基于自適應(yīng)層數(shù)分解的小波變換濾除沖擊信號＊

王 鍇，劉志國?，劉 剛，易龍濤，陳 曼，彭詩棋

（1．北京師范大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100875；2．中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東 青島 266580）

沖擊信號在機(jī)械振動中是一種常見的特征信號［1－2］，具有持續(xù)時間短，衰減快，能量在廣闊的頻率范圍內(nèi)發(fā)散等特點，發(fā)生沖擊振動的同時往往還包含其他重要微弱振動信息，微弱的振動信號容易被沖擊信號淹沒，不易識別［3］．因此為了有效提取淹沒在沖擊信號中的微弱振動信號，濾除沖擊信號顯得尤為重要．

時頻分析是信號分析的傳統(tǒng)方法，頻譜分析是以傅里葉變換為基礎(chǔ)的經(jīng)典譜分析和非傅里葉變換分析為基礎(chǔ)的現(xiàn)代譜分析，時頻分析方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)信號分析．針對摻雜沖擊的典型非平穩(wěn)振動信號［4－5］，小波變換具有優(yōu)越的時頻局部化分析和細(xì)化能力，改變了傳統(tǒng)傅里葉變換不能在時域局部化的缺陷，可以迅速聚焦到信號任意頻段細(xì)節(jié)，準(zhǔn)確提取特征信號進(jìn)行分析．

利用長時間進(jìn)行低頻局部化處理，短時間進(jìn)行高頻局部化處理，這種自適應(yīng)窗口分析的能力改進(jìn)了短時傅里葉分析方法中時頻分辨率固定的不足．根據(jù)時域卷積，頻域相乘原理和自適應(yīng)的多分辨率特征，小波變換已經(jīng)成為研究非線性非平穩(wěn)信號的重要工具［6－7］．

譚繼勇等［8］針對沖擊信號的檢測問題，提出了一種沖擊信號的自適應(yīng)隨機(jī)共振檢測算法，該算法將加權(quán)鞘度指標(biāo)與變尺度隨機(jī)共振相結(jié)合，可以有效對微弱沖擊信號進(jìn)行檢測，對提取沖擊信號特征的自適應(yīng)算法有一定參考價值．滕軍等［9］針對常見的噪聲信號提出了一種基于中值濾波與小波閾值降噪相結(jié)合的分解層數(shù)自適應(yīng)算法，通過確定各層閾值的取值方法，有效提取淹沒在噪聲中的信號．本文基于濾除沖擊提取有效微弱信號實驗為背景，針對小波在信噪分離，提取微弱信號和突變點信號優(yōu)勢［10］，結(jié)合沖擊信號特征，合理選擇小波基函數(shù)，提出了一種濾除沖擊有效提取淹沒信號的自適應(yīng)層數(shù)分解的小波變換分析方法．

1 小波分析濾除沖擊信號原理

1．1 小波變換定義

信號或函數(shù)f（t）∈L（R），與小波基進(jìn)行卷積計算，可得連續(xù)小波變換［11］，其表達(dá)式為：

式中：a為尺度因子（a＞0）；b為時移因子，可正可負(fù)；WTf（a，b）為小波變換系數(shù)；Ψ a，b（t）為小波母函數(shù)；f（ω），Ψ（ω）分別為f（t），Ψ（t）的傅立葉變換．母函數(shù)在t＝b處通過尺度a變換可得，其變換原理如圖1所示．鏡頭相當(dāng)于Ψ（t）起的作用．a(chǎn)相當(dāng)于鏡頭向f（t）推近或遠(yuǎn)離，推近時為高頻分析，遠(yuǎn)離時為低頻分析．b相當(dāng)于鏡頭相對f（t）平行移動．結(jié)合這2 個參數(shù)的調(diào)整，就可以在不同的頻率尺度上進(jìn)行不同的時間分析．

圖1 小波變換作用原理Fig．1 Wavelet transform theory

利用尺度因子a和時移因子b，對連續(xù)小波函數(shù)Ψ a，b（t）進(jìn)行離散化處理，可得離散小波函數(shù)，并推導(dǎo)出相應(yīng)的離散小波變換表達(dá)式，再利用時移因子對時間軸歸一化處理后，即得到相應(yīng)的二進(jìn)制離散小波變換．在具有時移不變和雙尺度特性的函數(shù)空間里，由多分辨率分析可得低通平滑尺度函數(shù)Φ（t）和高通細(xì)節(jié)小波函數(shù)Ψ（t）的雙尺度差分方程為：

