭

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十研究所，陜西 西安 710068）

0 引言

線性系統(tǒng)建模方法雖然對(duì)于線性系統(tǒng)具有很好的效果。隨著控制過程要求的不斷提高，相對(duì)于一個(gè)線性模型在當(dāng)前工作點(diǎn)的局部近似，非線性模型能更好地描述過程在整個(gè)運(yùn)行過程的整體特性，在實(shí)際應(yīng)用中具有很好的效果。模塊化非線性模型是一種非線性模塊與線性子系統(tǒng)的串聯(lián)型的模型，由于其結(jié)構(gòu)清晰，并能描述常見的非線性系統(tǒng)，所以得到了廣泛地關(guān)注與應(yīng)用[1-2]。

近年來，對(duì)于模塊化非線性Hammerstein 型的辨識(shí)文獻(xiàn)相對(duì)較多。Narendrad 等[3-4]提出了迭代方法，將參數(shù)化為線性模塊參數(shù)和非線性模塊參數(shù)兩個(gè)集合，計(jì)算一個(gè)參數(shù)集最優(yōu)估計(jì)值時(shí)固定另一個(gè)，兩參數(shù)集估計(jì)輪換計(jì)算，但兩個(gè)參數(shù)集之間的鏈接矩陣是一個(gè)輸入變量的函數(shù)矩陣，由此導(dǎo)致迭代最小二乘法的協(xié)方差矩陣計(jì)算量大。Chang等[5]提出了過參數(shù)辨識(shí)方法，是把非線性展開為一些基函數(shù)的和，經(jīng)參數(shù)化后得到一個(gè)過參數(shù)化模型，然而得到的模型參數(shù)向量包含了原始的靜態(tài)非線性模塊與線性模塊參數(shù)的乘積，使得參數(shù)向量維數(shù)大大增加，導(dǎo)致算法計(jì)算量相應(yīng)增加。Pawlak[6]給出隨機(jī)方法，利用白噪聲性質(zhì)分離線性部分與非線性部分。Bai 等[7-8]給出了分離最小二乘法、盲辨識(shí)和頻域辨識(shí)法。

為此，本文利用正交基辨識(shí)法對(duì)輸入非線性模型(Hammerstein-型)進(jìn)行建模，其優(yōu)點(diǎn)是避免了迭代算法以及參數(shù)向量維數(shù)增大所帶來的計(jì)算量，對(duì)于正交基函數(shù)的獲取進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)做特殊處理，僅利用利用輸出信號(hào)恢復(fù)中間變量，最終利用最小二乘法得到模型參數(shù)，仿真結(jié)果表明了方法有效性。

1 輸入型非線性系統(tǒng)建模

1.1 輸入型非線性系統(tǒng)描述

Hammerstein 模型是一種輸入端具有非線性的串聯(lián)型非線性系統(tǒng)模型圖1 所示，被應(yīng)用于許多工程問題中?？紤]離散的Hammerstein型系統(tǒng)，建模的目的是僅基于輸入數(shù)據(jù)u 輸出數(shù)據(jù)y，估計(jì)線性部分的傳遞函數(shù)G(z)以及非線性函數(shù)f(u)，其中間變量x 是不可測(cè)量的，預(yù)先設(shè)定線性部分的模型階數(shù)為n。

圖1 Hammerstein 模型

輸入端的非線性模塊，通常以泰勒展開多項(xiàng)式的形式進(jìn)行描述，即

其中r 是非線性種多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，線性子系統(tǒng)可以通過輸出信號(hào)與中間變量的離散傳遞函數(shù)描述為

1.2 線性傳遞函數(shù)分母參數(shù)確定

首先對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)進(jìn)行特殊處理，根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)消除中間變量，利用最小二乘法估計(jì)出傳遞函數(shù)分母參數(shù)，具體方法描述如下：

