基于研究生能力培養(yǎng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)實(shí)踐

郭紅建

(信陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南信陽(yáng)464000)

研究生教育是國(guó)家培養(yǎng)高層次人才和創(chuàng)新型人才的主渠道，其實(shí)質(zhì)和核心是培養(yǎng)研究生具有獨(dú)立從事科研的能力［1］．基礎(chǔ)知識(shí)的傳承與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是研究生培養(yǎng)過(guò)程中的兩個(gè)重要方面．目前，研究生培養(yǎng)過(guò)程中存在兩種情況:一是注重研究生所選方向的基礎(chǔ)知識(shí)傳授，所傳授的知識(shí)沒有和學(xué)生開題報(bào)告及畢業(yè)論文所涉及的課題有機(jī)結(jié)合起來(lái);二是僅僅讓學(xué)生閱讀和模仿前人的文章，盡管學(xué)生能模仿并寫作一些文章，但其所掌握的基礎(chǔ)知識(shí)是不完整的．另一方面，由于研究生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不同，也導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣和掌握程度不同．如何在教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合本學(xué)科培養(yǎng)目標(biāo)的要求，針對(duì)不同的學(xué)生及其已有的基礎(chǔ)知識(shí)水平，使學(xué)生在研究生階段的知識(shí)有所豐富和提高，達(dá)到所學(xué)專業(yè)的要求，并使其獨(dú)立進(jìn)行科研的能力有所提高是值得研究的．下面以生物數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的培養(yǎng)為例，從學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)科知識(shí)體系以及學(xué)生應(yīng)掌握的基本技能要求等方面入手，將應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生的能力培養(yǎng)融入專業(yè)課程教學(xué)中．

1 學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)科要求之間的矛盾

課程的教學(xué)效果是教師與學(xué)生之間的教與學(xué)過(guò)程共同作用的結(jié)果．學(xué)生是教學(xué)過(guò)程中的主體，其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)決定著對(duì)學(xué)習(xí)的投入程度［2］．由于學(xué)生考研的動(dòng)機(jī)和目的不同，學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的目標(biāo)和要求也不同．

呂潔［3］調(diào)查后發(fā)現(xiàn):本科生考研的動(dòng)機(jī)和目的是多樣性的，希望繼續(xù)深造的同學(xué)占被調(diào)查人數(shù)的20%;就業(yè)受挫，不得不把考研當(dāng)成學(xué)業(yè)上的第二次選擇的占58%;出于名校情結(jié)、父母期望、戶口問(wèn)題、群體效應(yīng)而考研的學(xué)生占22%．這個(gè)調(diào)查說(shuō)明，就業(yè)期望是引發(fā)考研動(dòng)機(jī)的重要原因［3，4］．由于不同的動(dòng)機(jī)，學(xué)生入學(xué)后對(duì)研究生階段所要學(xué)習(xí)的知識(shí)期望值也不同，其對(duì)所要學(xué)習(xí)的專業(yè)知識(shí)的興趣也不同．一些同學(xué)渴望學(xué)習(xí)新的知識(shí)進(jìn)行深造，一些同學(xué)對(duì)于學(xué)什么無(wú)所謂，只要能畢業(yè)找到工作就行;還有部分同學(xué)對(duì)本專業(yè)的知識(shí)毫無(wú)興趣，會(huì)出現(xiàn)隱性逃課現(xiàn)象［5］，盡管身在課堂，但其閱讀和學(xué)習(xí)的卻是教師招聘考試、公務(wù)員考試等的書籍，對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)毫無(wú)興趣．

對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究生來(lái)說(shuō)，每個(gè)學(xué)科方向都對(duì)研究生應(yīng)該掌握的知識(shí)有基本的要求．不同的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)其專業(yè)方向的要求不同．例如，生物數(shù)學(xué)作為交叉學(xué)科，其由生物學(xué)和數(shù)學(xué)及其分支學(xué)科相互滲透融合而成，具有較為明確的研究目標(biāo)、較為穩(wěn)定的研究?jī)?nèi)容和較為清晰的研究邊界．生物數(shù)學(xué)的研究重點(diǎn)之一是研究那些與生命科學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)方法和理論．作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，生物數(shù)學(xué)具有豐富的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，包括集合論、概率論、微積分、微分方程、線性代數(shù)、矩陣論和拓?fù)鋵W(xué)，還包括一些近代數(shù)學(xué)分支，如信息論、圖論、控制論、系統(tǒng)論和模糊數(shù)學(xué)等．這些豐富的數(shù)學(xué)方法和理論應(yīng)用到生物學(xué)和生態(tài)學(xué)領(lǐng)域就使生物數(shù)學(xué)有很多的分支，如數(shù)量生態(tài)學(xué)、數(shù)量生理學(xué)、生物力學(xué)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、生物信息論、生物系統(tǒng)論、生物控制論和生物方程等分支．

