例談高中物理“等時(shí)圓”模型的應(yīng)用

朱宗奎

在高中物理學(xué)習(xí)中，學(xué)生若能在理解的基礎(chǔ)上記住了一些物理模型或“二級(jí)結(jié)論”，可 以幫助學(xué)生提高解決高中物理問(wèn)題的效率和準(zhǔn)確性。本文主要介紹高中物理中的等時(shí)圓模型及其應(yīng)用.

一、“等時(shí)圓”等時(shí)性介紹

1.如圖1所示，若小球從圓上的頂端A點(diǎn)沿光滑的弦軌道由靜止開(kāi)始滑下，則小球滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間都相等，且都等于小球沿豎直直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即：

tO= 2d g = 4R g =2 R g ，其中R為圓的半徑.

2.如圖2所示，若小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道由靜止開(kāi)始滑下，則小球滑到圓的底端B點(diǎn)的時(shí)間都相等，且都等于小球沿豎直直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即： tO= 2d g = 4R g =2 R g ，

其中R為 圓的半徑.

圖1 圖2

二、“等時(shí)圓”等時(shí)性的推導(dǎo)

如圖1所示，已知圓的半徑為R，A為圓的頂點(diǎn)，某物體從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿光滑弦軌道下滑，光滑弦軌道與水平方向的夾角為α.由牛頓第二定律得，物體沿光滑弦軌道做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=gsinα，位移為：s=2Rsinα，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

tO= 2s a = 4Rsinα gsinα =2 R g

（2）如圖4，設(shè)粒子在第n層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為vn，軌跡半徑為rn（各量的下標(biāo)均代表粒子所在層數(shù)，下同） 圖4

nqEd= 1 2 mv2n-0 ⑤

qvnB= mv2n rn ⑥

粒子進(jìn)入第n層磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為αn，從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θn，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，垂直于電場(chǎng)線方向的速度分量不變，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn ⑦

由圖5可得：

rnsinθn-rnsinαn=d ⑧

由⑥⑦⑧式得： 圖5

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d ⑨

由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…， rnsinθn為一等差數(shù)列，公差為d，可得：

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d ⑩

當(dāng)n=1時(shí)，由圖5看出

r1sinθ1=d B11

由⑤⑥⑩B11式得：

sinθn=B nqd 2mE B12

（3）若粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出，則θn= π 2 ，sinθn=1.

在其他條件不變的情況下，換用比荷更大的粒子，設(shè)其比荷為 q′ m′ ，假設(shè)能穿出第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界，粒子穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θn′，由于 q′ m′ > q m ，則導(dǎo)致sinθn′>1，說(shuō)明θn′不存在，即原假設(shè)不成立，所以比荷較該粒子大的粒子不能穿出該層磁場(chǎng)右側(cè)邊界.

思維拓展 粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好和磁場(chǎng)右側(cè)邊界相切，進(jìn)而可推出θn= π 2 ，另外假設(shè)法是求解物理試題的一種好方法，當(dāng)我們思路打不開(kāi)時(shí)，可以大膽地采用假設(shè)法，假設(shè)法相當(dāng)于多給題目增加一個(gè)條件，采用假設(shè)法往往獨(dú)辟蹊徑，柳暗花明.

平時(shí)遇到物理題目時(shí)，要展開(kāi)聯(lián)想，對(duì)題進(jìn)行拆分，對(duì)知識(shí)進(jìn)行鋪墊，多練多想，時(shí)間久了就會(huì)水到渠成，碰到物理題時(shí)就不感覺(jué)那么難了.

所以，若物體從圓上的頂點(diǎn)A沿光滑的弦軌道由靜止開(kāi)始滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的過(guò)程中，時(shí)間都相等，與弦軌道的長(zhǎng)度、傾角均無(wú)關(guān).

同理可證明上面圖2的等時(shí)性.

三、應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題

圖3

例1 如圖3所示，位于豎直平面內(nèi)的固定光滑圓軌道與水平軌道面相切于M點(diǎn)，與豎直墻相切于A點(diǎn)，豎直墻上另一點(diǎn)B與M的連線和水平面的夾角為60°，C是圓軌道的圓心.已知在同一時(shí)刻，a、b兩球分別由A、B兩點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)；c球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn).則（ ）.

A.a球最先到達(dá)M點(diǎn)

B.b球最先到達(dá)M點(diǎn)

C.c球最先到達(dá)M點(diǎn)

D.c、a、b三球依次先后到達(dá)M點(diǎn)

解析 設(shè)圓軌道半徑為R，據(jù)“等時(shí)圓”模型結(jié)論有，

tO=2 R g ；B點(diǎn)在圓外，tb>ta，c球做自由落體運(yùn)動(dòng)tc= R g ；所以有tb>ta>tc.C、D正確.

例2 傾角為30°的長(zhǎng)斜坡上有C、O、B三點(diǎn)，CO=OB=10m，在A點(diǎn)豎直地固定一長(zhǎng)10 m的直桿AO.A端與C點(diǎn)間和坡底B點(diǎn)間各連有一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質(zhì)點(diǎn)），將兩球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始、同時(shí)分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖4，則小球在鋼繩上滑行的時(shí)間tAC和tAB分別為（ ）（取g=10 m/s2）

A.2s和2s B. 2 s和2 s

C. 2 s和4 s D.4 s和 2 s

圖4

圖5

解析 由于CO=OB=OA ，故A、B、C三點(diǎn)共圓，O為圓心.又因直桿AO豎直，A點(diǎn)是該圓的最高點(diǎn)，如圖5所示.兩球由靜止釋放，且光滑無(wú)摩擦，滿足“等時(shí)圓”條件.設(shè)鋼繩AB和AC與豎直方向夾角分別為α1、α2，該圓半徑為r，則對(duì)鋼球均有2rcosα= 1 2 gcosα·t2.

解得 t= 4r g ，鋼球滑到斜坡時(shí)間t跟鋼繩與豎直方向夾角α無(wú)關(guān)，且都等于由A到D的自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間.代入數(shù)值得t=2 s，選項(xiàng)A正確.

例3 如圖6所示，AB是一個(gè)傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假設(shè)其光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？

圖6 圖7

解析 借助“等時(shí)圓”理論，可以以過(guò)P點(diǎn)的豎 直線為半徑做圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖7所示，C為切點(diǎn)，O為圓心.顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等.因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC弦建立管道.由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于θ/2.

圖8

例4 如圖8所示，圓弧AB是半徑為R的1/4圓弧，在AB上放置一光滑木板BD，一質(zhì)量為m的小物體在BD板的D端由靜止下滑，然后沖向水平面BC，在BC上滑行L后停下.不計(jì)小物體在B點(diǎn)的能量損失，已知小物體與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.求：小物體在BD上下滑過(guò)程中，重力做功的平均功率.

解析 由動(dòng)能定理可知小物體從D到C有WG-μmgL=0，所以WG=μmgL，由等時(shí)圓知識(shí)可知小物體從D到B的時(shí)間等于物體從圓周的最高點(diǎn)下落到B點(diǎn)的時(shí)間，即為t= 4R g ，所以小物體在木板BD上下滑過(guò)程中，重力做功的平均功率為P= WG t = μmgL 2 g R .

以上只是平時(shí)所見(jiàn)到幾例習(xí)題，由以上幾例不難看出，只要學(xué)生心中建立了等時(shí)圓模型，可以極大地提高學(xué)生解決這一類物理問(wèn)題的效率和準(zhǔn)確性.