非飽和土中部分埋入樁的豎向振動*

章敏 王星華 馮國瑞 梁燕

(1.太原理工大學 建筑與土木工程學院，山西 太原030024;2.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙410075)

隨著我國交通和能源等基礎(chǔ)建設(shè)的發(fā)展，部分埋入式樁基礎(chǔ)被廣泛應用于山區(qū)(或深水)橋梁、海上平臺以及離岸碼頭等結(jié)構(gòu)中.與傳統(tǒng)的全埋入式樁基礎(chǔ)相比，樁頂自由段的存在使部分埋入樁具有更小的承載力和動力阻抗，在較大豎向或復雜荷載條件下甚至發(fā)生壓屈失穩(wěn)破壞.探討部分埋入樁在振源(列車、風電機組等)運營或工作期間的動力響應對保證上部結(jié)構(gòu)安全和正常工作具有重要的學術(shù)和工程應用價值.

在國外，有關(guān)部分埋入樁動力響應的研究大多集中在樁的自由振動特性和自振模態(tài)上.Lee 等［1］基于Winkler 地基假定，對部分埋入變截面樁的自振特性進行了研究;Catal、Yusuf 等［2-4］通過引入變形曲線的二階導數(shù)來反映樁的剪切效應，推導了單層和雙層地基中部分埋入樁在彎矩和剪力作用下自振頻率的非平凡解，討論了自由段長度、邊界條件和截面形狀因子的影響.Sapountzakis 等［5］考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量，采用邊界元法對任意荷載作用下部分埋入Timoshenko 梁進行了非線性動力分析.近些年，國內(nèi)學者對這一問題也做了進一步研究.任青等［6-7］基于傳遞矩陣法和樁- 樁相互作用因子，探討了成層土中部分埋入群樁以及柔性高承臺群樁的豎向動力阻抗;在此基礎(chǔ)上，鐘銳等［8］將該問題推廣到了非線性土體的情況;此外，余云燕等［9］從損傷檢測的角度，采用回傳射線矩陣法對部分埋入缺陷樁在半正弦脈沖作用下的頻域及時域響應進行了分析.

以上研究主要針對單相介質(zhì)土情況，而天然土層大多為固、液、氣三相混合物，孔隙水與土骨架間存在著相對運動，并受到空氣含量的影響.飽和度的變化將引起土體基質(zhì)吸力、有效應力等性質(zhì)發(fā)生一系列的改變，研究符合實際土體環(huán)境下的樁土動力相互作用問題應當考慮土體的三相耦合效應.張智卿等［10-11］在忽略孔隙氣體的單相流基礎(chǔ)上，首次推導了簡化條件下非飽和土層中端承樁在半正弦脈沖激勵作用下的時域響應解答，但所采用的波動方程仍屬于兩相介質(zhì)模型，無法考慮毛細壓力作用，具有一定的局限性.借助唯象理論，徐明江［12］建立了三相多孔介質(zhì)的波動方程，并就非飽和地基上薄板豎向振動的混合邊值問題進行了分析.從已有文獻來看，樁在單相和飽和兩相介質(zhì)中的動力響應研究已較為成熟，在理論分析、試驗測試、數(shù)值模擬等方面均取得了許多公認的成果，有關(guān)非飽和土-樁動力相互作用的研究則尚處于起步階段.

基于以上背景，本研究從三相多孔介質(zhì)波動方程出發(fā)，充分考慮不同相之間的耦合效應和毛細壓力作用，在求得自由場豎向位移和剪應力分布的基礎(chǔ)上，結(jié)合半埋入樁上下區(qū)域的連續(xù)性條件和樁端彈性支承假定，導出了豎向穩(wěn)態(tài)諧振下部分埋入單樁阻抗函數(shù)的封閉形式解答，分析了飽和度和自由段長度對樁-土系統(tǒng)動力響應的影響;以期為后續(xù)研究部分埋入群樁基礎(chǔ)的振動特性提供理論基礎(chǔ).

1 計算模型與邊界條件

1.1 計算模型與基本假定

非飽和土中部分埋入樁受豎向簡諧振動的計算模型如圖1所示.假定柱形坐標系統(tǒng)(r，θ，z)的z 軸與樁身軸線相一致，坐標原點位于自由段與埋入段的分界處.樁為等截面、均質(zhì)彈性圓桿，樁端和土層底部簡化為彈性支承，自由段樁長為L1、埋入段樁長為L2，半徑為r0、彈性模量為Ep、密度為ρp，土層底部和樁端地基反力系數(shù)分別為ks、kb.樁頂作用一豎向激振力P(t)=P0eiωt，埋入段每延米的樁側(cè)摩阻力為f(z).

