運(yùn)動(dòng)模糊圖像點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)

劉紅亮，陳維義，傅茂聰，熊宏錦

(1．海軍工程大學(xué) 兵器工程系，湖北 武漢430033;2．海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶400042)

0 引 言

光電成像設(shè)備在艦船、車輛、飛機(jī)、導(dǎo)彈等航行體的偵查觀測(cè)、目標(biāo)識(shí)別、導(dǎo)航制導(dǎo)等過(guò)程中發(fā)揮著重要作用。但成像過(guò)程中，攝像設(shè)備與成像對(duì)象之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)造成圖像退化，產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)模糊［1］。運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原技術(shù)及其應(yīng)用是當(dāng)今圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)，而準(zhǔn)確辨識(shí)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(PSF)是進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原的關(guān)鍵。點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)主要包含運(yùn)動(dòng)模糊角度和運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度2 個(gè)參數(shù)，針對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題人們進(jìn)行了大量的研究和探索［2－3］。文獻(xiàn)［4］提出基于方向微分的運(yùn)動(dòng)模糊方向鑒別方法，但這種方法不僅需要進(jìn)行插值、微分等運(yùn)算，計(jì)算量大，還會(huì)受到圖像本身的統(tǒng)計(jì)特性影響很大。文獻(xiàn)［5］通過(guò)計(jì)算運(yùn)動(dòng)模糊退圖像自相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值來(lái)估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度，但這種方法沒(méi)有充分利用運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻域特性，直觀性不強(qiáng)，而且計(jì)算量也比較大，實(shí)時(shí)性不強(qiáng)。

本文在對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的退化模型及點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，采用基于Radon 變換的方法確定運(yùn)動(dòng)模糊角度，并采用對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖投影求和的方法確定其運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度，然后結(jié)合快艇圖像的仿真實(shí)驗(yàn)分析點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)表明，本文方法形象直觀，計(jì)算量小，能夠滿足點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)參數(shù)辨識(shí)精度的要求。

1 運(yùn)動(dòng)模糊圖像退化模型

在線性平移空間不變運(yùn)動(dòng)模糊系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)模糊圖像g(x，y)可表示為原始圖像f(x，y)和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y)的二維卷積［1］:

其中n(x，y)為加性噪聲。為便于計(jì)算，通常不考慮噪聲對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的影響，即

對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換，有

從物理現(xiàn)象上看，運(yùn)動(dòng)模糊圖像實(shí)際上是同一景物圖像經(jīng)過(guò)一系列的距離延遲和疊加后最終形成的圖像?？焱D像(512 ×512 像素)及其運(yùn)動(dòng)模糊圖像見(jiàn)圖1。設(shè)在攝像設(shè)備的積分時(shí)間T 內(nèi)，成像對(duì)象在水平方向和垂直方向的運(yùn)動(dòng)距離分別為ax和ay，則運(yùn)動(dòng)模糊圖像可表示為［6］

圖1 快艇圖像及其運(yùn)動(dòng)模糊圖像Fig.1 Speed boat image and motion blurred image

對(duì)式(4)進(jìn)行傅里葉變換得

又因G(u，v)=F(u，v)H(u，v)，則點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為

設(shè)數(shù)字圖像尺寸為M × N，上式的離散形式為

2 點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的成像原理，可建立點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)模型。設(shè)運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)模糊角度為θ，則點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h(x，y)的一般形式如下所示［2］:

因此，水平方向勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)為

可見(jiàn)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)就是確定其運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 和運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L 的過(guò)程。

2.1 運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 的確定

運(yùn)動(dòng)模糊角度的確定是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中最重要的步驟之一。由式(7)可得

可 見(jiàn)， 當(dāng) uax/M + vay/N 等 于 0 時(shí)，取得最大值1，此時(shí)，G(u，v)顯示為亮條紋;當(dāng) uax/M + vay/N 等于非零整數(shù)時(shí)，取得最小值0，此時(shí)，G(u，v)顯示為暗條紋;由于內(nèi)包含正弦周期函數(shù)，即使uax/M + vay/N 無(wú)法恰好等于整數(shù)，運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖G(u，v)也依然會(huì)呈現(xiàn)規(guī)則的明暗相間條紋狀。運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L 為10 像素，運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 分別為30°和60°的頻譜圖G(u，v)，如圖2 所示。

顯然，直線uax/M + vay/N = k(k 為整數(shù))的斜率就是運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖暗條紋傾斜角ψ 的正切值，其與運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 的關(guān)系可表示為

