整體次加筋壁板屈曲載荷近似計算方法

徐元銘，李松澤

(北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100191)

整體加筋壁板由于其制造成本低、有較長的疲勞壽命等優(yōu)點，近些年來在飛機結(jié)構(gòu)上有著廣泛的應用.在制造技術方面，整體加工技術和增材制造技術(如電子束自由成型制造技術［1］)不斷取得發(fā)展，又進一步推動了整體加筋壁板的發(fā)展，擴展了結(jié)構(gòu)設計空間［1］.在這樣的背景下，一些學者從豐富筋條結(jié)構(gòu)層次的角度出發(fā)，提出了次加筋板(sub－stiffened panel)的概念(見 1.1 節(jié)).次加筋板是一種含有比主筋條(primary stiffener)尺寸小的、能夠起到提高穩(wěn)定性作用的次筋條(sub－stiffener)的加筋板［2］.它與傳統(tǒng)整體加筋板相比，在同等壁板結(jié)構(gòu)重量條件下，可較大地提高結(jié)構(gòu)的抗失穩(wěn)性能和抑制裂紋擴展的能力.

通過在傳統(tǒng)加筋板的主筋條之間布置次筋條，可以改變主筋條之間面板(簡稱帶板)發(fā)生初始屈曲時的屈曲模態(tài).適當?shù)亍翱刂啤睅О宓那B(tài)，便可以提高它的臨界屈曲載荷，進而提高次加筋板的穩(wěn)定性.其中，主筋條在尺寸和剛度上比次筋條大很多，當次加筋板承受載荷達到臨界屈曲載荷時，通常帶板先發(fā)生屈曲，主筋條仍未發(fā)生彎曲失穩(wěn).

到目前為止，國外學者已經(jīng)進行了一些研究，F(xiàn)arley［3］對7075鋁合金方板進行研究，以很小的重量增加(2% ～5%)為代價，使棱柱形次加筋板屈曲性能相對于傳統(tǒng)加筋板提高了23%～68%.Bushnell等［4］利用 Panda2程序?qū)庵未渭咏畎暹M行了優(yōu)化，結(jié)果顯示次加筋板可以降低屈曲性能對筋條間距的敏感度.Watson等［5］應用基于有線條理論的VICONOPT程序?qū)紤]后屈曲性能的次加筋結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化.Murphy，Quinn和?zak?a 等［2，6－8］應用非線性有限元軟件分析了次加筋結(jié)構(gòu)的力學行為，表明引入次加筋結(jié)構(gòu)可以使原來的加筋板的屈曲和后屈曲承載能力提高10%以上.Khvyiuzov等［9］對不同次筋條高度的等重量的次加筋矩形板進行了研究，探索了次加筋條的最優(yōu)布局形式.國內(nèi)對這一結(jié)構(gòu)的研究剛剛起步，王博等［10］對次加筋板的初始缺陷敏感度進行了研究，結(jié)果表明與傳統(tǒng)加筋板相比，初始缺陷對次加筋板的屈曲載荷的影響更小.以上這些學者的研究均采用的是試驗或有限元方法，雖然精確，但費用或計算成本過高，不適合在初步設計和優(yōu)化設計階段使用.

因此，本文在前人研究的基礎上，借助于傳統(tǒng)加筋板的理論計算公式，探索了四邊簡支的棱柱形次加筋板在受到軸向壓縮載荷以及壓剪組合載荷作用下的屈曲載荷的近似計算公式.通過與有限元軟件ABAQUS的計算結(jié)果相對比，驗證計算方法的準確性和適用性.

1 次加筋板臨界失穩(wěn)載荷計算方法

1.1 模型主要參數(shù)及受載情況

本文分析的結(jié)構(gòu)是圖1中棱柱形次加筋板，它的特點是次筋條的截面形狀為矩形，且次筋條為直筋條.模型受載情況是次加筋板端面承受均勻的壓縮載荷或壓剪組合載荷，如圖2所示.

圖1 傳統(tǒng)加筋板和次加筋板的比較Fig.1 Comparison between traditional stiffened panel and sub－stiffened panels

圖2 次加筋板的主要尺寸與載荷的示意圖Fig.2 Schematic diagram of primary dimensions and load of sub－stiffened panel

假設平板部分作用有正應力σx和切應力τxy.在厚度方向上應力是均勻分布的，單位長度的壓縮和剪切內(nèi)力分別為:Nx= σx·t，Nxy= τxy·t.主、次筋條的端面應力與平板的端面應力σx相同，主、次筋條端面合力分別為:Np=hp·tp·σx，Ns=hs·ts·σx.