圖1 非飽和土中部分埋入樁計算模型Fig.1 Calculation model of a partially-embedded pile in unsaturated soil

為簡化計算，假定樁周土為均勻、各向同性的固、液、氣三相彈性多孔介質(zhì);地表為透水和透氣的自由邊界;樁-土體系僅發(fā)生彈性小變形，且樁-土之間完全連續(xù)接觸，不發(fā)生滑移和脫離;基樁等效為Euler 梁模型，忽略其橫向變形.盡管在高承臺樁的極限承載力計算中，應進行折減以考慮壓屈穩(wěn)定，而本研究旨在研究工作荷載條件下樁的振動特性，忽略樁身可能發(fā)生的動力屈曲失穩(wěn)破壞.另外，文獻［12］關(guān)于非飽和土及其波動方程的基本假定在本文中仍然適用.

需要說明的是，文中將樁端土體簡化為Winkler彈性地基，彈簧剛度可近似采用非飽和地基上剛性圓盤在豎向簡諧振動作用下的復剛度來代替.然而，由于問題的復雜性，僅文獻［12］對此做了初步研究，但表達式過于繁瑣，且未單就飽和度本身的影響進行分析.為便于應用，文中根據(jù)文獻［13］提出的模擬公式，采用單向介質(zhì)半空間表面剛性基礎(chǔ)的地層動剛度表示kb，即kb=4μr0/(1 -ν)，μ 和ν 分別為土體剪切模量和泊松比.研究表明［14］，對于滲透性較好的地基，按該理論與飽和兩相介質(zhì)理論得到的動力柔度系數(shù)的差別并不大;此外，非飽和半空間在簡諧圓盤荷載下的位移和應力分布受飽和度本身的影響很小［15］，為此文中暫且假定kb不隨飽和度的影響而變化.

1.2 邊界條件

(1)非飽和土層的邊界條件

水平方向無限遠處土體應力、應變和位移均趨近于0:

式中，zr為剪應力，ur、uz分別代表土體徑向和豎向位移，e、ε 和ξ 分別為土骨架的體積應變、孔隙水及空氣相對于土骨架的體積應變.

地表為透水透氣邊界，且正應力為0:

土層底部假定為彈性支承:

式中，E 為土體的彈性模量，與土骨架的Lame 常數(shù)λ、μ 滿足

(2)樁土接觸面兩側(cè)的連接條件

樁土完全接觸，接觸面無滑移脫離:

式中，wp為樁身豎向位移.

樁身材料密實，樁土接觸面不透水、不透氣:

式中，vr、wr分別為孔隙水和空氣的相對徑向位移.

接觸面上土體剪應力與樁身摩阻力相等:

(3)樁的邊界條件

樁頂邊界條件:

樁端邊界條件:

2 部分埋入樁豎向振動問題求解

2.1 控制方程

徐明江［12］根據(jù)多相孔隙材料的連續(xù)介質(zhì)理論，考慮各相物質(zhì)間的粘性、慣性耦合效應，以及毛細壓力作用，推導了非飽和土的動力控制方程，其向量形式可表述為

u、v 和w 分別表示固相位移矢量、水和氣體相對于土骨架的位移矢量;V、W 分別表示水和空氣的絕對位移;點號表示對時間的偏導;ρs、ρf、ρa和ρ 分別代表土顆粒密度、流體密度、氣體密度和土體密度;Sr和Sw0為流體飽和度和束縛飽和度;γ 為有效應力系數(shù)，取決于土體飽和度、土體結(jié)構(gòu)、干濕循環(huán)特性以及應力變化，可近似取γ=Sr;n 為土體孔隙率;λ 和μ 為土骨架的Lame 常數(shù);ηf和ηa分別為流體和空氣的粘滯系數(shù);krf和kra分別為流體和空氣的相對滲透系數(shù)，其表達式詳見文獻［15］;k 為土的固有滲透系數(shù)(m2);Ks、Kf、Ka及Kb分別是土顆粒、流體、空氣及土骨架的體積壓縮模量;參數(shù)As中χ、m 和d 分別為擬合參數(shù).以上各變量中，下標符號s、f 和a 分別代表非飽和土體的固、液、氣相.

