以選擇題為例略談立體幾何基本解題方法

紀(jì)宏偉

立體幾何是在初中學(xué)習(xí)平面幾何的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究空間圖形中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，包括性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用等等，是培養(yǎng)空間想象能力，邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)思想的重要載體.立體幾何選擇題與數(shù)學(xué)其它選擇題一樣，具有思辨性強(qiáng)、知識(shí)面廣、切入點(diǎn)多等特點(diǎn)，但是又有其自身鮮明的特色和獨(dú)有的魅力.掌握好解答立體幾何選擇題的基本方法、技巧和策略，對(duì)于提高學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1.基本面法

以基本面為研究平臺(tái)來解決空間圖形問題的方法，稱為基本面法.當(dāng)把已知量和未知量集中轉(zhuǎn)移到某個(gè)平面（即基本面），或者把已知量和未知量比較集中的平面作為基本面，把其它量看成是這個(gè)基本面的相關(guān)量時(shí)，就使問題研究有了依托，使問題的解決有工具可尋，從而大大降低了論證的難度.

例1如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱BC、CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面

BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（ ）.

A.[1，52]B.[324，52]

C.[52，2]D.[2，3]

解析取B1C1的中點(diǎn)M，BB1的中點(diǎn)N，連結(jié)A1M、A1N、MN，容易證明平面A1MN∥平面AEF，所以點(diǎn)P位于線段MN上，因?yàn)锳1M=A1N=52，所以當(dāng)點(diǎn)P位于M、N處時(shí)，A1P最大，當(dāng)P位于MN的中點(diǎn)O時(shí)，A1P最小，此時(shí)A1O=（52）2-（24）2=324，即324≤A1P≤52.故選B.

點(diǎn)評(píng)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，是立體幾何中的重要思想方法.本題抓住平面A1MN為基本面，將題目中的條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)移，使之相對(duì)集中在該面上，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，有效降低了解題的難度.

2.折展法

將空間圖形平展成平面圖形，或者將平面圖形翻折成空間圖形，在翻、展的過程中通過對(duì)圖形中各種元素的變化與不變量的研究，使得空間圖形的有關(guān)問題得以解決，稱為折展法.折展法體現(xiàn)了平面與空間的相互轉(zhuǎn)化，是訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力的極好素材.

例2如圖2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=2，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA1的最小值為（ ）.

A.43 B.45

C.52 D.53

解析如圖3，將直角三角形A1C1P繞PC1旋轉(zhuǎn)（A1→D），使該三角形與側(cè)面BCC1B1共面，則 CP+PA1的最小值即為CD的長度.注意到，∠CC1B=45°，∠A1C1B=90°，故∠CC1D=135°，由余弦定理可得CD=52.選C.

點(diǎn)評(píng)本題也可以連接A1B，將△CBC1繞BC1旋轉(zhuǎn)（C→D），使該三角形與△A1BC1在同一個(gè)平面內(nèi)，連接A1D，圖4，則A1D的長度就是所求的最小值，同理可得A1D=52.解決這種問題的關(guān)鍵是必須判斷在翻折前后哪些元素的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化，特別是要檢查在翻折過程中相關(guān)元素與折痕的位置關(guān)系以及相關(guān)元素在翻折前的位置與翻折后的位置情況.

3.構(gòu)造法

明確幾何體的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，通過恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造空間圖形，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，將原問題化歸為一個(gè)等價(jià)的較易解決的問題，這種方法就是構(gòu)造法.構(gòu)造法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與變換的數(shù)學(xué)思想，也是整體化解題策略的體現(xiàn).

例3已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）.

A.233 B.433 C.23 D.833

圖5解析由題意知AB與CD為異面直線且處于球心O兩側(cè)，分別以AB、CD為直徑作兩個(gè)互相平行的圓面，并構(gòu)造如圖5所示的長方體，設(shè)長方體的底面邊長分別為a、b，體積為V，兩個(gè)圓面之間的高度易得23，則VA-BCD=13V=13ab·23=233ab，又由a2+b2=4≥2ab得ab≤2，則VA-BCD≤433，故選B.