對(duì)于每一個(gè)生物數(shù)學(xué)方向，其需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)是不同的．生物數(shù)學(xué)的學(xué)生和研究者是不可能掌握所有的數(shù)學(xué)知識(shí)，只能是對(duì)不同的研究方向和課題進(jìn)行有針對(duì)性的學(xué)習(xí)．當(dāng)然這里并不排除學(xué)習(xí)和了解其他數(shù)學(xué)方向的知識(shí)的重要性．

由于研究生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不同，再加上其所學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)難度不同，使得相當(dāng)一部分學(xué)生入學(xué)后有應(yīng)付性學(xué)習(xí)的傾向．很多生物數(shù)學(xué)方向的研究生，在學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課階段，覺得學(xué)習(xí)枯燥無(wú)味，沒有學(xué)習(xí)的積極性．但大部分學(xué)生對(duì)生物學(xué)和生態(tài)學(xué)的一些知識(shí)感興趣，也比較容易接受．這就需要導(dǎo)師引導(dǎo)學(xué)生的興趣，發(fā)現(xiàn)其興趣點(diǎn)，分層次分階段地對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)．例如，有些學(xué)生對(duì)種群的知識(shí)感興趣，那么在課程教學(xué)中多以種群模型為例進(jìn)行教學(xué);如果學(xué)生對(duì)疾病的傳播和治療感興趣，那么就多以傳染病模型為例，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

2 對(duì)學(xué)生基本能力的要求

有研究表明，理科研究生基本科研能力結(jié)構(gòu)要素按重要程度由大到小排序前5項(xiàng)依次為創(chuàng)新能力、邏輯推理能力、問(wèn)題解決能力、數(shù)字運(yùn)算能力、資料搜集與處理能力［6］．其中創(chuàng)新能力是指提出或產(chǎn)生具有新穎性工作成果的能力．影響創(chuàng)新程度的因素有:是否持有強(qiáng)烈的學(xué)術(shù)動(dòng)機(jī)、課程參與程度和方式、學(xué)術(shù)交流經(jīng)歷、科研課題參與數(shù)量和方式、導(dǎo)師的學(xué)術(shù)指導(dǎo)等，這些都會(huì)在不同程度上影響學(xué)生的創(chuàng)新能力，尤其是課程學(xué)習(xí)參與度、導(dǎo)師的學(xué)術(shù)指導(dǎo)是影響程度最大的因素［7］．邏輯推理能力，是一種從已知到未知探索新知識(shí)的思維能力，即根據(jù)已有知識(shí)合乎邏輯地推出新的知識(shí)的才能．研究生的判斷、類比、分析歸納、演繹綜合、假說(shuō)等邏輯推理方法及能力將貫穿其以后科學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程［8］．問(wèn)題解決的過(guò)程主要涉及以下5個(gè)步驟:理解問(wèn)題、描述問(wèn)題、制訂解決問(wèn)題方案、執(zhí)行問(wèn)題解決方案、效果評(píng)估或反饋．上述這5個(gè)步驟高度概括了問(wèn)題解決的基本過(guò)程，基本回答了“問(wèn)題在哪?什么問(wèn)題?怎么解決問(wèn)題?問(wèn)題解決得怎樣?”4個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題［9］．

在數(shù)學(xué)專業(yè)本科階段的教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［10］是一個(gè)重要的課程，但由于課時(shí)和師資力量等方面的原因，造成很多研究生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的編程能力幾乎為0．盡管有各種層次的研究生建模比賽，但很多高校進(jìn)行的是“精英式”培養(yǎng)，即只有參加比賽的人員才能有進(jìn)一步的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)．因此在研究生教育階段需要加強(qiáng)學(xué)生計(jì)算機(jī)編程能力［11］的培養(yǎng)．

