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    數(shù)的開(kāi)方與數(shù)系擴(kuò)充

    2018-12-26 07:26:44劉東升
    初中生世界 2018年46期
    關(guān)鍵詞:數(shù)系立方根開(kāi)方

    劉東升

    (作者單位:江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué))

    剪拼實(shí)驗(yàn):如圖1,將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形分別沿對(duì)角線剪開(kāi),得到四個(gè)等腰直角三角形,即可拼成一個(gè)大正方形.容易知道,這個(gè)大正方形的面積是2,那么大正方形的邊長(zhǎng)是多少呢?

    圖1

    建立模型:待求的大正方形的面積為2,設(shè)它的邊長(zhǎng)為a,則有a2=2.也就是要把平方運(yùn)算逆過(guò)來(lái)思考,即在冪的運(yùn)算式子“an”中已知指數(shù)和冪,逆過(guò)來(lái)求底數(shù)的值.問(wèn)題簡(jiǎn)化如下:

    若a2=2,求a=_______.

    引入新運(yùn)算、定義新概念:

    介紹第六種運(yùn)算:開(kāi)方運(yùn)算.在冪的表達(dá)式中,已知指數(shù)和冪,求底數(shù)的運(yùn)算,稱為開(kāi)方運(yùn)算.開(kāi)方運(yùn)算的結(jié)果稱為方根.

    從最簡(jiǎn)單的開(kāi)二次方說(shuō)起,即開(kāi)平方.從定義上看,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0),這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根.換句話說(shuō),如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如,22=4,(-2)2=4,所以2和-2都是4的平方根.

    正數(shù)a的正的平方根,叫做a的算術(shù)平方根.例如,正數(shù)4的正的平方根是2,所以2叫做4的算術(shù)平方根.

    符號(hào)表達(dá):正數(shù)a的平方根寫(xiě)成 ± a.例如4的平方根寫(xiě)成± 4=±2.正數(shù)a的算術(shù)平方根寫(xiě)成 a.例如4的算術(shù)平方根寫(xiě)成 4=2.可見(jiàn),在上面的“問(wèn)題”中,a= 2.(負(fù)值舍去)

    性質(zhì)辨析:一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,這兩個(gè)平方根互為相反數(shù),零的平方根是零,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.算術(shù)平方根具有兩個(gè)非負(fù)特性:①被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù),②算術(shù)平方根的值也是非負(fù)數(shù).

    成果擴(kuò)大:繼續(xù)學(xué)習(xí)開(kāi)立方運(yùn)算——立方根.

    定義:如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根.數(shù)a的立方根,記作 a3,讀作“三次根號(hào)a”.

    顯然,任何數(shù)(正數(shù)、負(fù)數(shù)或零)的立方根如果存在的話,必定只有一個(gè).求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算,叫做開(kāi)立方.

    數(shù)系擴(kuò)充:有了開(kāi)方運(yùn)算,出現(xiàn)了一些開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù),我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)了.實(shí)數(shù)系其實(shí)就是對(duì)以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié),是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充,又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),并規(guī)定無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù),這樣我們把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù),即實(shí)數(shù)這個(gè)大家庭里有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩大成員.

    實(shí)數(shù)的分類可從兩個(gè)角度去思考,即(1)按定義來(lái)分類;(2)按正、負(fù)數(shù)來(lái)分類.

    最后,我們列一個(gè)“知識(shí)結(jié)構(gòu)圖”,幫助同學(xué)們直觀理解“從數(shù)的開(kāi)方到數(shù)系擴(kuò)充”.

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