一個(gè)數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例的分析討論

□吳慶軍，何家莉

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

一個(gè)數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例的分析討論

□吳慶軍，何家莉

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例分析討論，從最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃開(kāi)始，逐漸擴(kuò)充約束條件，不斷增加變量和約束條件，模型變成整數(shù)規(guī)劃和0-1規(guī)劃。達(dá)到了由一個(gè)案例展開(kāi)得到建立各種數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的教學(xué)要求，對(duì)提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能力有一定的指導(dǎo)意義.

數(shù)學(xué)建模；教學(xué)案例；創(chuàng)新精神

1 引言

數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中，要涉及到許多數(shù)學(xué)知識(shí).文獻(xiàn)[1-3]介紹了數(shù)學(xué)建模的優(yōu)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)要分析建模的數(shù)學(xué)思維過(guò)程, 通過(guò)建模發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用過(guò)程的揭示, 挖掘有價(jià)值的思維訓(xùn)練因素.文獻(xiàn)[4]強(qiáng)調(diào)高校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義與作用，介紹了數(shù)學(xué)建模教學(xué)與創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)建模教育改革的趨勢(shì).文獻(xiàn)[5]敘述了以數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)為載體開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的途徑.在教學(xué)過(guò)程中需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)案例，開(kāi)展案例教學(xué)法，把好課后建模實(shí)踐訓(xùn)練關(guān),鞏固和深化課堂教學(xué)，不斷提高數(shù)學(xué)教師自身的水平來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)建模教學(xué).

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一門(mén)課程，需要應(yīng)用多方面的知識(shí).一個(gè)建模問(wèn)題往往涵蓋了數(shù)學(xué)不同學(xué)科的知識(shí)，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課程有一定的難度，導(dǎo)致拿到一個(gè)實(shí)際問(wèn)題往往無(wú)從下手.如果在教學(xué)過(guò)程中選擇一個(gè)合適的案例把某一類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)集中系統(tǒng)的體現(xiàn)，讓學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)某一類(lèi)模型，是一個(gè)值得探討的問(wèn)題.本文結(jié)合多年建模教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從許多經(jīng)典的教學(xué)案例中抽出一個(gè)來(lái)做系統(tǒng)的分析討論.

2 案例展開(kāi)

貨物供應(yīng)中心的選址問(wèn)題[6]

例1：某商業(yè)公司現(xiàn)有5家銷(xiāo)售專(zhuān)賣(mài)網(wǎng)店，相應(yīng)的分布位置坐標(biāo)和每天的貨物銷(xiāo)售量如表2-1所示，該公司決定根據(jù)這5家專(zhuān)賣(mài)店的分布位置和銷(xiāo)售量，選擇一個(gè)合適的位置建造一個(gè)貨物供應(yīng)中心，負(fù)責(zé)向這5家銷(xiāo)售專(zhuān)賣(mài)店運(yùn)送貨物.根據(jù)城市規(guī)劃要求，貨物供應(yīng)中心只能建在以下四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（8,10), (12,6),(18,6),(18,10)的四邊形范圍內(nèi)，問(wèn)題是在單位運(yùn)費(fèi)一定（不妨設(shè)為1元/km）的情況下，貨物供應(yīng)中心應(yīng)建在何處才能使得每天的總運(yùn)費(fèi)最少？

表2 -1 銷(xiāo)售專(zhuān)賣(mài)店的數(shù)據(jù)

我們開(kāi)始提出這個(gè)實(shí)驗(yàn)案例時(shí)，先讓學(xué)生思考，先提出經(jīng)驗(yàn)方法，即指憑借個(gè)人或集體的經(jīng)驗(yàn)做出決策.給學(xué)生介紹它的執(zhí)行步驟一般為：(l)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定評(píng)價(jià)指標(biāo)；(2)對(duì)各待選地點(diǎn)，利用評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)劣性檢驗(yàn)；(3)根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行決策.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是：注重歷史經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單易行.其缺點(diǎn)是：容易犯經(jīng)驗(yàn)主義和主觀主義的錯(cuò)誤,并且當(dāng)可選地點(diǎn)較多時(shí),不易做出理想的決策，導(dǎo)致決策的可靠性不高.

下面我們?cè)偬岢鋈绾尾捎枚糠治龇椒?在建立一個(gè)選址模型之前,需要清楚以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）選址的對(duì)象是什么?

（2）選址的目標(biāo)區(qū)域是怎樣的?

（3）選址目標(biāo)和成本函數(shù)是什么?

（4）有什么樣的約束?

優(yōu)化模型分為有約束和無(wú)約束模型.如果新建設(shè)施的地點(diǎn)沒(méi)有限制,那么選址問(wèn)題是無(wú)約束的選址問(wèn)題.反之就是有約束優(yōu)化問(wèn)題.本題供貨點(diǎn)被約束在一個(gè)四邊形范圍內(nèi)，因此是有約束的選址問(wèn)題.而根據(jù)實(shí)際情況的變化，可能會(huì)有多樣的約束條件組成不同的模型.