2.2 非飽和土豎向振動解

考慮到樁土體系為穩(wěn)態(tài)簡諧振動，上述方程可略去公共時間因子eiωt(ω 為圓頻率，)，同時引入如下無量綱參數(shù)和變量對方程(9)-(11)中的三式進行無量綱處理:

文獻［16］在考慮自由場地豎向和徑向波動效應的前提下，通過算子分解和分離變量法對非飽和土控制方程(9)- (11)進行解耦，求得了頻域內(nèi)樁-土界面的位移和剪應力，解答如下.

非飽和土層在樁-土界面處的豎向位移幅值為

式中，ζ1，n= (g8，n/gn)K0(g8，n)+ c1，nk1，nK0(g2，n)+c2，nk2，nK0(g4，n)+ c3，nk3，nK0(g6，n).

樁周土對樁身的剪切應力幅值為

式中，K0(g)、K1(g)分別為零階和一階第二類修正Bessel 函數(shù)，其余變量的含義和表達式詳見文獻［16］.以上兩式中的ζ1，n、ζ2，n是由樁土耦合振動特性以及接觸面兩側(cè)的銜接條件決定的一系列系數(shù)，反映了各振動模態(tài)下樁-土的振動耦合效應.

對于樁端為彈性支承條件，由式(3)，可得gn滿足如下超越方程:

2.3 部分埋入單樁豎向振動求解

在簡諧荷載作用下樁體發(fā)生強迫振動，取區(qū)域1和區(qū)域2 樁身微元體作動力平衡分析，可得樁的豎向振動方程為

結(jié)合式(6)，以上兩式可寫成如下無量綱形式:

將式(13)代入式(17)-(18)，可得方程的解為

將埋入段樁身位移表達式(式(18))代入樁土分界面上的位移連續(xù)條件式(4)，可得

根據(jù)正交函數(shù)的性質(zhì)，可得到參數(shù)A11，n的表達式為

式中，

則埋入段樁身豎向位移幅值為

樁身任意一點的正應力可表示為

式中，T(2)1為2 ×2 的系數(shù)矩陣，各元素分別為

在自由段和埋入段分界處(z =0)，樁身位移和應力滿足連續(xù)性條件，即

對于樁頂作用簡諧荷載P0eiωt，存在，同時將式(21)和(27)代入上式，可得

考慮樁端為彈性支承，令k*b= kb/ (μ r0)，則式(8)可寫成如下無量綱形式:

由式(29)和(30)可得部分埋入樁無量綱形式的樁頂阻抗為

值得說明的是，當考慮土底和樁端土體阻尼效應時，只需將以上結(jié)果中的反力系數(shù)ks、kb分別用ks+iωηs、kb+iωηb代替即可，形成復剛度，其余不作改變，其中ηs、ηb分別代表土層底部和樁端地基的阻尼系數(shù).

3 計算與討論

為驗證上述理論推導的正確性，并考慮到目前尚無嚴格非飽和條件下樁的解析和試驗結(jié)果，令Sr=0.9999、As=0、L1=0，將文中解退化到以往飽和狀態(tài)下的全埋入樁情況，與文獻［17］的結(jié)果進行對比.原文僅列出了各參數(shù)的無量綱形式，換算成實際參數(shù)分別為:土層，Ks= 22.5 GPa、ρs= 2 712.3 kg/m3、Kb=675 MPa、μ =311.5 MPa、n =0.482、κ =6.52 ×10-13m2;基樁，Ep=809.9 GPa、ρp=2 264.2 kg/m3;土層底部地基反力系數(shù)為k*s =0.01.由圖2(a)可知，按三相介質(zhì)動力方程得出的樁頂復動剛度無論實部(Re)還是虛部(Im)都與Zeng 等［17］的結(jié)果基本一致(圖中變量含義同文獻［17］).此外，張玉紅等［18］應用間接邊界元法對飽和土與樁基礎(chǔ)動力相互作用進行了分析，文中解在變化規(guī)律上與其結(jié)果大致相同(見圖2(b)).數(shù)值差異可能來自于模型將底部土層簡化為彈簧支承的假定及彈簧剛度取值上.鑒于目前尚無商業(yè)軟件能夠精確模擬非飽和土動力特性，且嚴格考慮樁端土體真三維波動效應及樁土耦合作用將顯著增加理論求解的難度，文中按Winkler 地基模式處理樁端支承不失為一種簡便可行的辦法.