信息和文獻(xiàn)收集以及對(duì)文獻(xiàn)的駕馭能力［12］是從事科研活動(dòng)的一個(gè)重要方面．很多學(xué)生開題后，不知道該如何收集與其題目相關(guān)的文獻(xiàn)和信息，其所能閱讀和參考的僅是老師給的幾篇文獻(xiàn)，所掌握的文獻(xiàn)量很少．因此在研究生科研能力培養(yǎng)過(guò)程中，應(yīng)結(jié)合研究生所學(xué)的知識(shí)和科研方向，培養(yǎng)和提高研究生對(duì)文獻(xiàn)信息資源的熟悉程度和對(duì)文獻(xiàn)利用的力度．

這些能力的培養(yǎng)是一個(gè)綜合的過(guò)程．只有在教育教學(xué)過(guò)程中，將上述能力的培養(yǎng)融入平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，豐富基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)內(nèi)容和方式，拓展教學(xué)空間和方式，才能使教學(xué)有活力，才能逐步提高學(xué)生的科研能力．

3 教學(xué)方法的探索與實(shí)踐

以《脈沖微分方程及其應(yīng)用》課程教學(xué)為例，介紹將上述研究生能力的培養(yǎng)融入課程教學(xué)中的探索．

在介紹脈沖微分方程理論知識(shí)之前，需要告知學(xué)生脈沖微分方程的發(fā)展過(guò)程、實(shí)際背景意義以及學(xué)習(xí)脈沖微分方程的必要性．對(duì)于從事微分方程及其應(yīng)用研究的研究生，在接觸到脈沖微分方程之前，其所學(xué)的知識(shí)主要是建立在連續(xù)系統(tǒng)(或離散系統(tǒng))之上的．這些連續(xù)系統(tǒng)(或離散系統(tǒng))描述的是研究對(duì)象的連續(xù)(或離散)變化過(guò)程．但許多生態(tài)、生命現(xiàn)象的發(fā)生以及人們對(duì)生態(tài)生命現(xiàn)象的管理和控制，并非是一個(gè)簡(jiǎn)單的連續(xù)或離散過(guò)程，不能單純地用連續(xù)微分方程或差分方程來(lái)描述，用脈沖微分方程來(lái)描述更為合適．例如，藥物動(dòng)力學(xué)研究藥物在人體中的分布，口服、注射藥物常常是以脈沖形式進(jìn)入人體的，因此描述藥物在人體(包括血液、臟器、肌肉等)中濃度變化情況，應(yīng)用周期脈沖微分方程更為合理［13］．另外，脈沖微分方程也被廣泛地應(yīng)用在可再生資源的開發(fā)、害蟲治理、環(huán)境的綜合治理等領(lǐng)域并取得了許多好的結(jié)果．

介紹這些知識(shí)的時(shí)候，幾乎所有的同學(xué)都很感興趣．有部分同學(xué)能夠舉出一些現(xiàn)實(shí)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中與脈沖有關(guān)的例子，如每年夏季棉花害蟲的防治等．隨后給同學(xué)提出問(wèn)題，河南是農(nóng)業(yè)大省，害蟲危害農(nóng)業(yè)作物，需要進(jìn)行噴灑農(nóng)藥．但什么時(shí)候噴灑農(nóng)藥?其方式有哪些?同學(xué)們的回答就多樣了，有的說(shuō)每隔一段時(shí)間就打一次農(nóng)藥，有的說(shuō)要看害蟲的多少．同學(xué)們所提到的控制方式都是其身邊甚至是其親身經(jīng)歷的．接下來(lái)，如何制訂控制措施，使得噴灑次數(shù)最少?如何去描述和評(píng)估控制措施能否有效控制害蟲?同時(shí)，如果作為一個(gè)管理者，其最關(guān)心的問(wèn)題是什么?這些問(wèn)題的提出激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生們想要知道如何建立這類模型，以及如何通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究來(lái)描述和回答上述實(shí)際問(wèn)題．

關(guān)于建模，不同的研究方向有不同的建模思想和方法．這就要告訴學(xué)生，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，可以用不同的方法進(jìn)行研究，如統(tǒng)計(jì)方法、概率方法等，這些方法的側(cè)重點(diǎn)不同，其所用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法也是不同的［14］．筆者的研究方向是微分方程，主要利用微分方程所建的數(shù)學(xué)模型及其研究方法來(lái)討論數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用，例如考慮上述實(shí)際問(wèn)題．首先，通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子讓同學(xué)們對(duì)脈沖模型有初步的理解，如具有脈沖收獲的Logistic單種群模型，指出脈沖模型與連續(xù)模型的區(qū)別之處．