輸入信號(hào)的采樣間隔為T，不在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)設(shè)置為零，對(duì)于輸出使用間隔h=T/(n+1)來進(jìn)行采樣，如圖2、圖3 所示。

圖2 輸入數(shù)據(jù)采樣

圖3 輸出數(shù)據(jù)采樣

將式（2）的線性模型轉(zhuǎn)換為時(shí)域表達(dá)式

根據(jù)式（3）和圖2，可以看出只有當(dāng)t=kT=k(n+1)h 時(shí)，x(t)才為非零值，而

因此，當(dāng)k=l(n+1)時(shí)有

在此定義矩陣

將式（6）和（7）代入式（5）可以得到矩陣的表示形式

在計(jì)算分母參數(shù)時(shí)采用最小二乘法，本文采用最小二乘估計(jì)的算法來計(jì)算，構(gòu)造以下矩陣

其中N 為輸出數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，通過式（9），（10），（11）得到如下矩陣

θa利用最小二乘估計(jì)可以得到

(φ)+是矩陣(φ)的廣義逆矩陣，以此通過上式便求得線性傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的參數(shù)。

1.3 線性傳遞函數(shù)分子與非線性參數(shù)的確定

傳統(tǒng)的正交基建模的方法，對(duì)于正交基函數(shù)的獲取是通過先驗(yàn)知識(shí)或者相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，本文在求得線性部分傳遞函數(shù)分母的基礎(chǔ)上，可以求得傳遞函數(shù)的極點(diǎn)值，然后采用正交基辨識(shí)思想來利用極點(diǎn)構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)，將線性子系統(tǒng)表示為基函數(shù)的形式，結(jié)合非線性模塊表達(dá)形式構(gòu)造出關(guān)系矩陣，最后利用奇異值分解的方法獲得各個(gè)模塊的參數(shù)，從而減少了對(duì)于先驗(yàn)知識(shí)的依賴，并具有更高的準(zhǔn)確性，具體描述如下所示：

參考圖1，對(duì)線性部分采用基函數(shù)的表達(dá)形式：

其中，p=n+1，Bl(z)是線性部分的正交基函數(shù)。根據(jù)正交基系統(tǒng)辨識(shí)的方法在這里對(duì)于線性模塊的基函數(shù)取做如下形式[9]

ξi是線性部分的極點(diǎn)，可以通過已經(jīng)求的分母構(gòu)造多項(xiàng)式進(jìn)行求解得到。將tk時(shí)刻的輸入表示為uk，將線性子系統(tǒng)與非線性模型相結(jié)合通過式（2）和（14）可以將tk時(shí)刻輸出yk用如下的公式表示

觀察上面的式子，通過最小二乘法或其他算法進(jìn)進(jìn)行估計(jì)參數(shù)的時(shí)候得到的是bc 的形式，這也是所有的串聯(lián)模塊化非線性辨識(shí)的通病，結(jié)果經(jīng)過分離后得到的參數(shù)往往是[αc，α-1b]的形式，其中α 為一常數(shù)，因?yàn)樵诜蛛x兩者時(shí)沒有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，即前面有可能多乘了一個(gè)常數(shù)，后面少乘了個(gè)常數(shù)，但是整體的效果是一樣。這就要求有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)使得到的參數(shù)保持唯一性，大多方法都是使分子參數(shù)的二范數(shù)為1，這種參數(shù)的不唯一性對(duì)于整體系統(tǒng)的結(jié)果是不影響的。

構(gòu)造矩陣

將式（18）和（19）代入式（15）得到

從（20）式利用最小二乘可以得到θ 估計(jì)

利用式（16）的形式來構(gòu)造如下矩陣

為了求b 和c，對(duì)式（22）的矩陣采用著名的奇異值分解的方法

2 系統(tǒng)仿真

假設(shè)線性部分離散傳遞函數(shù)為

輸入非線性模型為

對(duì)于上述模型進(jìn)行辨識(shí)，輸入采用的是[-1 1]上均勻分布的脈沖序列，采樣時(shí)間0.015s，輸出的數(shù)據(jù)時(shí)間間隔為0.005s，數(shù)據(jù)的處理如圖2 和圖3；