點(diǎn)評(píng)本題巧妙地將AB、CD轉(zhuǎn)化到上、下兩個(gè)矩形的對(duì)角線上，從而構(gòu)造長方體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化.對(duì)于相似的構(gòu)造，我們常將正四面體轉(zhuǎn)化到正方體中去求解，可以起到事半功倍的效果.

4.割補(bǔ)法

把一個(gè)復(fù)雜的圖形分割成幾個(gè)簡單圖形，或把不易求解的圖形分割成易于求解的若干圖形，對(duì)一個(gè)空間圖形進(jìn)行補(bǔ)形，使之補(bǔ)形后成為一個(gè)熟知的、易求解的幾何體，以便于求解，稱為割補(bǔ)法.其中對(duì)幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，本質(zhì)上也是一種構(gòu)造法.

例4平行六面體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1垂直于三角形B1AC所在的平面，BD1=a，△B1AC的面積為S，則平行六面體的體積是（ ）.

A.12aSB.13aSC.49aSD.23aS

解析如圖6，只要連結(jié)A1C1、AC1，便不難得知平行六面體ABCD-A1B1C1D1被分割成6個(gè)與三棱錐B-ACB1等體積的三棱錐.設(shè)BD1與面B1AC交于K，則顯然B1、K與平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)三點(diǎn)共線，且

BKKD1=12，即BK=a3.又因?yàn)锽D1⊥平面B1AC，所以VB-ACB1=13S·13a=19aS，從而得平行六面體的體積V=23aS.選D.

點(diǎn)評(píng)“割”的指導(dǎo)思想是：化陌生為熟悉，化繁雜為簡單.本例將平行六面體切割成三棱錐進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，使體積的計(jì)算大為簡捷，解答的效率大為提高.

例5三棱錐P-ABC的底面ABC是直角三角形，斜邊AB=10，側(cè)面PAB和PAC都垂直于底面，它們所成的二面角是30°，側(cè)面PBC和底面成60°角，則三棱錐相對(duì)棱AC和PB間的距離為（ ）.

A.3102B.433C.563D.73

解析根據(jù)已知條件，可將三棱錐補(bǔ)成如圖7所示的長方體ACBD-PC′B′D′，則∠BAC=30°，∠PCA=60° .顯然，AC∥平面PC′BD，故AC與PB間的距離即為AC到平面PC′BD的距離，亦即C點(diǎn)到平面PC′BD的距離.注意到平面PC′BD⊥平面B′C，故過點(diǎn)C作CM⊥BC′，于是CM⊥平面PC′BD，所以所求距離又轉(zhuǎn)化為C到BC′的距離.在直角三角形ABC中，得BC=5，AC=53；在直角三角形PAC中，得PA=CC′=15.在直角三角形BCC′中，BC′=BC2+CC′2=510，則CM=BC·CC′BC′

=3102.選A.

點(diǎn)評(píng)分割和補(bǔ)形是對(duì)立的統(tǒng)一，其目的都是為了簡單化、直觀化.相對(duì)于熟知幾何體的某些缺失，本例將所求幾何體適當(dāng)?shù)难a(bǔ)形，使其補(bǔ)形后成為一個(gè)易于計(jì)算和觀察的長方體，從而使思維的抽象性大大降低，推理和計(jì)算的難度大大減少.

5.等積法

在保持幾何體體積不變的前提下，通過變換幾何體的頂點(diǎn)和底面的位置達(dá)到解題目的的方法，稱為等積法.常用的等積變換有三棱錐等積變換和平行六面體等積變換.

例6如圖8，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E為CC1的中點(diǎn)，O為下底面正方形的中心，則三棱錐O-A1B1E的體積是（ ）.

A.12B.16

C.20D.24

解析作OM∥A1B1，交BC于M，則OM∥平面A1B1E，所以VO-A1B1E=VM-A1B1E=VA-MEB1=13×4×S△MEB1=13×4×（4×8-12×8×2-12×4×2-12×4×4）=16.