在舉例過(guò)程中，可以告知學(xué)生基本的建模思想以及所要研究的內(nèi)容，其一般過(guò)程為:針對(duì)某個(gè)生態(tài)或生命現(xiàn)象，首先分析其主要因素之間的數(shù)量及其變化規(guī)律，建立相應(yīng)連續(xù)模型，然后根據(jù)外界干擾的特點(diǎn)，建立脈沖條件項(xiàng)，給出描述狀態(tài)變量突變的脈沖函數(shù)．通過(guò)數(shù)學(xué)分析和研究得出周期解的存在性和穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)結(jié)果，然后利用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋或說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)指出，在研究過(guò)程可能會(huì)出現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題．通過(guò)這些介紹，讓同學(xué)明白其所要學(xué)習(xí)的脈沖微分方程的概況，以及脈沖微分方程作為一種工具在其以后研究工作中的作用．

在脈沖微分方程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的講解上，規(guī)范性教學(xué)是按照文獻(xiàn)［15］上的理論體系進(jìn)行，按照順序介紹脈沖微分系統(tǒng)簡(jiǎn)介、脈沖現(xiàn)象、解的局部存在性與解的延拓、解的局部存在性、解的延拓;線性脈沖微分系統(tǒng)(齊次和非齊次)、脈沖微分不等式和脈沖積分不等式、解的全局存在性和唯一性、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性;脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng);脈沖半動(dòng)力系統(tǒng)等［13，15］．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，剛開始同學(xué)還有興趣聽講，介紹到解的存在性和唯一性等知識(shí)以后，明顯感覺到學(xué)生的厭學(xué)情緒，且學(xué)習(xí)效果也不好．在其開題后進(jìn)行研究的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)忘得差不多了，特別是對(duì)那些本來(lái)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生更是如此．另外，這些基礎(chǔ)知識(shí)介紹完，課時(shí)也基本用完，其在生命科學(xué)中的運(yùn)用也沒有時(shí)間講了，造成了虎頭蛇尾的情況．

近兩年將課程章節(jié)的教學(xué)順序進(jìn)行了調(diào)整，將脈沖微分方程在生物數(shù)學(xué)中的應(yīng)用融入到平時(shí)的課程教學(xué)中，壓縮基礎(chǔ)理論的教學(xué)課時(shí)，加大應(yīng)用部分的課時(shí)，并且理論、應(yīng)用和學(xué)生討論交叉進(jìn)行，指出脈沖微分系統(tǒng)簡(jiǎn)介、脈沖現(xiàn)象是基礎(chǔ)性知識(shí);解的局部存在性與解的延拓、解的局部存在性和延拓，全局存在性和唯一性、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性等是理論基礎(chǔ);線性脈沖微分系統(tǒng)(齊次和非齊次)、脈沖時(shí)滯微分系統(tǒng)、脈沖半動(dòng)力系統(tǒng)等是應(yīng)用重點(diǎn)．通過(guò)兩屆學(xué)生的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)效果很好．

下面舉一個(gè)例子．在介紹脈沖微分系統(tǒng)簡(jiǎn)介、脈沖現(xiàn)象這些定義及基礎(chǔ)性知識(shí)時(shí)，讓學(xué)生了解到，對(duì)于一個(gè)非常簡(jiǎn)單的連續(xù)系統(tǒng)，如果加上脈沖條件和脈沖函數(shù)，其解的性質(zhì)就會(huì)變得非常復(fù)雜．在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域，具有Multhus或Logistic增長(zhǎng)率的單種群模型是最簡(jiǎn)單的，也是最基礎(chǔ)的模型．按照脈沖微分方程的分類，讓學(xué)生建立三類脈沖模型，學(xué)生很快就能完成．在解釋他們所建模型的生物學(xué)意義時(shí)，對(duì)于定時(shí)脈沖和狀態(tài)脈沖模型時(shí)，都能明白其生物學(xué)意義．但對(duì)于脈沖時(shí)間依賴某類函數(shù)的模型時(shí)，卻出現(xiàn)了分歧．另外，對(duì)脈沖函數(shù)的描述也存在疑問(wèn)，到底該用何種函數(shù)形式．這時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生自己去理解:需要考慮所研究問(wèn)題的生物學(xué)意義，如果是采取投放行為，一般是采用常數(shù)的形式;如果是采取收獲行為，有常數(shù)收獲和成比例收獲兩種情況．如果考慮的是純數(shù)學(xué)問(wèn)題，不考慮生物學(xué)意義，可以設(shè)為任意函數(shù)形式．通過(guò)這些過(guò)程，讓同學(xué)們了解并初步掌握利用脈沖微分方程進(jìn)行建模的簡(jiǎn)單過(guò)程．