式中：h0，k為尺度系數(shù)；h1，k為小波系數(shù)；h0，k，h1，k為共軛正交濾波器系數(shù)．先通過尺度函數(shù)Φ（t）的傅里葉變換得出H（ω），再通過無窮乘積定義Φ（ω），使Φ（t－k）具有標(biāo)準(zhǔn)正交條件，同時利用數(shù)學(xué)家Daubechies推導(dǎo)的濾波器數(shù)組，即可構(gòu)造Daubechies緊支撐小波函數(shù)．根據(jù)振動信號特性，合理選擇小波基，使得與小波基函數(shù)相似的能量集中在高幅值的時間尺度上，與小波基函數(shù)不相似的能量發(fā)散到零幅值的時間尺度平面上，實現(xiàn)小波變換分析．

1．2 小波分解層數(shù)自適應(yīng)性確定

經(jīng)過限幅處理的原始信號，可以看成微弱振動信息與沖擊信號的疊加．在小波域中，隨著小波分解層數(shù)的增多，分解細(xì)節(jié)系數(shù)的模極大值即微弱振動信號模極大值及稠密程度增大，沖擊和噪聲信號的模極大值幅值及稠密程度減小，且個數(shù)基本保持不變［9］．通過模極大值的幅值即可確定小波分解后信號所占比重，從而確定小波分解的自適應(yīng)層數(shù)．

對原始信號進(jìn)行m（一般m≤6）層分解，獲取每層小波細(xì)節(jié)系數(shù)的模極大值序列W2，…，W N－1，如果｜Wi｜≥｜Wi±1｜，則i為信號f（t）該層分解的一個模極大值點．在對信號分解過程中，當(dāng)滿足最大模極大值條件式（4）時，則認(rèn)為原始信號中以微弱振動信號為主，否則原始信號中沖擊信號為主．

式中：σ為隨機(jī)干擾的小波變換系數(shù)模的標(biāo)準(zhǔn)差，由隨機(jī)干擾信號的第2層小波分解的系數(shù)值確定，通過它判定局部極大值是否由隨機(jī)干擾引起，k為優(yōu)化參數(shù)（一般k＝2），主要是調(diào)節(jié)檢測微弱振動信號的能力值大小，其值越小，微弱信號被提取出來的能力越強(qiáng)，同時模極大值受隨機(jī)干擾的影響越大．因此，k×σ項主要消除隨機(jī)干擾導(dǎo)致的局部極大值的增加，避免微弱振動信號對應(yīng)的局部極大值點淹沒在隨機(jī)干擾產(chǎn)生的局部極大值中．小波分解層數(shù)自適應(yīng)步驟如圖2所示．

1）對原始信號進(jìn)行一層小波分解；

2）保留一層小波分解的尺度系數(shù)，對細(xì)節(jié)系數(shù)重構(gòu)，得到新的信號，同時判斷新信號的模極大值序列是否滿足式（4）的模極大值條件，若滿足則確定分解層數(shù)為1，結(jié)束自適應(yīng)性層數(shù)分解，若不滿足則對原始信號進(jìn)一步分解．

3）重復(fù)步驟2），直至分解出的細(xì)節(jié)系數(shù)重構(gòu)信號的模極大值滿足式（4）．

4）若最后一次分解層數(shù)為m，則最終確定分解層數(shù)為m－1．

1．3 小波分析濾除沖擊信號流程

在摻雜了沖擊的振動信號中，沖擊信號的幅值一般遠(yuǎn)大于淹沒在沖擊信號中的微弱信號幅值，為了快速精準(zhǔn)地獲取濾除沖擊后的微弱信號，先根據(jù)實際情況確定是否需要限定沖擊信號幅度，并根據(jù)實際經(jīng)驗限定沖擊信號幅度值，即確定濾波過程中的第1層分解的閾值．限幅后的信號通過自適應(yīng)層數(shù)分解的小波分析后，可獲得濾除沖擊后的所需信號，其簡單信號處理如圖3所示．

圖2 小波分解層數(shù)自適應(yīng)步驟Fig．2 The step of adaptive layer decomposition of wavelet transform

圖3 濾除沖擊信號流程圖Fig．3 Filtering shock signal flow diagram

2 小波濾除模擬沖擊信號

2．1 小波基函數(shù)選取

小波基函數(shù)Ψj，k（t）具有多樣性，不同的小波函數(shù)Ψ（t）和相應(yīng)的尺度函數(shù)Φ（t）可以構(gòu)成不同的小波基，其作用相當(dāng)于濾波器，采用不同的小波基函數(shù)，會產(chǎn)生不同的信號分析結(jié)果．

沖擊信號具有非明顯的高斯分布特性，為了獲得較好的數(shù)字信號濾除效果，選取的小波基函數(shù)需滿足有限的支撐長度，較好的頻率分辨率．本文根據(jù)振動信號特征選取Daubechies小波對沖擊信號進(jìn)行小波分析，由濾波系數(shù)可得N分別為2，4，12，20時的尺度函數(shù)和小波函數(shù)，如圖4和圖5所示．

