數(shù)學(xué)文化視角下的微積分教學(xué)舉例

何珊珊++莊需琴

摘要：微積分課程作為理工類院校最為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，有著豐富的數(shù)學(xué)背景與數(shù)學(xué)思想，無疑肩負(fù)著傳播數(shù)學(xué)文化的責(zé)任。本文分析了微積分教學(xué)中存在的一些問題，提出了有必要將數(shù)學(xué)文化“潤物細(xì)無聲”地融入到微積分教學(xué)環(huán)節(jié)之中，且從三個(gè)方面進(jìn)行了教學(xué)舉例，同時(shí)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討了把數(shù)學(xué)文化融匯于微積分教學(xué)活動(dòng)中的體會(huì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；微積分；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）52-0154-02

隨著教育的發(fā)展，新的數(shù)學(xué)教育價(jià)值觀要求人文教育價(jià)值與科學(xué)教育價(jià)值的整合，數(shù)學(xué)文化視角下的數(shù)學(xué)課堂理念的提出正是對(duì)數(shù)學(xué)教育價(jià)值觀的順應(yīng)。微積分課程作為理工類院校最為重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，有著豐富的數(shù)學(xué)背景與數(shù)學(xué)思想，無疑肩負(fù)著傳播數(shù)學(xué)文化的責(zé)任。但是由于數(shù)學(xué)文化理論研究與實(shí)踐研究之間固有的差距，微積分課程的一線教師在注重及格率、注重?cái)?shù)學(xué)工具化的數(shù)學(xué)教育面前，也只是數(shù)學(xué)史加數(shù)學(xué)教育的操作流程，同時(shí)，過分重視數(shù)學(xué)知識(shí)、外在教學(xué)目標(biāo)以及教學(xué)過程的預(yù)設(shè)性，在一定程度上造成微積分課堂教學(xué)中人文關(guān)懷的失落。

如何將數(shù)學(xué)文化“潤物細(xì)無聲”地融入到微積分教學(xué)環(huán)節(jié)之中去，一方面要不斷地挖掘若干知識(shí)點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化，另一方面還要在教學(xué)環(huán)節(jié)中有意識(shí)地達(dá)到融入要適時(shí)、適量、適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)效果，這是微積分課程教學(xué)面臨的重要課題，本文著重從以下三個(gè)方面給出具體的教學(xué)案例，同時(shí)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討了把數(shù)學(xué)文化融匯于微積分教學(xué)活動(dòng)中的體會(huì)。

一、微積分之?dāng)?shù)學(xué)史話

興趣是學(xué)習(xí)的第一原動(dòng)力?？巳R因曾指出：課本中字斟句酌的敘述，未能表現(xiàn)出數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的斗爭、挫折，以及數(shù)學(xué)家所經(jīng)歷的艱苦漫長的道路，而學(xué)生一旦認(rèn)識(shí)到這些，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強(qiáng)的追究他所攻問題的勇氣。可見對(duì)于本就有些許枯燥的微積分教學(xué)習(xí)，如果能將微積分?jǐn)?shù)學(xué)史話中的名人佳作、趣聞故事融入微積分教學(xué)過程中，可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。

舉例1.“初等數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)”，這是每一位微積分教師在序言課上老生常談的問題，但是什么是變量的數(shù)學(xué)？將“變”的概念引入數(shù)學(xué)又引起了何等深刻的變化？可以引導(dǎo)學(xué)生從歷史的發(fā)展來看一下，這些問題是如何進(jìn)入數(shù)學(xué)家視野的。當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)最主要的起源地是希臘，在希臘文明的古典時(shí)期，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系是密不可分的，關(guān)于變量和變化的數(shù)學(xué)問題已經(jīng)開始孕育了，簡單回溯一下這段歷史，有助于我們?nèi)ンw會(huì)為什么微積分會(huì)有今天的樣子，為什么我們不得不絞盡腦汁來應(yīng)付極限的ε-δ定義。