1.2 基本假設和失穩(wěn)載荷近似計算方法

為了簡化問題，采取如下假設:忽略材料非線性的影響，只研究次加筋薄壁板彈性穩(wěn)定性問題;采用Kirchhoff板假設和小變形假設;主筋條不會發(fā)生失穩(wěn)，即次加筋板不會發(fā)生整體失穩(wěn);不考慮筋條對板的扭轉(zhuǎn)約束限制，即筋板連接處看作簡支約束.

文獻［5］和有限元數(shù)值仿真表明，棱柱形次加筋板主要可能發(fā)生3種失穩(wěn)情況:①次筋條之間的板發(fā)生失穩(wěn).②次筋條發(fā)生局部失穩(wěn).③主筋條之間，由次筋條和平板組成的帶板發(fā)生整體失穩(wěn).當其中之一的情況出現(xiàn)時就認為棱柱形次加筋板發(fā)生了失穩(wěn).失穩(wěn)模式示意圖如圖3所示.

圖3 次加筋板失穩(wěn)模式示意圖Fig.3 Schematic diagram of buckling forms of sub－stiffened panel

1.2.1 次筋條之間的平板失穩(wěn)［11］

當次筋條與它們之間平板的彎曲剛度比值較大時，容易發(fā)生該種失穩(wěn).特征是次筋條與板連接處保持為直線，次筋條之間的板在y軸方向呈現(xiàn)出一個半波，x軸方向呈現(xiàn)若干個半波.此時，次筋條之間的平板可看作是四邊簡支的彈性板.

當僅在縱向壓縮載荷Nx或剪切載荷Nxy作用下，可使用經(jīng)典的矩形板屈曲載荷計算公式:

式中，D為板的彎曲剛度;k1，k2為穩(wěn)定系數(shù).對于大多數(shù)情況，面板的長寬比遠大于4，可近似看作為無限長板，k1可以近似取為4.k2可由擬合公式得:k2=(5.34+4(bi/a)2)，a，bi分別為次筋條之間的平板的長度和寬度.

當受到均布壓剪組合載荷作用時，次加筋板的屈曲載荷可用下式計算:

1.2.2 次加筋條發(fā)生局部屈曲

當次筋條高厚比很大的時候，會發(fā)生此類失穩(wěn).特征是筋條與板相連接處仍保持為直線，自由端在筋條面外方向產(chǎn)生若干個半波.因此，次筋條可以看作長寬比很大、三邊簡支、一邊自由的板條.在失穩(wěn)發(fā)生時，次筋條端面應力與平板端面應力相同.由于筋條承受面外橫向載荷能力很弱，因此忽略筋條承受該方向外載的能力.

用經(jīng)典矩形板屈曲載荷理論可以得到次筋條在該邊界條件下的屈曲載荷［12］:

式中ks為穩(wěn)定系數(shù).次筋條長寬比很大，穩(wěn)定系數(shù)可取為 ks=0.425［13］.

當主筋條與帶板的彎曲剛度之比較大，且次筋條的彎曲剛度和高厚比較小時，容易發(fā)生此類失穩(wěn).特點是主筋條間的帶板發(fā)生了整體失穩(wěn)，對于一般的航空薄壁結(jié)構(gòu)，在y軸方向有一個半波，在x軸方向有若干半波.這一結(jié)構(gòu)可看作四邊簡支的加筋板.當次筋條的數(shù)目比較密(大于2)時，帶板可進一步看作正交各向異性板.

帶板的等效各向異性板厚度可表示為t－=t+(ns·ts·hs)/b(5)

式中ns為次筋條個數(shù).當該等效性板僅在縱向壓縮載荷作用下，屈曲載荷計算公式為［11］

當該等效各向異性板僅在剪切載荷作用下，可通過下式計算得到屈曲載荷［11］:

1.2.4 小 結(jié)

其次，加強宣傳工作，營造良好的績效目標管理考核氛圍。為了能夠使學校全體工作人員都能夠以積極的態(tài)度和飽滿的熱情參加到考核工作中來，必須從思想意識領域使其意識到績效目標管理考核的重要性與必要性，使其充分認識到所肩負的責任和承擔的使命，只有在此基礎上才能夠營造出協(xié)同共進的績效目標管理考核氛圍，推動考核工作法順利開展。

在計算次筋條數(shù)大于2的次加筋板的臨界屈曲載荷時，綜合以上3種失效情況，取它們中的最小值為屈曲載荷.同時，最小值所對應的失穩(wěn)模態(tài)，即為次加筋板的屈曲模態(tài).該計算方法沒有考慮主筋條對次加筋壁板穩(wěn)定性的影響，在使用時應注意滿足假設條件.

