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    基于二階錐優(yōu)化的復(fù)系數(shù)FIR濾波器設(shè)計(jì)

    2015-12-21 08:59:44王鐵丹陳昌云
    航天電子對(duì)抗 2015年3期
    關(guān)鍵詞:幅頻范數(shù)二階

    王鐵丹,郭 輝,張 昕,陳昌云,高 祺

    (中國航天科工集團(tuán)8511研究所,江蘇 南京210007)

    0 引言

    FIR濾波器因其良好的頻率響應(yīng)及線性相位特性而被廣泛應(yīng)用到大量工程場(chǎng)合,而隨著需求的不斷擴(kuò)大,在波形均衡器、地震雜波濾波及衛(wèi)星信道分配等應(yīng)用領(lǐng)域,要求設(shè)計(jì)出具有任意幅度及相位響應(yīng)的復(fù)系數(shù)濾波器。基于實(shí)系數(shù)交錯(cuò)定理首先被推廣到了復(fù)數(shù)域,從而提高復(fù)系數(shù)濾波器的一些性能要求[1]。之后,文獻(xiàn)[2~3]使用最小二乘法方設(shè)計(jì)具有低群延時(shí)的復(fù)系數(shù)濾波器。周青松[4]等將二階錐優(yōu)化引入低群延時(shí)復(fù)系數(shù)FIR 濾波器設(shè)計(jì),取得較好效果。因此,本文利用二階錐優(yōu)化(SOCP)方法來設(shè)計(jì)具有任意幅相響應(yīng)的復(fù)系數(shù)FIR 濾波器,通過少許頻率響應(yīng)期望點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插,再通過MATLAB 的CVX 工具箱,簡(jiǎn)單有效地設(shè)計(jì)出期望的復(fù)系數(shù)FIR 濾波器,在工程中得到良好的應(yīng)用。

    采用FIR 濾波器對(duì)具有一定帶寬的信號(hào)進(jìn)行幅相均衡,減少微波器件帶來的信號(hào)失真,其系統(tǒng)框圖如圖1所示。

    圖1 基于FIR 濾波器的幅相均衡器系統(tǒng)框圖

    當(dāng)經(jīng)過正交解調(diào)的數(shù)字復(fù)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)入設(shè)計(jì)好的FIR 濾波器后,該濾波器的幅頻及相頻響應(yīng)在期望頻率段內(nèi)都是和頻率相關(guān)的函數(shù),達(dá)到對(duì)信號(hào)進(jìn)行幅相均衡的效果,而該方法和核心問題為在已知預(yù)設(shè)頻譜響應(yīng)的情況下如何設(shè)計(jì)出合適的FIR 濾波器系數(shù)。

    1 FIR濾波器設(shè)計(jì)算法

    1.1 二階錐優(yōu)化的基本原理

    二階錐優(yōu)化是凸優(yōu)化問題的一個(gè)子集。二階錐優(yōu)化是在滿足一組二階錐優(yōu)化和線性等式約束的條件下使某線性函數(shù)最小化,它具有成熟性高,計(jì)算結(jié)果精確等優(yōu)點(diǎn)[5]。

    二階錐優(yōu)化一般形式為:

    式中,y∈Cα×1為優(yōu)化向量,b∈Cα×1,Ai∈Cαi()-1×α,bi∈Cαi( )-1×1,ci∈Cα×1,di∈R,F(xiàn)∈Cg×α,g∈Cα×1,表示Euclid范數(shù),此處為l1范數(shù),C 表示復(fù)數(shù)集,R 表示實(shí)數(shù)集。

    其中每個(gè)約束可寫成二階錐形式:

    式(1)中的Fy=g 可以表示為零錐的形式[5]:

    由上述推導(dǎo)可知,線性規(guī)劃和凸二次規(guī)劃都是二階錐規(guī)劃的特例。將非負(fù)集合表示為R+,則二階錐問題都可以表述為:

    式中的約束表示有q1個(gè)等式約束,q2個(gè)線性不等式約束及q3個(gè)二階錐優(yōu)化。

    1.2 濾波器系數(shù)計(jì)算

    假設(shè)FIR 濾波器的沖擊響應(yīng)為:

    其在頻率fk上的頻率響應(yīng)為:

    工程中一般對(duì)頻段進(jìn)行等間隔劃分后確定部分特殊頻點(diǎn)的幅相響應(yīng),為了使濾波器設(shè)計(jì)更平滑,對(duì)特殊頻點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)插,一般測(cè)量10~20個(gè)特殊頻點(diǎn)后,內(nèi)插至1000~2000個(gè)期望響應(yīng)值。期望濾波器響應(yīng)可表示 為:Hidea= [Hidea(f1),Hidea(f2),…,Hidea(fK)]。而實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器響應(yīng)為: Hdesign=[Hdesign(f1),Hdesign(f2),…,Hdesign(fK)]。則期望濾波器與設(shè)計(jì)濾波器響應(yīng)的誤差可以表示為:

    p 的不同取值可以代表不同的約束形式,當(dāng)p 取值為1,表示L1范數(shù),其定義為:

