用有限差分法分析電介質(zhì)靜電場特性

唐正明，章三妹，馮正勇

(1.西華師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué)實驗中心，四川 南充 637009)

用有限差分法分析電介質(zhì)靜電場特性

唐正明1，章三妹2，馮正勇1

(1.西華師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.西華師范大學(xué)實驗中心，四川 南充 637009)

電介質(zhì)內(nèi)的電位分布、電場分布和極化等特性相對常規(guī)靜電場問題難于理解.在介紹有限差分法求電位分布原理的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了介質(zhì)中拉普拉斯方程的有限差分形式；通過巧妙設(shè)計非均勻介質(zhì)區(qū)域并運(yùn)用Matlab求解，分析了電介質(zhì)的靜電場特性.理論分析與仿真計算結(jié)果符合較好.

有限差分法；介質(zhì)極化；靜電場；Matlab

常用的計算電磁場問題的方法主要有兩大類:第一類是解析法；第二類是數(shù)值法.伴隨工程問題復(fù)雜度的提升及計算機(jī)處理能力的顯著提高，數(shù)值法應(yīng)用日趨廣泛.二維靜態(tài)電磁場的邊值問題是求解電磁場的基礎(chǔ)，有較為經(jīng)典的解析法[1].然而，就其數(shù)值法求解來說，一方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)所介紹的多為典型的“電解槽”類問題，且常局限于單一媒質(zhì)[2-4]，這對理解電介質(zhì)的靜電場特性，尤其是電介質(zhì)的極化特性[5]極為不利；另一方面，實際媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系具有多樣性[6]，局限于單一媒質(zhì)的基礎(chǔ)研究，已不能滿足實際應(yīng)用的需要.由于有限差分法(Finite Difference Method)求解靜電場邊值問題較為有效，同時，其也是廣泛應(yīng)用于時諧場分析的時域有限差分法(Time Domain Finite Difference Method)的基礎(chǔ)[7-10].為實現(xiàn)對電介質(zhì)極化問題和有限差分法更為準(zhǔn)確而全面的掌握，本文在傳統(tǒng)有限差分法求電位分布問題的基礎(chǔ)上，將有限差分法運(yùn)用到介質(zhì)極化問題分析中，導(dǎo)出了介質(zhì)中拉普拉斯方程的有限差分法形式，并借此分析了電介質(zhì)的靜電場特性.

1 電介質(zhì)的極化特性

無論是極性還是無極性分子中的束縛電荷，在外電場的作用下均會產(chǎn)生一定的位移，并形成順著外電場方向規(guī)則排布的電偶極子.大量電偶極子的存在，將在電介質(zhì)內(nèi)形成附加電場，而最終使得電介質(zhì)區(qū)域的總電場

其中，χe為電介質(zhì)的電極化率.將真空中的高斯定律推廣應(yīng)用于電介質(zhì)中，可得

式中，ρf、ρP分別為自由電荷密度和因電介質(zhì)極化而產(chǎn)生的極化電荷體密度

同時，由(5)知電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，滿足

其中，εr稱為介質(zhì)相對介電常數(shù)，用于表征電介質(zhì)的極化特性，比電介質(zhì)的電極化率χe更為常用.在同一外電場照射下的兩種不同電介質(zhì)，設(shè)其相對介電常數(shù)分別為εr1和εr2，由靜電場的法向邊界條件，有

其中，E1n，E2n和E2n'分別為入射電場、介質(zhì)1內(nèi)部和介質(zhì)2內(nèi)部電場的法向分量.由此可見，在所加外電場不變的情況下，相對介電常數(shù)ε較大的介質(zhì)內(nèi)的總電場E較小.這與前面提及的電介質(zhì)附加電場的“克服作用”相符合.

2 介質(zhì)區(qū)域的有限差分法形式

有限差分法的原理在于，在變量增量充分小的前提下，函數(shù)可進(jìn)行泰勒展開，并忽略掉高階項，進(jìn)而利用差分近似的替代微分運(yùn)算[11-13].例如，可通過泰勒公式得到關(guān)于函數(shù)f(x)微分的中心差分形式

由于Maxwell方程由偏微分方程所描述，而偏微分方程也可以做類似的差分表示.因此，有限差分法可用于靜電場問題分析中.在數(shù)值實現(xiàn)上，首先將求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，然后將區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場分布，按照有限差分法理論，用網(wǎng)格節(jié)點上的離散的數(shù)值解代替.為了描述方便，將區(qū)域采用邊長為h的正方形網(wǎng)格離散(h即為離散步長)，并將相應(yīng)節(jié)點放大顯示，其中，坐標(biāo)為(i，j)的節(jié)點電位的電位為φi，j，其周圍4個節(jié)點的電位分別為φi+1，j、φi，j+1、φi-1，j、φi，j-1，如圖所示1.

圖1 節(jié)點順序圖Fig.1 Diagram of node sequence

顯然，離散步長h將直接影響到數(shù)值解的精度，這從泰勒展開也可看出.泰勒級數(shù)的近似條件要求增量充分小(即要求離散步長h充分小，此為相對概念，工程上一般標(biāo)準(zhǔn)為，如計算域沿著某個方向的長度為l，則可令).此情況下，各個節(jié)點的電位可表示成以φi，j為基點的泰勒級數(shù)形式，在保證精度的前提下略去高階項，進(jìn)而可得到周圍4點電位與中心點電位的關(guān)系.