圖2 不同模糊角度的運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖Fig.2 Spectrogram of motion blurred image with different motion blurred direction

因此，只要通過(guò)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖求出其暗條紋傾斜角ψ，即可檢測(cè)出運(yùn)動(dòng)模糊角度θ。Radon變換可以用來(lái)檢測(cè)圖像中直線的角度，圖像f(x，y)的Radon 變換代表其在角度為ψ，與原點(diǎn)距離為ρ 的直線上的投影［7］:

其中δ()為脈沖函數(shù)。

運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖沿暗條紋傾斜角ψ 方向的線積分會(huì)取得最大值。因此對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖在0° ～179°范圍內(nèi)依次進(jìn)行Radon 變換，變換結(jié)果最大值對(duì)應(yīng)的角度即為與暗條紋傾斜角ψ垂直的角度，從而可以求出暗條紋斜角ψ 和運(yùn)動(dòng)模糊角度θ。顯然，在圖像尺寸M = N 的情況下，Radon 變換極大值曲線中最大值對(duì)應(yīng)的角度即為運(yùn)動(dòng)模糊角度θ。圖3 是快艇圖像在運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L為10 像素，運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 為30°時(shí)的運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖的Radon 變換結(jié)果。在依次求得0° ～179°對(duì)應(yīng)的Radon 變換極大值后，即可確定運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖在不同角度下Radon 變換的極大值曲線(見(jiàn)圖4)。頻譜圖Radon 變換極大值曲線在32°時(shí)取得最大值，因此可采用基于Radon 變換的方法確定運(yùn)動(dòng)模糊角度。

2.2 運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L 的確定

由運(yùn)動(dòng)模糊圖像準(zhǔn)確地估計(jì)出運(yùn)動(dòng)模糊角度之后，可以通過(guò)圖像旋轉(zhuǎn)，將運(yùn)動(dòng)模糊角度旋轉(zhuǎn)

圖3 頻譜圖的Radon 變換Fig.3 Radon transform of spectrogram

圖4 頻譜圖Radon 變換極大值曲線Fig.4 Maximum curve of Radon transform

到水平軸方向，即將點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的運(yùn)動(dòng)模糊角度θ旋轉(zhuǎn)為0，從而將對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模糊點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐痪S的(如式(9)所示)，降低了運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度的求解難度。由于f(x，y)和F(u，v)的尺寸均為M ×N，式(9)必須擴(kuò)充為如下形式

該矩陣的尺寸為M × N，第一行有L 個(gè)1/L，其他位置補(bǔ)0，對(duì)其進(jìn)行離散傅里葉變換得

可見(jiàn)，當(dāng)u 等于0 時(shí)，H(u，v)= 1;當(dāng)u 不等于0 時(shí)，當(dāng)uL/M 為整數(shù)n 即u1= nM/L 時(shí)，H(u，v)=0，此時(shí)，運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖G(u，v)會(huì)呈現(xiàn)暗條紋;當(dāng)uL/M 為整數(shù)n + 1即u2= (n +1)M/L 時(shí)，H(u，v)= 0，此時(shí)，運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖G(u，v)仍會(huì)呈現(xiàn)暗條紋。因此，只要計(jì)算出運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖G(u，v)的任意2條相鄰暗條紋的間距u2－ u1，即可確定運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L = M/(u2－ u1)。這說(shuō)明，在頻譜圖尺寸不變的情況下，頻譜圖中任意2 條相鄰暗條紋的間距與運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度成反比。

圖5 是快艇圖像在運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 為0，運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度分別為10 像素和20 像素時(shí)的運(yùn)動(dòng)模糊圖像的頻譜圖，通過(guò)移位使u = 0，v = 0 位于頻譜圖的中心位置，因此頻譜圖的中心為亮條紋，該亮條紋的寬度為任意2 條相鄰暗條紋的間距的2 倍。

圖5 不同模糊長(zhǎng)度的運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖Fig.5 Spectrogram of motion blurred image with different motion blurred length

由上文分析可知，獲得頻譜圖中心亮條紋的寬度是確定運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L 的關(guān)鍵。為了減小隨機(jī)性誤差，利用頻譜圖整列的統(tǒng)計(jì)信息，對(duì)圖5(a)沿列方向投影求和(見(jiàn)圖6)。顯然求和曲線的最大值對(duì)應(yīng)著頻譜圖中心亮條紋，與最大值距離最近的2 個(gè)極小值分居其左右兩側(cè)，分別對(duì)應(yīng)著頻譜圖中的2條暗條紋。因此只要求出這2 個(gè)極小值的橫坐標(biāo)，即可確定頻譜圖中心亮條紋的寬度，進(jìn)而確定運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L。