舉例2.在講到極限、積分概念時(shí)，列舉我國古代樸素微積分思想的幾個(gè)例子，如劉徽的“割圓術(shù)”與近代的極限方法是基本一致的，用這個(gè)方法證明了圓面積的重要計(jì)算公式，可以認(rèn)為它是最早的極限思想。另外，祖暅原理也就是“等積原理”，是積分思想的早期萌芽，它是由祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜?，它的提出比西方的“卡瓦列里原理”要?100多年，之所以沒有為西方所知很重要的一個(gè)原因是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)語言不夠規(guī)范，導(dǎo)致此原理沒有得到廣泛的傳播。這個(gè)原理的嚴(yán)格證明要用到微積分的知識(shí)。不失時(shí)機(jī)地向?qū)W生宣傳中國古代數(shù)學(xué)的先進(jìn)性，以此激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，同時(shí)，也讓學(xué)生感受到現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言的簡潔性和無窮魅力。

舉例3.在講到無窮小量時(shí)，給學(xué)生介紹有第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的由來，對(duì)于無窮小量到底是不是零的問題，提出它的牛頓無法給出合理的解釋，此后數(shù)百年的數(shù)學(xué)家都為之煩惱，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，經(jīng)過柯西等一批杰出數(shù)學(xué)家的辛勤工作，終于建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)，直到維爾斯特拉斯的實(shí)數(shù)理論才徹底反駁了貝克萊的責(zé)難，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。這樣，恰當(dāng)?shù)厥刮⒎e分課堂不那么枯燥，反而洋溢著一種濃郁的人文精神。

二、微積分之?dāng)?shù)學(xué)美

在教學(xué)實(shí)踐中，我們深刻意識(shí)到數(shù)學(xué)美在微積分教學(xué)中的作用，傳統(tǒng)的微積分教學(xué)注重知識(shí)的傳授，忽略了挖掘和展示微積分的魅力。事實(shí)上，一門學(xué)科的價(jià)值，除了實(shí)用性，還在于它給人們帶來的美感，通過數(shù)學(xué)美的滲透，將微積分中美的精彩片段展示在課堂上，來啟發(fā)熏陶學(xué)生，使微積分對(duì)學(xué)生具有親和力，從而喚起他們的求知欲，對(duì)學(xué)生的終生產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，將是微積分教學(xué)的巨大成功。微積分中美的例子太多了，就簡單列舉幾個(gè)，關(guān)鍵是在講授的時(shí)候與學(xué)生達(dá)到感情的共鳴和思維的啟迪。

舉例4.函數(shù)與極限是貫穿高等數(shù)學(xué)的兩個(gè)最基本的概念，函數(shù)是微分學(xué)研究的對(duì)象，而微積分的定義就是極限概念及其推論，它們之間體現(xiàn)是閉區(qū)間上函數(shù)的增量與這區(qū)間上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，它是微分理論中的重要組成部分，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的橋梁。羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，而且泰勒定理是拉格朗日中值定理向高階導(dǎo)數(shù)情況下的推廣和應(yīng)用，它是更一般的微分中值定理形式。微積分在定義和定理以及數(shù)、式、形之間，各個(gè)知識(shí)塊即相互獨(dú)立自成體系，又依一定的邏輯關(guān)系互貫穿，表現(xiàn)為高度的和諧統(tǒng)一。

舉例5.多元微分學(xué)中的格林、高斯、斯托克斯三個(gè)公式，就其公式本身也呈現(xiàn)出形式美、結(jié)構(gòu)美，更蘊(yùn)藏著高度的和諧性。格林公式建立了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系；高斯公式建立了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界上的曲面積分之間的關(guān)系；斯托克斯公式則建立了曲面∑上的曲面積分與沿著∑的邊界曲線的曲線積分之間的關(guān)系。這三個(gè)公式在向量場中都有重要而實(shí)際的應(yīng)用，體現(xiàn)了微積分的應(yīng)用美。

舉例6.在講定積分的應(yīng)用時(shí)，可以舉例如下：由雙曲線y=■在x≥1的部分繞橫軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面稱為Gabriel喇叭，利用積分方法證明這個(gè)喇叭所圍成的體積是有限的，而它的表面積卻是無限的，我們可以給學(xué)生打個(gè)直觀的比喻，用有限的涂料把這個(gè)喇叭填滿，卻不能用足夠的涂料把它的表面涂滿，這個(gè)結(jié)論完全違背了直觀，卻可以利用微積分知識(shí)令人信服的證明，從而讓學(xué)生在動(dòng)手過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇異美。endprint