點(diǎn)評(píng)本例作出OM∥A1B1，可謂“明修棧道，暗渡陳倉”，把求VO-A1B1E的問題利用等積變換為求VA-MEB1，大大縮短了思考的過程.

6.函數(shù)方程法

通過設(shè)未知量，列方程或建立函數(shù)關(guān)系將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題或函數(shù)問題來研究，稱為函數(shù)方程法.

例7一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱ABC-A1B1C1的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱底面邊長為2，則該三角形斜邊長是（ ）.

A.3 B.22 C.23 D.32

解析如圖9，等腰直角三角形CDE的三個(gè)頂點(diǎn)在正三棱柱ABC-A1B1C1的三條側(cè)棱上（直角頂點(diǎn)為D），過D作DF⊥AA1，垂足為F，顯然，直角三角形EFD與直角三角形DBC全等.設(shè)BD=x，則AE=2x，在直角三角形DBC中，DC2=4+x2，在直角三角形EAC中，EC2=4x2+4，由EC2=2DC2，得4x2+4=2（4+x2），解得x=2，從

而EC=23.

故選C.

點(diǎn)評(píng)函數(shù)方程法解決立體幾何的最大特點(diǎn)是將形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來研究，其中，列出方程進(jìn)行計(jì)算，多用于判斷幾何元素之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而建立目標(biāo)函數(shù)，多見于解決立體幾何中的最值問題.

7.特例法

運(yùn)用滿足題設(shè)的某些特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形等對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判明選擇真?zhèn)蔚姆椒?，稱為特例法.

例8已知平面α∥平面β，直線mα，直線nβ，點(diǎn)A∈m，點(diǎn)B∈n，記點(diǎn)A、B之間的距離為a，點(diǎn)A到直線n的距離為b，直線m和n的距離為c，則（ ）.

A.b≤c≤aB.a≤c≤b

C.c≤a≤bD.c≤b≤a

解析在如圖10所示的單位正方體中，上、下底面分別記為α、β，直線m即AD1，直線n即BD，顯然

點(diǎn)A、B之間的距離為a=3，點(diǎn)A到直線n的距離為b=2，直線m和n的距離為c=1，則c

點(diǎn)評(píng)本題利用特殊位置加以分析求解，簡潔明了，特例法對(duì)巧解“秒殺”選擇題，往往能起到事半功倍的作用.

8.極限法

立體幾何選擇題中有一些任意選取或者變化的元素，對(duì)這些元素趨向于某個(gè)極限問題或變化到某個(gè)極端位置的狀況進(jìn)行估算，并以此估算為基礎(chǔ)，判斷選擇的結(jié)果.這種通過動(dòng)態(tài)變化，通過極端取值的方法稱為極限法.

例9設(shè)三棱錐的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，它們中的最大一個(gè)為S，記λ=S1+S2+S3+S4S，則λ一定滿足（ ）.

A.2<λ≤4B.3<λ≤4

C.2.5<λ≤3.5D.3.5≤λ<5.5

解析首先考慮一個(gè)特殊情形：當(dāng)三棱錐是一個(gè)正四面體時(shí)，四個(gè)面的面積相等，則S1=S2=S3=S4，這時(shí)λ=S1+S2+S3+S4S=4.再考慮一個(gè)極限情形，設(shè)S1、S2、S3、S4中S4最大，即S4=S，若面積為S所對(duì)應(yīng)的高h(yuǎn)→0，這時(shí)有S1+S2+S3→S，此時(shí)λ=S1+S2+S3+S4S→S+SS=2，由以上可知，2<λ≤4.

故選A.

點(diǎn)評(píng)在立體幾何中對(duì)一些判斷范圍型題目，恰當(dāng)運(yùn)用極端位置或極限思想，能較迅速解決問題，功效十分奇特.

（收稿日期：2015-07-14）