    常用的還有當(dāng)p 取值為2,表示L2范數(shù),當(dāng)p 為inf時(shí),表示無窮范數(shù),其定義分別為:

    當(dāng)使用無窮范數(shù)時(shí),濾波器設(shè)計(jì)法則即為經(jīng)典的切比雪夫逼近理論設(shè)計(jì)法。ε表示了設(shè)計(jì)的濾波器與期望響應(yīng)之間在通帶內(nèi)的誤差,而在非通帶范圍,幅相均衡器要求不對(duì)帶外信號(hào)進(jìn)行放大即可,即:

    式中,fm為對(duì)需要均衡的帶外頻率的均勻劃分。整個(gè)約束可以表示為:

    式(14)通過使用MATLAB 中的CVX 工具箱可對(duì)二階錐優(yōu)化進(jìn)行求解。CVX 工具箱由斯坦福大學(xué)的Michael Grant及Stephen Boyd制作,用于求解線性優(yōu)化(Linear Programs)、二次優(yōu)化(Quadratic Programs)、二階錐優(yōu)化和半定優(yōu)化(Semidefinite Programs)。

    2 設(shè)計(jì)實(shí)例

    大量工程項(xiàng)目中遇到需要通過FIR 濾波器設(shè)計(jì)幅相均衡器達(dá)到通道均衡等目的,該算法負(fù)責(zé)計(jì)算所需的復(fù)系數(shù)濾波器系數(shù),計(jì)算的結(jié)果可直接應(yīng)用于各類FPGA 或者DSP系統(tǒng)中。下面通過設(shè)計(jì)實(shí)例來證明本文所提算法的有效性。

    1)工程實(shí)例一

    該工程中要求設(shè)計(jì)一幅頻均衡器,幅度校正系數(shù)為:g=[-8.75-7.78-6.72-6.86-6.80-4.98-2.42-1.42 0.00],對(duì)應(yīng)角頻率為0.1π~0.9π,等間隔取樣共11個(gè)點(diǎn),校正結(jié)果如圖2所示。

    通過圖2的左圖可以看到實(shí)際設(shè)計(jì)的幅頻校正曲線與理想的幅頻校正曲線非常接近,通過計(jì)算得到的8階復(fù)系數(shù)FIR 濾波器校正后,幅度抖動(dòng)由原來的8dB 降低到0.7dB校正效果明顯。由于該實(shí)例未對(duì)相頻校正提出要求,設(shè)計(jì)的相頻曲線為線性相位。

    2)工程實(shí)例二

    該工程要求設(shè)計(jì)一幅相頻均衡器,幅度及相位校正曲線分別如圖3及圖4所示。

    可以看到經(jīng)過復(fù)系數(shù)FIR 均衡器校正后,幅度偏差由原來的最大-5.5dB 降低為0.31dB,相位擾動(dòng)也由原來的最大偏差40°降低為2.5°,校正效果明顯。

    圖2 8階實(shí)系數(shù)濾波器校正結(jié)果,校正后幅度差值為0.7dB

    圖3 32階FIR 濾波器幅頻校正圖,校正后幅度差值為0.3115dB

    圖4 32階FIR 濾波器相頻校正圖,校正后相位最大差值2.5343°

    3 結(jié)束語

    FIR濾波器可以一定帶寬信號(hào)進(jìn)行幅度及相位上一致性的校正。低階數(shù)的實(shí)系數(shù)FIR濾波器即可對(duì)幅頻誤差校正取得較好的效果,需要的硬件資源很少。而需要進(jìn)行幅頻及幅相同時(shí)校正的情況,需設(shè)計(jì)復(fù)系數(shù)FIR 濾波器,需要的階數(shù)一般也高于單純進(jìn)行幅頻校正的濾波器?!?/p>

    [1]Karam LJ,Mcclellan JH.Complex Chebyshev approximation for FIR filter design[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II,1995,42(3):207-246.

    [2]賴曉平,袁博,徐東.低群延遲有限沖激響應(yīng)濾波器約束最小二乘設(shè)計(jì)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2010,44:1271-1275.

    [3]張少蔚,徐東,袁博,等.復(fù)數(shù)FIR 濾波器橢圓誤差約束最小二乘設(shè)計(jì)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2010,44:1339-1342.

    [4]周青松,張劍云,李小波,等.二階錐規(guī)劃方法對(duì)于低群延時(shí)復(fù)系數(shù)有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào),2011,16(3):75-80.

    [5]Lobo MS,Vandenberghe L,Boyd S.Applications of second order cone programming international linear algebra society symposim on fast algorithms for control[J].Signals and Image Processing,1998,284:193-228.

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