基于二型模糊邏輯系統(tǒng)的改進(jìn)卡爾曼濾波算法

華 晶，何火嬌，王映龍

（1.江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，江西 南昌330045；2.南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 南昌330031；3.江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 江西省高等學(xué)校農(nóng)業(yè)信息技術(shù)重點實驗室，江西 南昌330045）

0 引 言

常用于狀態(tài)估計的濾波器有中值濾波、均值濾波和卡爾曼濾波等。其中，卡爾曼濾波［1－3］應(yīng)用最為廣泛?？柭鼮V波算法的性能非常依賴于先驗噪聲統(tǒng)計特性的質(zhì)量。已經(jīng)證明噪聲先驗統(tǒng)計特性不準(zhǔn)確可能嚴(yán)重降低濾波算法的性能［4］，甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散。事實上，在很多實際應(yīng)用中，由于各方面的因素，噪聲統(tǒng)計特性的估計與實際不符。在使用傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法進(jìn)行狀態(tài)估計時，若噪聲的協(xié)方差仍然用先驗估計值，必然會使?fàn)顟B(tài)估計值產(chǎn)生較大的誤差，影響估計的準(zhǔn)確度。針對這一問題，國內(nèi)外學(xué)者先后提出了許多自適應(yīng)濾波方法［5－8］。這些方法的基本思想都是：在卡爾曼濾波過程中，使用自適應(yīng)技術(shù)對噪聲統(tǒng)計特性進(jìn)行實時調(diào)整。然而，迄今為止，絕大多數(shù)方法都是集中在利用一型模糊邏輯實現(xiàn)自適應(yīng)調(diào)整。本文提出一種二型模糊卡爾曼濾波算法 （簡稱為IT2FKF），在傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法中使用二型模糊邏輯系統(tǒng)不斷地調(diào)整噪聲方差矩陣，使其逐漸逼近真實噪聲水平，從而避免濾波的發(fā)散，并提高濾波精度。并通過仿真實驗驗證了該算法的有效性和可行性。

1 二型模糊邏輯系統(tǒng)

二型模糊集合［9－15］的概念是由Zadeh教授在普通模糊集合 （一型模糊集合）的基礎(chǔ)上提出的。它與一型模糊集合的不同在于，它的隸屬度本身存在模糊性，是一個一型模糊集合，從而能更好地描述不確定性。

一個定義在論域X 上的二型模糊集合珦A 可以表示為

其中，μ珦A（x）是x 的隸屬度函數(shù)，它是 ［0，1］上的一個普通模糊集合；u和fx（u）分別為主、次隸屬度值。

如果一個模糊邏輯系統(tǒng)中至少使用一個二型模糊集合，則稱之為二型模糊邏輯系統(tǒng)，主要由以下5個部分構(gòu)成。

1.1 模糊化

當(dāng)x ＝x′時，μ珦AX（x）＝1／1；

當(dāng)x ≠x′時，μ珦AX（x）＝1／0。

1.2 模糊規(guī)則

若一個二型模糊邏輯系統(tǒng)有p 個輸入x1∈X1，…，xp∈Xp，并且包含M 條規(guī)則，那么，第l條規(guī)則可寫為

1.3 模糊推理

基于已設(shè)置好的模糊規(guī)則，模糊推理把輸入的二型模糊集合轉(zhuǎn)換成輸出的二型模糊集合。

Rl的次隸屬度函數(shù)為

由輸入與規(guī)則合成得到輸出珟Bl的隸屬函數(shù)為

激發(fā)集是區(qū)間一型集合，表示為

在推理過程中，n 個前件通過 “交”運算連接，而m條模糊規(guī)則通過 “并”運算進(jìn)行組合。

1.4 降 型

由于模糊推理的結(jié)果是二型模糊集合，為了進(jìn)行下一步的解模糊運算，先將二型模糊集合轉(zhuǎn)換成一型模糊集合。此步驟可以看作是解模糊的擴展。

二型模糊系統(tǒng)常用的降型方法有很多，其中，centerof－sets相對于其它方法具有實際意義，所以本文中采用這種降型方法，它的表達(dá)式如下

1.5 解模糊

二型模糊邏輯系統(tǒng)的解模糊是將降型得到的一型模糊集合映射為實數(shù)輸出。式 （7）是一個區(qū)間集合，解模糊只需要求區(qū)間端點的中心即可