針對(duì)本題，我們可將選址問(wèn)題分為下面幾類(lèi):

（1）非線(xiàn)性規(guī)劃

我們建立一個(gè)供貨站，坐標(biāo)點(diǎn)設(shè)為(x,y)，假設(shè)供應(yīng)給每個(gè)銷(xiāo)售專(zhuān)賣(mài)店的運(yùn)貨量為ej.此題要實(shí)現(xiàn)的是總運(yùn)費(fèi)最少，那么目標(biāo)函數(shù)f為運(yùn)費(fèi).運(yùn)費(fèi)=運(yùn)貨量*距離*單位運(yùn)費(fèi).單位運(yùn)費(fèi)是1，我們可以省略.對(duì)此先建立非線(xiàn)性規(guī)劃模型，

根據(jù)題目要求，(xj,yj)要在已知的四邊形D范圍內(nèi).設(shè)計(jì)模型為

約束條件為：(x,y)∈D

x,y∈R

在用數(shù)學(xué)軟件解決之前，先要把約束(x,y)∈D 變?yōu)閷?shí)際的函數(shù)形式.

本模型用lingo9.0編程求解的結(jié)果為：x=8.4342，y=10，f=401.0859.

（2）整數(shù)規(guī)劃

因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題中，根據(jù)路況或者規(guī)劃需求，當(dāng)要求選址點(diǎn)必須是在整數(shù)位置時(shí)，此模型可以變成整數(shù)規(guī)劃.

本模型用lingo9.0求解的結(jié)果為：x=8，y=10，f=401.4378.

這樣此案例就可以拓展為整數(shù)規(guī)劃模型.當(dāng)然，我們也可以同時(shí)提出，如果只能在部分整數(shù)點(diǎn)上呢，這模型又該如何建立？

（3）0-1 規(guī)劃

當(dāng)供貨中心可以任意選址時(shí)，我們建立起了非線(xiàn)性規(guī)劃模型.但是，實(shí)際問(wèn)題中不能任意選址的.有的只是數(shù)個(gè)可供選擇的位置.那么如何在這有限的位置判斷哪個(gè)位置的運(yùn)費(fèi)最省呢？突然發(fā)現(xiàn)原來(lái)的數(shù)學(xué)模型不適用了，需要在這基礎(chǔ)上再做一個(gè)調(diào)整.這時(shí)候就可引入0-1規(guī)劃.增加只能取0或者1的變量Yj，表示所在可供選擇的位置上選取這個(gè)點(diǎn)為1，不選取這個(gè)點(diǎn)為0.(xj,yj)被約束在可供選擇的D位置上.而模型其它的變量、函數(shù)、約束條件基本不變.假設(shè)有m個(gè)位置可選，這時(shí)候的模型就變成了0-1規(guī)劃.

帶入模型計(jì)算得出：Y1=1，Y2=0，Y3=0，f =434.3885，表明取(x1,y1)=(11,8)這個(gè)點(diǎn)作為供應(yīng)點(diǎn)最優(yōu).

這三個(gè)數(shù)學(xué)模型分別從不同的約束條件解決實(shí)際問(wèn)題.非線(xiàn)性規(guī)劃模型約束最少，因此得到的結(jié)果最好 f =401.0859，其次是整數(shù)規(guī)劃模型 f =401.4378，0-1規(guī)劃可供選擇的點(diǎn)最少，約束條件最多，因此費(fèi)用最高 f =434.3885.

這樣，通過(guò)一點(diǎn)一點(diǎn)深入探討，能夠把非線(xiàn)性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，0-1規(guī)劃一系列數(shù)學(xué)規(guī)劃模型都應(yīng)用到此題中.讓學(xué)生通過(guò)這個(gè)例題的學(xué)習(xí)，能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的理解.當(dāng)遇到其它類(lèi)似的或者更為復(fù)雜的模型時(shí)，可以自主由淺入深地建立相應(yīng)的規(guī)劃模型，從而提高面對(duì)實(shí)際問(wèn)題如何建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的能力.

3 效果分析

3.1 培養(yǎng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析、推理、計(jì)算的能力

數(shù)學(xué)建模的每一個(gè)階段都不能離開(kāi)數(shù)學(xué)的分析、推理、計(jì)算.此案例正是給出實(shí)際問(wèn)題，用數(shù)學(xué)建模的方式解答.在解答過(guò)程中每一個(gè)階段都是由上一個(gè)階段的推理、建模、計(jì)算得到.學(xué)生通過(guò)此案例的學(xué)習(xí)，能夠分析問(wèn)題，由簡(jiǎn)單的規(guī)劃模型推演到復(fù)雜的更符合實(shí)際生活的模型.這就是一個(gè)通過(guò)自己分析，用數(shù)學(xué)推理抽象，描述實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.最后通過(guò)不斷的增加約束條件，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.