舉例7.在講歐拉公式的時(shí)候，除了給學(xué)生們證明并應(yīng)用之外，可以介紹歐拉的生平，法國巴黎發(fā)明宮的數(shù)學(xué)史陳列館中就懸掛著歐拉公式eiπ+1=0，歐拉把數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)都統(tǒng)一在一個(gè)公式中，不得不說它是最美的數(shù)學(xué)公式，同時(shí)，數(shù)學(xué)課本上常見的sin和cos，tan和cot，∑等都是歐拉創(chuàng)立并推廣的。

三、微積分之?dāng)?shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心問題是對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和把握，在微積分教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)始終抓住傳授數(shù)學(xué)思想的主線，才能真正做到學(xué)以致用。數(shù)學(xué)思想本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的，通過抽象思想，在現(xiàn)實(shí)生活匯總得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外界的聯(lián)系。

舉例8.抽象性是數(shù)學(xué)的基本特征，因此在微積分的教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生抓住事物本質(zhì)的思維方法，在講授導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)，從曲線的切線問題，變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題及函數(shù)的最值問題入手，看起來沒有什么聯(lián)系，但數(shù)學(xué)家們從他們的本質(zhì)特征出發(fā)，抽象出來的一個(gè)重要概念，就歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)，既讓學(xué)生從本質(zhì)理解了導(dǎo)數(shù)的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生概括抽象事物的思維方式。

舉例9.演繹推理思想是數(shù)學(xué)的重要思想，通常在教學(xué)中會(huì)反復(fù)涉及，在將講授微積分時(shí)，通常是按照邏輯順序“實(shí)數(shù)理論—極限理論—微分—積分”來介紹的，而微積分的歷史順序則正好相反，這段數(shù)學(xué)發(fā)展歷程會(huì)帶給我們很深刻的思考，為什么歷史順序和邏輯順序恰好顛倒的？根據(jù)前面介紹的，牛頓萊布尼茨由于實(shí)踐的需要?jiǎng)?chuàng)立了微積分，然而由于牛頓對(duì)無窮小無法給出合理的解釋，引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，反映了說明無窮小量在概念和邏輯上缺乏基礎(chǔ)，正是這種嚴(yán)謹(jǐn)性的思想推動(dòng)下，才有了后來嚴(yán)格的極限理論。這樣從一個(gè)特殊的視角學(xué)生體會(huì)到演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

舉例10.模型性是體現(xiàn)如何將微積分來源于生活又應(yīng)用到實(shí)際生活中的重要思想，在講到微積分方程時(shí)，可以介紹“海王星的發(fā)現(xiàn)”這一例子，1845年法國數(shù)學(xué)家勒威利用微分方程，計(jì)算出這顆新行星的軌道，天文臺(tái)按照指定位置觀測，找到了這個(gè)從沒見過的星，便是太陽系的第八課大行星—海王星，更有切身體會(huì)的例子還有21世紀(jì)的科學(xué)熱點(diǎn)——生物數(shù)學(xué)，即用數(shù)學(xué)方法研究和解決生物學(xué)問題的邊緣學(xué)科，在2003年SARS爆發(fā)時(shí)，生物數(shù)學(xué)發(fā)揮了重要作用，科研小組對(duì)SARS在北京的流行趨勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測，及時(shí)配合了當(dāng)時(shí)的救援工作。這些例子的介紹使得微積分顯得更加的平易近人，又是威力無窮?？梢越Y(jié)合各個(gè)學(xué)校的專業(yè)特色，對(duì)學(xué)經(jīng)濟(jì)的學(xué)生多講微積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用，工科的學(xué)生多講微積分的工程應(yīng)用，這樣微積分課程培養(yǎng)的就是既懂?dāng)?shù)學(xué)又懂人文，既懂理論又懂應(yīng)用的全方位綜合性人才。

在“以生為本”、“文理交融”的大趨勢(shì)下，從數(shù)學(xué)文化的視角深刻挖掘微積分教學(xué)案例，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，不僅使學(xué)生掌握了微積分的“工具”，還懂得了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神，同時(shí)，在現(xiàn)代教育技術(shù)的幫助下，生動(dòng)形象地展現(xiàn)教學(xué)案例，還可以協(xié)調(diào)和平衡數(shù)學(xué)文化理論研究與實(shí)踐研究之間的差距，豐富了微積分課程傳統(tǒng)的“填鴨式”的教學(xué)模式，體現(xiàn)對(duì)學(xué)習(xí)者主體價(jià)值的尊重，對(duì)于大學(xué)生素質(zhì)教育的推進(jìn)，同樣有舉足輕重的現(xiàn)實(shí)意義。

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