圖6 頻譜圖沿列方向投影求和曲線Fig.6 Projective summation curve of the spectrogram

由于運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度與頻譜圖中心亮條紋的寬度成反比，當(dāng)中心亮條紋的寬度為頻譜圖的行數(shù)M時(shí)，頻譜圖中任意2 條相鄰暗條紋的間距就是M/2，此時(shí)，可以確定運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度為2 像素。因此，本文這種通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像頻譜圖投影求和來(lái)確定運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度的算法只適用于運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度大于2像素的情況。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證本文所提點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù) (運(yùn)動(dòng)模糊角度和運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度)辨識(shí)算法的有效性，我們采用標(biāo)準(zhǔn)快艇圖像進(jìn)行測(cè)試。首先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 的求解測(cè)試。將快艇圖像的運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L 固定為10 像素，將其運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 依次設(shè)為0°，10°，20°，…，170°，用本文方法依次求出其運(yùn)動(dòng)模糊角度計(jì)算誤差，測(cè)設(shè)結(jié)果見(jiàn)圖7?？梢?jiàn)，在運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度為10 像素的情況下，基于Radon 變換的方法可以較為準(zhǔn)確地確定出運(yùn)動(dòng)模糊圖像的運(yùn)動(dòng)模糊角度，其計(jì)算誤差絕對(duì)值不大于3°。在其他運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度情況下，該運(yùn)動(dòng)模糊角度求解算法具有類似的測(cè)設(shè)結(jié)果。

圖7 運(yùn)動(dòng)模糊角度計(jì)算誤差Fig.7 Error of motion blurred direction

表1 運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度計(jì)算結(jié)果/ (像素)Tab.1 Error of motion blurred length/ (pixel)

在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L 的求解測(cè)試時(shí)，將快艇圖像的運(yùn)動(dòng)模糊角度θ 固定為10°，本文方法在不同運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度下的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。由表1 可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度大于2 像素時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與真實(shí)值的絕對(duì)誤差不超過(guò)0.3 像素，因此，本文算法能夠有效確定運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度。在其他運(yùn)動(dòng)模糊角度情況下，該運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度求解算法具有類似的測(cè)設(shè)結(jié)果。

當(dāng)運(yùn)動(dòng)模糊角度為10°，運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度為2 像素時(shí)，對(duì)頻譜圖沿列方向投影求和(見(jiàn)圖8)。對(duì)比圖6 (其運(yùn)動(dòng)模糊角度為0°，模糊長(zhǎng)度為10 像素)可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度為2 像素時(shí)，頻譜圖沿列方向投影求和曲線不存在2 個(gè)極小值，因此無(wú)法得到頻譜圖中心亮條紋的寬度和運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度L。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與第2.2 節(jié)的理論分析一致。

圖8 投影求和曲線(L =2 像素)Fig.8 Projective summation curve (L =2 pixels)

4 結(jié) 語(yǔ)

運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原的基礎(chǔ)是點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)。本文在運(yùn)動(dòng)模糊圖像退化模型的基礎(chǔ)上，分別提出了點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的運(yùn)動(dòng)模糊角度和運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度的辨識(shí)算法，并以快艇圖像為試驗(yàn)對(duì)象，對(duì)辨識(shí)算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于Radon變換的方法可以較為準(zhǔn)確地確定出點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的運(yùn)動(dòng)模糊角度，其計(jì)算絕對(duì)誤差不大于3°;在運(yùn)動(dòng)模糊角度已知的前提下，采用對(duì)頻譜圖投影求和的方法能夠有效確定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度，其計(jì)算絕對(duì)誤差不超過(guò)0.2 像素。相較于其他點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的參數(shù)辨識(shí)算法，本文算法簡(jiǎn)單直觀，計(jì)算量小，實(shí)時(shí)性強(qiáng)，能夠滿足運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原系統(tǒng)的技術(shù)要求。不足之處是，本文算法在求解運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度時(shí)，只適用于運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度大于2 像素的情況，且運(yùn)動(dòng)模糊長(zhǎng)度的精度受到運(yùn)動(dòng)模糊角度的精度的影響，這正是下一步研究工作的重點(diǎn)。

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