2 改進(jìn)的自適應(yīng)卡爾曼濾波

在傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法中，都是假定事先知道系統(tǒng)的過程噪聲和量測噪聲的協(xié)方差矩陣。在很多實際應(yīng)用中，過程噪聲的統(tǒng)計特性可以通過實驗手段獲得。但是，量測噪聲的統(tǒng)計特性是不確定的。然而，卡爾曼濾波算法估計的準(zhǔn)確度和先驗噪聲統(tǒng)計特性的質(zhì)量密切相關(guān)。因此，為了使系統(tǒng)的量測噪聲更接近于實際情況，本文使用二型模糊邏輯實時估計量測噪聲方差R，使得新息的理論協(xié)方差和實際協(xié)方差相匹配，從而影響濾波的增益值，修正狀態(tài)估計值，提高估計準(zhǔn)確度。

新息的理論方差為

新息的實際方差為

其中，ri為新息或殘差，i0＝k－M＋1 是估計窗口的第一個采樣。M 為采樣窗口的長度，一般根據(jù)經(jīng)驗選定。

理想情況下，新息的理論方差和實際方差應(yīng)該大約相同，如果兩者值偏差太大，這就表示量測噪聲水平發(fā)生了改變，那么，這時就應(yīng)該采取一定的辦法調(diào)節(jié)理論方差，使得它重新接近于實際方差的值。

為了檢測兩者之間的差異，定義一個新的變量d

由式 （9）和式 （11）可知，增大Rk將導(dǎo)致Sk增大，反之亦然。那么，可以由dk的值來調(diào)整Rk，從而改變Sk的值，最終減小Sk與Ck之間的差異。因此，以dk中的對角元素dk（i，i）作為模糊推理系統(tǒng)的輸入語言變量，輸出語言變量為相應(yīng)的調(diào)節(jié)增量因子fk。其調(diào)整方法為

定義輸入變量dk的模糊集合為 ｛NL （負(fù)大），NS （負(fù)小），ZO （零），PS （正?。琍L （正大）｝，輸出變量fk的模糊集合 為 ｛IL （增 大），IS （增 ?。琈N （保 持），DS（減小），DL （減大）｝，它們的隸屬度函數(shù)如圖1所示，均采用二型三角隸屬函數(shù)。

圖1 輸入／輸出變量隸屬函數(shù)

根據(jù)以上分析，模糊推理規(guī)則見表1。

表1 模糊推理規(guī)則

降型和解模糊方法分別采用文中第一部分介紹的centerof－sets和centroid。將每次模糊推理系統(tǒng)的輸出fk帶入式（12），對Rk進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。IT2FKF算法流程如圖2所示。

圖2 IT2FKF算法

3 仿真實驗

3.1 仿真模型

采用以下線性系統(tǒng)模型［16］進(jìn)行仿真實驗

3.2 實驗結(jié)果及分析

為了驗證IT2FKF 算法的有效性，我們將其與傳統(tǒng)卡爾曼 濾 波 算 法 （KF）、一 型 模 糊 卡 爾 曼 濾 波 算 法［16］（T1FKF）進(jìn)行對比。

表2 給出了量測均方誤差，以及 KF、T1FKF、IT2FKF算法的估計均方誤差的比較。顯然，IT2FKF的估計均方誤差最小。

表2 量測和估計均方誤差對比

圖3為狀態(tài)x1（位置）的跟蹤曲線，實線表示位置的實際值，點劃曲線表示位置的測量值，長虛線表示用IT2FKF算法對位置的估計?？梢钥闯?，盡管事先不知道準(zhǔn)確的量測噪聲協(xié)方差，但是IT2FKF 算法可以得比量測位置更接近于實際位置的估計。

圖3 位置跟蹤曲線比較

圖4為傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法、一型模糊卡爾曼濾波算法和二型模糊卡爾曼濾波算法進(jìn)一步的比較。長虛線、點劃線和實線分別表示用KF、T1FKF 和IT2FKF 算法得到的位置的估計值與實際值之間的誤差。由圖4 可知，IT2FKF算法比其它兩種算法的估計誤差都更小，濾波精度更高。

圖4 位置估計誤差比較

4 結(jié)束語

針對實際情況下，量測噪聲協(xié)方差不能準(zhǔn)確知道或者不斷變化這一問題，本文提出了一種基于二型模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法 （IT2FKF）。為了驗證本文所提出的IT2FKF算法的性能，采用一個線性系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真實驗，并將其與傳統(tǒng)卡爾曼濾波、一型模糊卡爾曼濾波兩種算法進(jìn)行對比。仿真實驗結(jié)果表明，IT2FKF 算法有效地提高了狀態(tài)估計的準(zhǔn)確度。

文中所采用的區(qū)間二型模糊集合的隸屬函數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗而選擇的，需要耗費大量的時間，因此，后期的研究工作將著重解決此問題。

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