圖2 飽和兩相介質(zhì)解與其他解的對比Fig.2 Contrast with the solutions of two-phase saturated medium

為討論不同參數(shù)對部分埋入樁豎向動力阻抗的影響，選取如下計算參數(shù):土顆粒，Ks=36 GPa，ρs=2700 kg/m3;水，Kf=2.0 GPa，ρf=1 000 kg/m3，ηf=1.0×10-3Pa·s;空氣，Ka=145 kPa，ρa=1.29 kg/m3，ηa=18×10-6Pa·s;土骨架，Kb=698MPa，μ=72.2MPa，n=0.45，γ=Sr，Sw0=0.05，κ=1.0×10-8m2、ks*=1.0;V-G 模型擬合參數(shù)，χ =1.0 ×10-4Pa-1，m=0.5，d =2;基樁，Ep=36.1 GPa，ρp=2500 kg/m3、L2=20m.圖中橫坐標采用無量綱頻率，其中d為樁徑.

埋入段樁長保持不變時，樁身自由段長度L1對樁頂阻抗的影響如圖3所示.

圖3 埋入比對樁頂阻抗的影響Fig.3 Effect of length ratio on the vertical impedance of piles

由圖3可知，樁身外伸部分的存在增大了樁基礎(chǔ)的柔性，使樁頂動剛度和阻尼大幅度降低.當埋入比L1/L2=1.0、無量綱頻率a0=1.0 時，動剛度降至0左右，阻尼降低幅度接近80%，且動剛度隨頻率的增大而逐步降低，阻尼間的差異也逐漸增大.為保證結(jié)構(gòu)安全性，工程設(shè)計中應格外重視埋入比的合理取值.然而，阻尼曲線的第一共振頻率則基本不受自由段樁長的影響，原因在于該共振是由有限厚度土層中橫波的傳播與反射引起的，主要受土層條件控制.

頻率10、20 和30 Hz 時樁頂動剛度和阻尼隨飽和度的變化曲線如圖4所示.

由圖4可知，動剛度隨飽和度的升高而緩慢增大，達到峰值后緩慢減小，其中高頻振動時較為明顯，而阻尼則基本不隨飽和度變化.這是由于頻率較高時孔隙流體的慣性耦合作用較為強烈，對樁動力特性的影響也更為顯著，低頻振動時的慣性效應則較弱.但總的說來，阻抗曲線變化幅度不大，飽和度本身對樁豎向振動特性的影響較為有限.需要說明的是，由于非飽和土中存在毛細壓力現(xiàn)象，產(chǎn)生的基質(zhì)吸力使土體顆粒間有效應力增加，從而提高了土的的抗剪強度，繼而使動剪切模量增大，并最終影響埋置結(jié)構(gòu)的動力響應.由于本研究旨在探討Sr本身對單樁動力特性的影響，故此處對飽和度的這種間接作用不作進一步討論，相關(guān)內(nèi)容可參考文獻［16］.

圖4 土體飽和度對樁頂阻抗的影響Fig.4 Effect of saturation on the vertical impedance of piles

基樁在穩(wěn)態(tài)振動下，樁周附近將產(chǎn)生向外輻射的柱狀波，從而引起自由場的動力響應.樁頂作用單位荷載幅值=1，不同飽和度下地表位移幅值沿徑向的分布曲線如圖5所示.

由圖5可知，隨距離的增加，位移uz呈指數(shù)衰減趨勢，且不同飽和度下的差異逐漸增大.當距基樁中心10r0時，位移大小降至樁側(cè)位置的20% ～30%.在群樁基礎(chǔ)樁-樁動力相互作用的分析中，該位移近似為相鄰樁振動引起的附加位移.

圖5 地表位移幅值隨距離的變化Fig.5 Variation of surface displacement amplitude with distance

地表6r0處地表位移幅值隨頻率的變化規(guī)律如圖6所示.為表達方便，圖中縱坐標采用ωuz表示，由于與樁頂速度導納iω/kd的定義類似，這里稱之為地表點的速度導納.