3.2 培養(yǎng)應(yīng)用計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)軟件的能力.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，研究數(shù)學(xué)模型的手段也得到了飛速發(fā)展.要計(jì)算求解此題，必然要會(huì)熟練應(yīng)用matlab或者lingo.而此題衍生出三個(gè)模型，讓學(xué)生獨(dú)立求解能起到很好的鍛煉效果.通過(guò)自己編程，能迅速發(fā)現(xiàn)自己在軟件方面的不足.通過(guò)計(jì)算出的結(jié)果，能反映出模型建立的準(zhǔn)確程度，為模型的改進(jìn)奠定了基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模不僅需要學(xué)生具有對(duì)實(shí)際間題的洞察力、理解力、抽象能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建立數(shù)學(xué)模型的能力，而且還需要能夠?qū)λ⒌臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)、程序編制、上機(jī)計(jì)算及對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行科學(xué)分析的能力才能有效地解決實(shí)際間題.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，不僅可以極大地提高學(xué)生使用計(jì)算機(jī)的技能，而且可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)解決實(shí)際間題的能力.

3.3 培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的想象力、聯(lián)想力、動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力

通過(guò)對(duì)此案例的教學(xué)研究，可以給學(xué)生提出幾個(gè)問(wèn)題探討.

（1）如果沒(méi)有直線(xiàn)道路，而只有幾條既定彎曲的道路，該如何建模？

（2）目標(biāo)函數(shù)僅僅是成本最省，如果增加一個(gè)時(shí)間最省的目標(biāo)函數(shù)呢？因?yàn)槊織l道路的通行情況不同，節(jié)省費(fèi)用但不一定節(jié)省時(shí)間.

（3）如果每天商店的需求量都在發(fā)生變化，則供貨量該如何調(diào)整.

這能讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力、聯(lián)想力和洞察力.不斷提出新的問(wèn)題，讓學(xué)生自行想象，調(diào)查實(shí)際問(wèn)題并解決問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力有極大的幫助.由此，需要學(xué)生對(duì)新產(chǎn)生的問(wèn)題提出新的方法，新的模型求解.這樣提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力.

通過(guò)教學(xué)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是眼下教育改革的重要主題.數(shù)學(xué)建模有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)創(chuàng)新活動(dòng)的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模中經(jīng)歷“問(wèn)題提出、問(wèn)題分析、模型建立、模型求解、檢驗(yàn)拓展”等創(chuàng)新思維的過(guò)程，可以使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)建模體驗(yàn).

4 小結(jié)

本文選擇了一個(gè)教學(xué)案例，并對(duì)其進(jìn)行分析、討論和拓展.根據(jù)題目先建立非線(xiàn)性規(guī)劃模型，逐漸增加約束條件，模型逐步變成整數(shù)規(guī)劃和0-1規(guī)劃模型，然后用數(shù)學(xué)軟件求解.

這教學(xué)過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、推理、計(jì)算的能力，用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的想象力、聯(lián)想力、動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力.

本教學(xué)案例的展開(kāi)分析充分發(fā)揮了學(xué)生的思考和想象空間，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.采用“啟發(fā)式”和“實(shí)踐式”教學(xué)，并在教學(xué)活動(dòng)中恰當(dāng)使用現(xiàn)代教育技術(shù)，理論與實(shí)踐相結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，達(dá)到以點(diǎn)帶面的教學(xué)效果. ■

[1]陳 莉，鐘志華.數(shù)學(xué)模型方法的教育意義[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，20(11)：132-144.

[2]徐龍封.在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版, 2004，(3)：114-115.

[3]赫孝良，戴永紅，周義倉(cāng).數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)的探索[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2001, 31(5)：625-626.

[4]齊小剛，劉三陽(yáng).數(shù)學(xué)建模教育與創(chuàng)新精神培養(yǎng)的研究探索[J].實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2009，26(5)：27-29.

[5]王懷領(lǐng).淺議高等數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略[J].中國(guó)成人教育，2008(3)：154-155.

[6]韓中庚.實(shí)用運(yùn)籌學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2007.

【責(zé)任編輯 謝文?！?/p>

Analysis and Study on an Mathematical Modeling teaching Case

WU Qing-jun HE Jia-li
(School of Mathematics and Information Science, Yulin Normal University, Yulin, Guangxi 537000)

A mathematical modeling teaching cases is analyzed and studied. The nonlinear programming is built first. With the gradual increase of variables and constraints, the model becomes the integer programming and 0-1 programming. The teaching requirement is met to establish various mathematical programming modeling through a case, and it has certain instructive meaning for the improvement of students’ overall quality.

mathematical modeling; teaching cases; innovative spirit

O29

A

1004-4671（2015）02-0016-04

2015-03-01

廣西教育廳科學(xué)基金項(xiàng)目：201204LX335;2014區(qū)教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目：2014JGA207。

吳慶軍，男，廣西玉林人，玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向：最優(yōu)化算法。