王世勇
在物理學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)屢見不鮮,無論是從最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)的運(yùn)算的應(yīng)用,還是到物理競(jìng)賽中使用數(shù)學(xué)的微積分.數(shù)學(xué)知識(shí)始終貫穿著物理學(xué),是整個(gè)物理學(xué)的重要工具.但在高中數(shù)學(xué)中也有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用到了物理知識(shí)講解更為清晰、明了.例如鏡面反射在高中數(shù)學(xué)中就有著其獨(dú)特的應(yīng)用.利用鏡面反射的對(duì)稱性可以求最值問題以及巧解部分問題.
案例一條光線從點(diǎn)A(-2,3)射出,經(jīng)x軸反射后,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(3,2),則反射光線所在的直線方程為 .
分析如圖1所示,光線是從點(diǎn)A(-2,3)發(fā)出,利用鏡面反射可看成光是由點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-2,-3)(A的像)發(fā)出的,要求反射光線只要求A′B的直線方程即可.
解析依題意知,A′(-2,-3)在反射光線上,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(3,2),
∴反射光線l的斜率k=2-(-3)3-(-2)=1.又l經(jīng)過點(diǎn)B(3,2),
由點(diǎn)斜式得反射光線l的方程為:y-2=x-3,
整理得:y=x-1.故答案為:y=x-1.
變式1已知點(diǎn)A(-2,3)、B(3,2)在x軸上找一點(diǎn)M,使得MA+MB的值最小.
解析本題同樣可以利用鏡面反射, 找點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-2,-3)(A的像),則MA=MA′,所以MA+MB=MA′+MB,要求MA+MB的最小值,即求MA′+MB的最小值,顯然當(dāng)A′、M、B三點(diǎn)共線時(shí),取最小值.M點(diǎn)即為直線A′ B與x軸的交點(diǎn).由上題可知直線A′ B為:y=x-1.令y=0,則x=1,故M(1,0).
此題也可以以下列形式出現(xiàn):求函數(shù)f(x)=(x+2)2+9+(x-3)2+4的值域.
先利用幾何法將其看成x軸上找一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)A(-2,3)、B(3,2)的距離之和,再用上式求解.
應(yīng)用1一條光線從點(diǎn)A(-2,3)射出,經(jīng)x軸反射后與圓C(x-3)2+(y-2)2=1相切,求反射光線的方程.
分析由鏡面反射可知光線可看成由點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-2,-3)(A的像)發(fā)出的,要求反射光線只要過A′點(diǎn)作圓C的切線即可.
解析點(diǎn)A(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(-2,-3),設(shè)過點(diǎn)A′(-2,-3)與圓相切的直線的斜率為k(當(dāng)直線斜率不存在時(shí),
此時(shí)圓心C(3,2)到直線x=-2的距離d=5>1,不能相切).因此方程可設(shè)為y+3=k(x+2)
,則d=|3k-2+2k-3|k2+12=1解得k2+1=25k2-50k+25,
即12k2-25k+12=0,(3k-4)(4k-3)=0,
則k=43或k=34,故所求直線為4x-3y-1=0或3x-4y-6=0.
此題用鏡面反射的對(duì)稱性使問題大大減少了運(yùn)算量.
應(yīng)用2如圖2所示,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn),∠F1PF2的外角平分線為l,點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求R形成的軌跡方程.
分析由題意可知點(diǎn)R為QF2的中點(diǎn),|OR|=12|QF1|,而|QF1|=
|F1P|+|PQ|,
再利用光學(xué)原理,點(diǎn)Q關(guān)于∠F1PF2的外角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)為F2,
所以|PQ|=|PF2|,此時(shí)再次利用橢圓的定義|QF1|=|F1P|+|PF2|=2a.
解析∵點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接PQ,
∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|
又因?yàn)閘為∠F1PF2外角的平分線,故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上,
設(shè)存在R(x0,y0),Q(x1,y1),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,
則(x1+c)2+y21=(2a)2.又x1=2x0-c,y1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2,∴x20+y20=a2.
故R的軌跡方程為:x2+y2=a2(y≠0)
在高中數(shù)學(xué)中還有很多的物理知識(shí)的應(yīng)用,比如電路的串聯(lián)與并聯(lián)與邏輯的或命題與且命題的真假關(guān)系等,值得我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)與研究.
(收稿日期:2015-07-12)