由圖4和圖5可以看出，隨著濾波器長度增加，即N值的增加，小波高頻系數(shù)減小，分解能量越來越集中，尺度函數(shù)和小波函數(shù)的光滑程度越來越高，頻率特性越來越好，即小波重構(gòu)信號的光滑程度和頻率特性提高．但是濾波器長度增加，其支撐長度增加，導(dǎo)致邊緣信息和奇異點定位不準(zhǔn)確，同時小波變換的計算量增大．在實際應(yīng)用中綜合沖擊信號特征以及時域分辨率等要求，在濾除沖擊信號的分析中選取DB4小波對信號進(jìn)行小波分析．DB4小波分解重構(gòu)對應(yīng)的濾波系數(shù)見表1．

圖4 幾種DB小波尺度函數(shù)圖Fig．4 Some DB scaling function

圖5 幾種DB小波函數(shù)圖Fig．5 Some DB wavelet function

表1 DB4小波濾波系數(shù)Tab．1 DB4wavelet filter coefficients

2．2 模擬沖擊信號時域分析

2．2．1 濾除理想沖擊信號

選取的模擬信號為理想沖擊信號和不同頻率正弦信號的疊加f1（t），并在f1（t）信號中加入信號采集系統(tǒng)產(chǎn)生的白噪聲n（t），且噪聲信號的σ值為0．342 4，f1（t）的表達(dá)式為：

式中：ω為角頻率．理想沖擊信號幅值趨于無窮即A→∞，模擬沖擊信號經(jīng)過經(jīng)驗限幅后其幅值為遠(yuǎn)小于A．圖6（a）為限幅后的f1（t）信號，其中局部放大部分顯示f1（t）信號加噪聲后效果．f1（t）信號經(jīng)過分解后，其1～6層的沖擊和噪聲信號的模極大值序列中的最大 值分 別為9．4，4．6，2．3，1．4，0．73，0．63．其中第4與第5層的模極大值差值為0．67，小于k×σ值0．684 8．因此自適應(yīng)分解的層數(shù)確定為5層．圖6（b）為經(jīng)過小波分析處理得到不同頻率正弦的疊加信號．

由圖6可以看出，采用本文的自適應(yīng)小波分析方法可以有效濾除模擬信號中的沖擊信號，得到所需微弱振動信息．

圖6 分析模擬理想沖擊信號Fig．6 Analyze analog ideal shock signal

2．2．2 濾除非理想沖擊信號

式中：ω為角頻率；A為振幅．圖7（a）為f2（t）信號，其中局部放大部分顯示f2（t）信號加噪聲后效果．f2（t）信號經(jīng)過分解后，其1－5層的沖擊和噪聲信號的模極大值序列中的最大值分別為20．0，7．5，6．6，6．1，5．6．其中第3與第4層的模極大值差值為0．5小于k×σ值0．684 8，因此自適應(yīng)分解的層數(shù)確定為4層．圖7（b）為經(jīng)過小波濾除沖擊信號后得到的微弱振動信號．

由圖7可以看出，對于非理想振動信號，采用本文自適應(yīng)小波分析方法可以有效濾除沖擊，得到淹沒在沖擊信號中幅值較小且不同頻率的正弦疊加信號．

圖7 分析模擬非理想沖擊信號Fig．7 Analyze analog non－ideal shock signal

3 小波濾除實測沖擊信號

3．1 實驗系統(tǒng)構(gòu)成

本實驗系統(tǒng)主要由硬件和軟件2部分組成，其中硬件部分包括：壓電式加速度傳感器、高速信號采集卡、電荷放大器、振動信號導(dǎo)向管、力錘和金剛砂．軟件部分包括信號采集和處理程序．由力錘和金剛砂產(chǎn)生的振動信號通過安裝在振動信號導(dǎo)向管上的壓電式加速度傳感器送至電荷放大器，將電荷量轉(zhuǎn)換成模擬電壓量，然后通過多通道高速采集卡將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號傳輸給計算機(jī)，最后通過計算機(jī)采集與處理程序?qū)崿F(xiàn)信號的處理與顯示，完成對沖擊信號的濾除．實驗系統(tǒng)如圖8所示．

實驗系統(tǒng)選用的壓電式加速度傳感器為PCB－357B03電荷型傳感器，靈敏度為10pc／g．采用的高速采集卡主要參數(shù)為12位分辨率，連續(xù)實時傳輸速率32 MB／s，傳輸接口為USB2．0高速屏蔽線．軟件設(shè)置采樣率為80 000 Hz，采樣長度8 192個點，系統(tǒng)噪聲信號的σ值為0．001 25．