通過章節(jié)1.2 得到線性部分傳遞函數(shù)的分母參數(shù)

通過線性部分的分母，可以得到傳遞函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn)，根據(jù)式(3-15)構(gòu)造得到兩個(gè)正交基函數(shù)為

利用章節(jié)1.3 中正交辨識(shí)建模的方法來獲得線性傳遞函數(shù)的分子參數(shù)，與輸入非線性的模塊的參數(shù)。

給定系統(tǒng)參數(shù)與建模后得到模型參數(shù)對(duì)比如下表：

表1 Hammerstein-系統(tǒng)建模參數(shù)對(duì)比

雖然由于串聯(lián)型系統(tǒng)建模的通病使得各個(gè)模塊的擦參數(shù)在數(shù)值上有所不同，但是整體效果是一樣的，參數(shù)間會(huì)保持一定的比例的關(guān)系，建立模型的輸出和實(shí)際輸出結(jié)果如圖4 所示，兩者誤差如圖5 所示。

圖4 Hammerstein-型建模與實(shí)際系統(tǒng)輸出

圖5 Hammerstein-型建模與實(shí)際系統(tǒng)輸出誤差

從圖4 和圖5 可以看出對(duì)于輸入非線性系統(tǒng)通過正交基辨識(shí)法建立的模型與實(shí)際系統(tǒng)輸出十分吻合，誤差數(shù)量級(jí)很小，說明模型能夠較好的描述系統(tǒng)，表明算法有效性。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于輸入輸出數(shù)據(jù)的模塊化非線性模型，對(duì)輸入非線性(Hammerstein-型)模型利用盲辨識(shí)建模算法進(jìn)行建模，通過對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行不同間隔的采樣，僅利用測(cè)量的輸出數(shù)據(jù)來計(jì)算構(gòu)造中間變量，并應(yīng)用最小二乘估計(jì)各個(gè)模塊的參數(shù)。并對(duì)傳統(tǒng)的正交辨識(shí)算法中的正交基函數(shù)的的構(gòu)造進(jìn)行改進(jìn)，這種方法與傳統(tǒng)方法相比減少經(jīng)驗(yàn)和先驗(yàn)知識(shí)的依賴，而且具有更高的準(zhǔn)確性。最后通過仿真實(shí)例的驗(yàn)證，表明算法有效性。

［1］習(xí)毅，潘豐.基于Hammerstein 模型的非線性自適應(yīng)預(yù)測(cè)函數(shù)控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30(11)：2237-2240.

［2］Chang F，Luus R.A noniterative method for identification using Hammerstein model[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1971，AC16：464-468.

［3］Narendra K S，Gallman P G.An iterative method for the identification of nonlinear systems using a Hammerstein mode[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1966，AC-11：546-550.

［4］Voros J.Parameter identification of discontinuous Hammerstein systems[J].Automatic，1997，33(6)：1141-1146.

［5］Chang F，Luus R.A noniterative method for identification using Hammerstein model[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1971，AC-16-468.

［6］Pawlak M.On the series expansion approach to the identification of Hammerstein systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1991，36(6)：763-767.

［7］Bai E W.Identification of systems with hard input nonlinearities[C]//Perspectives in Control，Moheimani R.Ed.New York：Springer Verlag，2001.

［8］Bai E W，F(xiàn)u M Y.A blind approach to Hammerstein model identification[J].IEEE Transactions on SignalProcessing，2002，50(7)：1610-1619.

［9］B.Ninness and F.Gustafsson.A unifying construction of orthonormal-bases for system identification[J].IEEE.Trans.Automat.Contr.，AC-42(4)：515-521，1997.