由于靜電場中的任何點均滿足泊松方程

聯(lián)立(10)—(13)，得介質(zhì)區(qū)域拉普拉斯方程的有限差分形式

3 電介質(zhì)區(qū)域的靜電特性分析

為驗證電介質(zhì)的靜電場特性，設(shè)計了如下圖所示的非均勻介質(zhì)區(qū)域:無限長矩形腔，橫截面為3m?2m，其中央有一截面方向1m長，直流電壓為1V的無限長平板，由相對介電常數(shù)為19的介質(zhì)區(qū)域所支撐，腔的其余部分為空氣填充，相對介電常數(shù)為1，四周為理想接地導(dǎo)體.

圖2 求解區(qū)域示意圖Fig.2 Schematic diagram of solving region

將計算區(qū)域劃分為30?20個單元格，非均勻介質(zhì)中電位的有限差分形式用賽德爾迭代法表示并采用Matlab編程[14-15].為了顯示上的直觀，程序選擇輸出了電位分布三維曲面圖和等位線、電場線分布圖.

圖3 電位、電場分布圖Fig.3 Potential，electric field distribution

從結(jié)果來看，等位線在介電常數(shù)較高的區(qū)域相對密集，即電位梯度較小，因而該區(qū)域內(nèi)場強(qiáng)相對較小.就其根源，是因為在介電常數(shù)較高的區(qū)域，電介質(zhì)的極化產(chǎn)生的附加電場更大，從而使得該區(qū)域內(nèi)的總場相對于介電常數(shù)較低的區(qū)域，有所減小.上述結(jié)果與前述相關(guān)基礎(chǔ)理論相吻合.

4 結(jié)論

在對電介質(zhì)的極化特性和有限差分法做簡要介紹的基礎(chǔ)上，詳細(xì)分析了介質(zhì)極化強(qiáng)度與區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度間的關(guān)系，并運(yùn)用有限差分方法計算對比了不同介電常數(shù)區(qū)域內(nèi)的電位、電場分布.所做分析使得相對抽象的電介質(zhì)極化特性等理論具體化且易于理解.可將類似的方法拓展到討論含自由電荷的介質(zhì)區(qū)域，進(jìn)一步用數(shù)值方法直觀分析電介質(zhì)極化電荷體密度、面密度，邊界條件等相關(guān)特性.

[1]王禮祥.靜態(tài)場邊值問題的分離變量法理論研究[J]西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，37(3):360-367.

[2]王潔，陳超波.基于MATLAB的靜態(tài)場邊值問題有限差分法的研究[J]微計算機(jī)應(yīng)用，2010，31(3):1-5.

[3]趙德奎，劉勇.MATLAB在有限差分法數(shù)值計算中的應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2005，18(4):61-64.

[4]宋燎原，王平，張海峰等.靜態(tài)電磁場邊值問題計算方法[J].大學(xué)物理，2007，26(8):23-26.

[5]P勞蘭，D R考森.電磁場與電磁波[M].陳成鈞，譯.北京:人民教育出版社，1979:62-87.

[6]肖峻，肖培.電磁媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系[J].西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，37(5):72-74.

[7]HYUN S Y，KIM S Y.3-D Thin-wire FDTD analysis of coaxial probe fed in asymmetric microwave components[J].Microwave Theory and Techniques，IEEE Transactions on，2011，59(11):2808-2815.

[8]OHTANI T，KANAI Y，COLE J B.A stability improvement technique using PML condition for the three-dimensional nonuniform mesh nonstandard FDTD method[J].Magnetics，IEEE Transactions on，2013，49 (5):1569-1572.

[9]王為，覃宇建，劉培國，等.基于高階時域有限差分法與改進(jìn)節(jié)點分析法混合求解復(fù)雜傳輸線網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)[J].電子與信息學(xué)報，2012，34(12):2999-3005.

[10]朱小敏，任新成，郭立新.指數(shù)型粗糙地面與上方矩形截面柱寬帶電磁散射的時域有限差分法研究[J].物理學(xué)報，2014，63(5):1 -7.

[11]BOOTON R C.Computational methods for electromagnetics and microwaves[M].New York:Wiley，1992:19-39.

[12]孫小東，李振春，王小六.三角網(wǎng)格有限差分法疊前逆時偏移方法研究[J].地球物理學(xué)進(jìn)展，2012，27(5):2077-2083.

[13]馮慈璋.電磁場[M].2版.北京:高等教育出版社，1979:226-244.

[14]鄭阿奇，曹弋.科學(xué)計算中的偏微分方程有限差分法[M].北京:電子工業(yè)出版社，2006:127-140.

[15]何紅雨.電磁場數(shù)值計算法與MATLAB實現(xiàn)[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社，2004:93-127.

(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Application of finite difference method in analyzing the electrostatic properties of dielectric

TANG Zheng-ming1，ZHANG San-mei2，F(xiàn)ENG Zheng-yong1
(1.School of Physics and Electronic Information，China West Normal University，Nanchong 637009，P.R.C.；
2.Experiment Center，China West Normal University，Nanchong 637009，P.R.C.)

It is more difficult to understand potential distribution，electric field distribution and the polarization characteristics in dielectric than conventional electrostatic field problems.This paper introduces the principle of finite difference method used in analyzing the potential distribution，and presents the calculation formula for dielectric region.Through the ingenious design and using Matlab to solve the inhomogeneous medium area，the static electric field properties of dielectric are analyzed.Theoretical analysis coincides with simulation results very well

finite difference method；dielectric polarization；electrostatic field；Matlab

O412.3

A

2095-4271(2015)04-0494-04

10.11920/xnmdzk.2015.04.019

2014-12-29

唐正明(1981-)，男，四川安岳人，講師，博士研究生，主要從事微波、電子技術(shù)等方面的教學(xué)和科研工作.E-mail: zhengmtang＠163.com.

四川省教育廳項目(13BZ0010)