式中，p±m(xù)=奇數(shù);q±n=奇數(shù)，m，n，p，q均為正整數(shù);D1=D(1+ γ(ns+1)).當 Amn取 A11，A13，A31，A33，A22這5項進行計算時，得到 5個方程組成的方程組，令其系數(shù)行列式為零，從而得到屈曲載荷Nxy，且得到的結(jié)果已經(jīng)足夠精確［11］.本文后面的計算均取這5項進行計算.

當該等效各向異性板在壓剪組合載荷作用下，重新改寫式(3)，得到屈曲載荷計算公式:

2 公式準確度的有限元驗證

若要上述計算方法能夠計算次加筋板失穩(wěn)載荷，首先要求理論公式在計算各個失穩(wěn)形式時有較高的準確度，因此有必要對它們的計算結(jié)果準確性進行有限元驗證.

2.1 用于驗證準確度的有限元模型

采用ABAQUS軟件進行有限元分析.材料為2024－T351 鋁合金，彈性模量 E=73.8 GPa，泊松比 μ =0.33，密度 ρ=2 780 kg/m3.根據(jù)有關文獻的建議［14－15］，計算加筋板屈曲時，宜采用四節(jié)點四邊形殼單元S4R，每個屈曲的半波之間至少設計6個網(wǎng)格.針對1.2節(jié)提出的3種失穩(wěn)形式，分別建立了3個有限元模型，如圖4所示.圖4(a)模型:四邊簡支，a=590 mm，bi=27.8 mm，t=2 mm;圖4(b)模型:三邊簡支，一邊自由，a=590 mm，hs=10 mm，ts=1.5 mm;圖4(c)模型:四邊簡支，a=590 mm，b=167 mm，t=2 mm，均勻分布著5根次筋條，高度和寬度與圖4(b)尺寸相同.

2.2 結(jié)果與討論

對上述模型分別在縱向壓縮載荷和壓剪載荷比例1∶0.5的組合載荷作用下進行計算.由于筋條不能承受剪切載荷，因此在壓剪組合載荷作用時不考慮失效形式2.計算結(jié)果見表1.

圖4 準確度驗證有限元模型Fig.4 Finite element models for accuracy verification

表1 有限元模型計算結(jié)果Table1 Calculation results of finite element models

當受載情況為縱向壓縮載荷時，失效形式1的結(jié)果準確度很高，失效形式3準確度適中，失效形式2結(jié)果稍差，但仍有足夠的準確度(不超過10%).結(jié)果稍差的原因可能是由于文獻中失效形式2的穩(wěn)定系數(shù)ks值存在一定誤差.當受載情況為壓剪組合載荷時，失效形式1和3均有較高的準確度.從兩種工況中的相應結(jié)果可以看出剪力的存在對失效形式1的誤差影響很小，而對失效形式3，剪力的存在使誤差減小.綜合以上結(jié)論，3種失效形式理論公式具有較高的準確度.

3 計算方法適用性的有限元驗證

3.1 整體次加筋壁板有限元模型

材料屬性和網(wǎng)格劃分方法均與第2節(jié)一致.為保證主筋條不易發(fā)生彎曲失穩(wěn)，選用了彎曲剛度較大的T字形筋條.次筋條為刀片形，均勻布置在主筋條之間.為了較為準確地模擬真實結(jié)構(gòu)邊界條件，模型在平行x軸的邊向外延伸了一定的長度，結(jié)構(gòu)形式如圖5所示.模型在x軸方向的兩端面處簡支，另兩端面處自由.

圖5 次加筋板的有限元模型(次筋條數(shù)可以不同)Fig.5 Finite element model of sub－stiffened panel(sub－stiffener numbers may be different)

為了不失一般性，針對不同的次加筋帶板的長寬比，次筋條的高厚比，壓剪載荷比例建立了9個有限元模型.這些模型中相同的基本參數(shù)是:t=2 mm，hp=40 mm，tp=2 mm，ts=1.50 mm.模型其他參數(shù)以及受載情況見表2.

表2 整體次加筋板模型參數(shù)Table2 Model parameters of integral sub-stiffened panel

3.2 結(jié)果與討論

對模型1～4分別在縱向壓縮載荷和壓剪比例1∶0.5的組合載荷作用下進行計算，結(jié)果見表3.由于壓剪載荷比例已知，因此下面的所有表格中理論結(jié)果均為Nx值.