模型建立起來(lái)了，下一個(gè)問(wèn)題是如何進(jìn)行討論和研究，其依據(jù)是什么?這就是理論依據(jù)．首先從學(xué)科理論基礎(chǔ)的角度出發(fā)，介紹解的局部存在性與解的延拓等知識(shí)定理和已有結(jié)果，對(duì)于一般的脈沖問(wèn)題，首先要考慮其解的存在性問(wèn)題．對(duì)于前期學(xué)生所建立的三類脈沖模型，選取其中兩類:具有常數(shù)投放的Multhus模型和具有成比例收獲的Logistic模型，讓同學(xué)們計(jì)算討論在一個(gè)脈沖周期內(nèi)解的存在性等．實(shí)際上，這兩個(gè)模型都是可求解的，利用本科所學(xué)的知識(shí)就能解決．有些同學(xué)很快就能寫出在一個(gè)脈沖周期內(nèi)解的形式，但部分同學(xué)對(duì)Logistic模型的求解就顯得吃力．課堂上，讓兩個(gè)學(xué)生在黑板上同時(shí)進(jìn)行演算，根據(jù)兩個(gè)學(xué)生的演算結(jié)果進(jìn)行討論，最終獲得正確的計(jì)算步驟和計(jì)算結(jié)果．接著，讓同學(xué)們計(jì)算兩個(gè)脈沖周期內(nèi)解的形式．剛開始同學(xué)們有些不敢下手，通過(guò)回顧定義等概念，說(shuō)明在第二個(gè)脈沖周期，求解的方法與第一個(gè)脈沖周期是一樣的，只不過(guò)是初值不同，而第二個(gè)脈沖區(qū)間的初值與前一個(gè)脈沖周期的終點(diǎn)及脈沖函數(shù)有關(guān)．經(jīng)過(guò)解釋，同學(xué)們很快就將兩個(gè)周期內(nèi)解的形式寫出來(lái)了．然后再提問(wèn)題，對(duì)于三個(gè)或更多脈沖周期內(nèi)，能否寫得出來(lái)?同學(xué)們表示都能寫得出來(lái)．那么當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，解的性質(zhì)是什么?同學(xué)們感到迷茫．隨后給出一些文獻(xiàn)，讓學(xué)生們?nèi)ふ遥缓箝喿x，并在習(xí)題和討論課上進(jìn)行討論，討論周期解的存在性及穩(wěn)定性等．

通過(guò)單種群系統(tǒng)的討論，讓學(xué)生們理解了脈沖系統(tǒng)的建模過(guò)程及初步研究過(guò)程．對(duì)于具有階段結(jié)構(gòu)的線性系統(tǒng)，該怎樣去討論?是否仍然按照單種群的思路去做?學(xué)生們進(jìn)行了簡(jiǎn)單的嘗試后，均表示有點(diǎn)麻煩．接著，就引入了另外一個(gè)知識(shí)點(diǎn):線性脈沖微分系統(tǒng)(齊次和非齊次)，重點(diǎn)介紹其中的Floquet理論，這里的難點(diǎn)是利用Green函數(shù)表示解的形式．通過(guò)線性系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生們了解了線性系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)和研究方法．但這些也是理論上的認(rèn)識(shí)，為了讓學(xué)生進(jìn)一步了解Floquet理論的應(yīng)用，給同學(xué)幾篇文獻(xiàn)進(jìn)行討論．

在對(duì)線性系統(tǒng)有了初步認(rèn)識(shí)后，接著提出了更一般的問(wèn)題:生物數(shù)學(xué)的模型大多數(shù)是不可求解的，該如何去做?以簡(jiǎn)單的具有脈沖收獲的捕食模型為例，讓同學(xué)們?nèi)L試?yán)斫饽Ｐ偷囊饬x，同學(xué)們都能準(zhǔn)確說(shuō)出其意義．但如何去討論?隨后引入了脈沖微分不等式和積分不等式等概念及相關(guān)知識(shí)的介紹，并通過(guò)相關(guān)文獻(xiàn)，讓同學(xué)了解了該類非線性問(wèn)題的研究方法和思路．到此，同學(xué)們對(duì)脈沖微分方程的基礎(chǔ)知識(shí)及其在生物數(shù)學(xué)中的初步應(yīng)用有了一定的認(rèn)識(shí)．