圖6 r/r0 =6 處地表位移幅值隨頻率的變化Fig.6 Variation of surface displacement amplitude with frequency(r/r0 =6)

由圖6可知，隨著頻率的增大，導納值逐漸增大，并在80 Hz 左右達到峰值;此后，不同飽和度下的速度導納差值基本相同，且Sr=0.7 時速度導納值最小.由于導納和復剛度存在簡單的倒數(shù)關(guān)系，不難看出，這與圖4中復剛度在飽和度0.7 附近達到最大值的規(guī)律相一致.

Sr=0.7、L1/L2=0.3 時土層底部不同地基反力系數(shù)對樁頂阻抗的影響如圖7所示.

由圖7可知，地基反力系數(shù)的影響主要體現(xiàn)在低頻階段，地基反力系數(shù)較小時，即土層底部較軟，橫波共振頻率(對應第一個共振點)相應較低，表明橫波剪切共振的消弱作用較低.該共振點在阻尼曲線上表現(xiàn)為一截止頻率，低于該頻率，土層阻尼很小.隨著頻率的進一步增大，不同地基反力系數(shù)下的剛度和阻尼值則基本保持相同.

圖7 土底反力系數(shù)對樁頂阻抗的影響Fig.7 Effect of reaction coefficient at soil layer bottom on the vertical impedance of piles

飽和度Sr分別為0.7 和0.999 時，滲透系數(shù)對樁頂阻抗的影響如圖8所示.圖中κ 為土體固有滲透系數(shù)，轉(zhuǎn)換為常用的Darcy 滲透系數(shù)分別為10-1、10-3和10-5m/s.

由圖8可知，當土體處于非飽和狀態(tài)時，3 種滲透系數(shù)下的計算曲線差別很小，此時孔隙水的流動性對樁的動力響應幾乎不產(chǎn)生作用.土層接近完全飽和時，滲透系數(shù)的影響才逐漸體現(xiàn)，表現(xiàn)為土體滲透性降低，阻抗增大，特別是在高頻階段，尤為明顯.這表明孔隙水對樁動力特性的參與作用只在準飽和或完全飽和狀態(tài)時才得以發(fā)揮.

為研究樁豎向振動所引起的土層振動特性，引入無量綱土層復阻抗因子γs=ζ2，n/ζ1，n，其實部和虛部分別代表土層動力反應的剛度和阻尼部分.土層的阻抗作用由無數(shù)個單獨模態(tài)組合疊加而成(對應n=1，2，3，…)，但一般說來，僅前幾階模態(tài)具有明顯的表征特性.不同土底反力系數(shù)對1 -3 階土層阻抗因子的影響如圖9所示.

圖8 土體滲透系數(shù)對樁頂阻抗的影響Fig.8 Effect of permeability on the vertical impedance of piles

圖9 土底反力系數(shù)對土層阻抗因子的影響Fig.9 Effect of reaction coefficient at soil layer bottom on the resistance factor of soil layer

由圖9可知:土底反力系數(shù)對土層阻抗存在顯著影響.土層阻抗剛度部分隨著k*s的增加而增加，剛度最小處所對應的共振頻率(對應阻尼曲線的截止頻率)也相應增加，而阻尼部分則隨之降低;且隨著頻率的增大，同一模態(tài)下阻抗因子間的差異逐漸減小.從土層復阻抗因子的表達式可以看出，γs是一個與土層和荷載特性密切相關(guān)的量，其變化受土層剪切模量、厚度、泊松比、模態(tài)階數(shù)和激振頻率等參數(shù)的影響，而與基樁特性關(guān)系不大.

4 結(jié)論

針對非飽和土中部分埋入式彈性支承樁的豎向振動問題，采用三相多孔介質(zhì)波動方程，考慮不同相之間的耦合效應和毛細壓力作用，借助算子分解和分離變量法，并結(jié)合樁端彈性支承假定，導出了簡諧振動下部分埋入樁阻抗函數(shù)的封閉解，計算結(jié)果表明:

(1)樁頂復剛度隨自由段樁長的增加而大幅降低，阻尼曲線的第一共振頻率則基本不受此影響;

(2)頻率較高時，隨著土體飽和度的升高，動剛度緩慢增大，達到峰值后則緩慢減小，阻尼則基本保持不變，總的說來，在樁豎向振動特性的影響因素中，飽和度的作用較為有限;

(4)土體處于非飽和狀態(tài)時，不同滲透系數(shù)下的樁頂阻抗差別很小，孔隙水對樁基動力特性的參與作用只在準飽和或完全飽和時才得以發(fā)揮.

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