表3 模型1～4計算結(jié)果Table3 Calculation results of model 1-4

模型1～4長寬比不同，當壓剪載荷比為1∶0時，最大誤差出現(xiàn)在模型2，僅為6%.當壓剪載荷比為1∶0.5時，所有模型誤差均比縱向壓縮載荷作用時的誤差大，除模型4的結(jié)果外，其他模型誤差均可接受.進一步檢查模型4，發(fā)現(xiàn)造成誤差過大的原因是長寬比過大時，主筋條抑制板剪切失穩(wěn)的能力不足，結(jié)構(gòu)發(fā)生了整體失穩(wěn)(如圖6)，這與理論公式假設的主筋條不發(fā)生彎曲失穩(wěn)不符，造成了誤差增大.

圖6 模型8的屈曲模態(tài)Fig.6 Buckling modal of model 8

對模型5～7分別在縱向壓縮載荷和壓剪比例1∶0.5的組合載荷作用下進行計算，結(jié)果見表4.

表4 模型5～7計算結(jié)果Table4 Calculation results of model 5-7

模型5～7次筋條的高厚比不同，表4顯示，在兩種工況下，結(jié)果的誤差都在8%以內(nèi)，理論公式結(jié)果與有限元結(jié)果符合得較好.其中，模型7由于次筋條過高，發(fā)生了第2種失效形式(次筋條失穩(wěn)).由2.2節(jié)可知，失效形式2的理論計算公式比其他失效形式的理論公式誤差更大，因而模型7在縱向壓縮載荷作用時相對于其他模型的誤差稍大.

對模型8和9分別在縱向壓縮載荷和壓剪比例1∶0.5的組合載荷作用下進行計算，并將計算結(jié)果與模型6結(jié)果一同記錄在表5.

表5 模型6，8，9計算結(jié)果Table5 Calculation results of model 6，8，9

模型6，8，9次筋條數(shù)目不同，結(jié)果顯示除在壓縮載荷作用下的模型9數(shù)據(jù)異常外，其他的誤差都在8.5%以內(nèi)，理論公式結(jié)果與有限元結(jié)果符合得較好.模型9誤差較大的原因是次筋條個數(shù)過多，造成帶板的彎曲剛度過高，導致主筋條抑制帶板彎曲的能力變?nèi)?，主筋條發(fā)生了彎曲，這與第2節(jié)的基本假設不符.為驗證分析是否正確且希望對模型的改動最小，僅將主筋條的翼板增加1倍，以增加主筋條抗彎剛度，有限元計算結(jié)果變?yōu)?22 kPa，誤差減小到5.21%.

對模型6分別在壓剪比例1∶0.2和1∶0.8的組合載荷作用下進行計算，并將計算結(jié)果與模型6在其他載荷比例下的結(jié)果記錄在表6.

表6 模型6在不同壓剪載荷比計算結(jié)果Table6 Calculation results of model 6 under different compression and shear load ratios

計算結(jié)果顯示誤差均在5%以內(nèi)，理論與有限元結(jié)果符合得較好.剪力的存在對誤差有一定影響，但是影響的效果不確定:表3的結(jié)果顯示剪力的存在增大了誤差，表6的結(jié)果顯示剪力的存在減小了誤差，從各個模型的計算結(jié)果來看，剪力的影響都不是很大.

從上述的討論中可以得到，在滿足理論公式假設的前提下，即主筋條不發(fā)生彎曲失穩(wěn)時，提出的計算方法適用于計算次加筋板屈曲載荷，且有一定準確度.

4 結(jié)論

1)本文提出的棱柱形整體次加筋板計算公式僅適用于主筋條間次筋條個數(shù)大于2個的情況，且次加筋板不會發(fā)生整體失穩(wěn).否則，將會產(chǎn)生較大誤差.

2)針對3種失效形式而提出的計算公式，無論在縱向壓縮載荷作用下還是壓剪組合載荷作用下，公式計算結(jié)果與有限元結(jié)果的誤差都不大于10%，有較高的準確度.

3)針對不同的次加筋帶板的長寬比、次筋條的高厚比，以及不同壓剪載荷比例，本文提出的計算方法與有限元仿真的結(jié)果符合得較好，反映出該方法具有較為廣泛的適用性，非常適合用于結(jié)構(gòu)的初步設計階段進行近似計算，以及加快棱柱形次加筋板的優(yōu)化速度.

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