但到此階段，所有的理論問(wèn)題和具體模型考慮的是脈沖條件與時(shí)間有關(guān)的脈沖微分方程，如果把脈沖條件改為僅與狀態(tài)變量有關(guān)即狀態(tài)脈沖，該如何討論這類脈沖微分方程?用文獻(xiàn)［15］的內(nèi)容向同學(xué)們介紹脈沖半動(dòng)力系統(tǒng)的相關(guān)知識(shí)，但因其數(shù)學(xué)語(yǔ)言味道濃厚，研究生理解起來(lái)比較費(fèi)勁．近兩年，筆者先介紹陳蘭蓀先生論文［16］上的內(nèi)容，在介紹了其建模思想以及所要討論的重點(diǎn)后，讓同學(xué)們自己去講解文獻(xiàn)［15］中的脈沖半動(dòng)力系統(tǒng)知識(shí)．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們無(wú)論是在理解脈沖半動(dòng)力系統(tǒng)建模上，還是對(duì)所建模型的討論方法上，都很快能夠接受．不過(guò)中間有個(gè)難點(diǎn)，是關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)的定性分析和矢量圖分析上，是學(xué)生以前沒有接觸過(guò)的．例如，在畫矢量圖及軌線的走勢(shì)時(shí)，一些同學(xué)不知該如何判別，且畫軌線走勢(shì)時(shí)很隨意，這都是對(duì)等傾線和矢量域理解不深的緣故．盡管從代數(shù)方程上，知道如何運(yùn)算，但不知如何運(yùn)用到定性分析和矢量圖分析上．經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，同學(xué)們都能掌握基本的定性分析技巧．

在學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析能力的培養(yǎng)上，學(xué)校沒有安排專門的課時(shí)去學(xué)習(xí)．由于計(jì)算機(jī)的廣泛普及，我們從理論上得到的一些數(shù)學(xué)結(jié)果，需要通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證．這就要求學(xué)生加強(qiáng)這方面的工作，因?yàn)檠芯可鷣?lái)自不同的學(xué)校，而每個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)情況也不同．同學(xué)們雖然都掌握一些基本的編程語(yǔ)言，如C語(yǔ)言等，但大多數(shù)學(xué)生對(duì)編程特別是針對(duì)微分方程的編程是不熟練的．這就影響了其對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)效果．因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是脈沖微分方程課程的教學(xué)重點(diǎn)，所以在課堂上，僅是建議學(xué)生使用Maple、Matlab等數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析．

在檢索文獻(xiàn)和分析文獻(xiàn)能力方面，由于學(xué)校購(gòu)買的權(quán)威數(shù)據(jù)庫(kù)(特別是外文數(shù)據(jù)庫(kù))不完整，很多文獻(xiàn)是無(wú)法在圖書館查到的，這就需要學(xué)生們通過(guò)多種渠道進(jìn)行獲?。谡n堂上經(jīng)常要求學(xué)生查找文獻(xiàn)，讀其前言部分，根據(jù)前言中的介紹，讓同學(xué)去圖書館或網(wǎng)上下載其后面所列文獻(xiàn)．剛開始，同學(xué)感覺查找文獻(xiàn)太費(fèi)勁了，而且一些能夠免費(fèi)下載的文獻(xiàn)也找不到．但是經(jīng)過(guò)幾篇文章的訓(xùn)練，學(xué)生很快能查到文獻(xiàn)，完成作業(yè)．

關(guān)于文獻(xiàn)中知識(shí)點(diǎn)的把握方面主要在討論課上進(jìn)行，要讓學(xué)生針對(duì)討論課上的知識(shí)點(diǎn)，尋找相關(guān)文獻(xiàn)，但學(xué)生所找到的文獻(xiàn)中不只有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．這時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生，在文獻(xiàn)中找到所要學(xué)習(xí)和討論的知識(shí)點(diǎn)，并要求學(xué)生去了解該知識(shí)點(diǎn)在文獻(xiàn)中的作用等．通過(guò)幾篇文獻(xiàn)的訓(xùn)練，學(xué)生在快速瀏覽了內(nèi)容后，就能明確說(shuō)出在討論課上需要講解哪幾個(gè)定理．

通過(guò)以上的教學(xué)嘗試，研究生脈沖微分方程課程的學(xué)習(xí)效果明顯提高，在學(xué)生論文指導(dǎo)過(guò)程中，明顯感到學(xué)生的建模能力、數(shù)學(xué)結(jié)果的獲得速度及準(zhǔn)確度都有所提高．

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