圖8 實驗系統(tǒng)Fig．8 Experimental system

3．2 實驗結(jié)果分析

實驗信號由2部分組成，模擬油井生產(chǎn)出砂監(jiān)測過程中對出砂信號的提?。?2］．第1部分為力錘敲擊振動信號導(dǎo)向管后產(chǎn)生的沖擊信號，以模擬旋轉(zhuǎn)機(jī)械、螺桿泵等對生產(chǎn)管道造成的沖擊信號；第2部分為在導(dǎo)向管研磨金剛砂產(chǎn)生的微弱振動信號，以模擬砂礫沖擊輸油管壁產(chǎn)生的振動信號．

3．2．1 對金剛砂振動信號分析

在導(dǎo)向管研磨金剛砂后產(chǎn)生微弱振動信號，壓電式加速度傳感器接收到受系統(tǒng)噪聲干擾的微弱振動信號，信號通過放大采集后，經(jīng)過信號采集小波分析處理程序后，得到所需振動信號，如圖9所示．

圖9 金剛砂振動信號Fig．9 Emery vibration signal

圖9（a）為實驗系統(tǒng)采集的原始振動信號，振動信號經(jīng)過分解后，其1～3層的沖擊和噪聲信號的模極大值序列中的最大值分別為0．006 2，0．005 6，0．005 2．其中第1與第2層的模極大值差值為0．000 6小于k×σ值0．002 5，因此，自適應(yīng)分解的層數(shù)確定為2層．圖9（b）為經(jīng)過小波濾波處理后振動信號，橫坐標(biāo)為振動時間，縱坐標(biāo)為振動加速度．通過時域波形對比，經(jīng)過小波濾波后信號幅值基本不變，信號基本保持原有信號特征．

圖10為對金剛砂振動信號進(jìn)行頻域分析的結(jié)果，通過對比發(fā)現(xiàn)頻譜特征基本相符．因此利用本文自適應(yīng)小波分析方法濾除沖擊信號時不會對混雜在沖擊信號中的重要振動信號造成畸變和干擾．

圖10 金剛砂振動信號FFTFig．10 Emery vibration signal FFT

3．2．2 對混有沖擊信號的金剛砂振動信號分析

在導(dǎo)向管上研磨金剛砂的同時，使用力錘敲擊導(dǎo)向管產(chǎn)生振動信號，經(jīng)過數(shù)據(jù)采集處理后如圖11所示．

圖11 混合振動信號Fig．11 Mixed vibration signal

圖11（a）為本實驗系統(tǒng)采集的原始振動信號時域波形．振動信號經(jīng)過分解后，其1～6層的沖擊和噪聲信號的模極大值序列中的最大值分別為0．073 2，0．052 5，0．027 6，0．018 7，0．010 2，0．008 3．其中第5與第6層的模極大值差值為0．001 9小于k×σ值0．002 5，因此自適應(yīng)分解的層數(shù)確定為6層．圖11（b）為經(jīng)過濾波處理后振動信號時域波形，橫坐標(biāo)為振動時間，縱坐標(biāo)為振動加速度值．沖擊信號加速度最高幅值可達(dá)1 m／s2，經(jīng)過濾波處理后提取的微弱振動信號加速度幅值為0．005m／s2，其幅值與圖9（a）中只存在單一金剛砂振動信號加速度幅值一致．從時間角度分析沖擊信號持續(xù)時間僅為0．024s，而經(jīng)過濾波分析后信號時間長度為一個完整采樣周期時間0．01s．即混雜在沖擊信號中的微弱振動信號被提取出來，結(jié)果表明一個振動周期內(nèi)都存在研磨金剛砂產(chǎn)生的振動信號，其中在0．036s和0．096s附近金剛砂振動信號幅值最高．

圖12為混合信號頻譜分析，從頻域角度分析可知，原始混合信號頻域范圍大概在0～20 000 Hz，經(jīng)過濾波處理后頻域范圍集中在12 000～18 000 Hz附近，由文獻(xiàn)［13］可知此頻段為金剛砂振動頻段，因此淹沒在沖擊信號中的微弱金剛砂振動信號通過本文方法被成功提取出來．

圖12 混合信號頻譜分析Fig．12 Mixed vibration signal FFT

4 結(jié) 論

本文采用自適應(yīng)層數(shù)分解小波分析方法，針對微弱振動淹沒在沖擊信號中的問題，根據(jù)信號特征合理選擇小波基，對模擬理想和非理想沖擊信號進(jìn)行自適應(yīng)層數(shù)DB4小波分析，結(jié)果表明該方法可以有效濾除沖擊信號并提取微弱振動信息．同時，對本實驗系統(tǒng)采集的混合振動信號進(jìn)行自適應(yīng)DB4小波分析，成功濾除沖擊信號．通過模擬計算和實驗結(jié)果的時頻分析可知，自適應(yīng)小波濾除沖擊信號算法正確、結(jié)果可靠，自適應(yīng)層數(shù)分解小波分析方法可以濾除沖擊提取微弱振動信號，解決工程實際問題．

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