具有布爾同余格的HMS-代數(shù)

沈嚇妹

（寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建寧德352100）

具有布爾同余格的HMS-代數(shù)

沈嚇妹

（寧德師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建寧德352100）

利用HMS-代數(shù)L的同余格的結(jié)構(gòu)特征證明了L的同余格是布爾格當(dāng)且僅當(dāng)L是布爾代數(shù)且L的每個濾子都有最小元，當(dāng)且僅當(dāng)L是布爾代數(shù)及同余格與L是偶同構(gòu)。

HMS-代數(shù)；同余格；偶同構(gòu)

1977年，Janowitz[1]證明了布爾代數(shù)B的同余格是Stone格當(dāng)且僅當(dāng)B是完備的。隨后，1983年，Goldberg[2]則刻畫了一個雙重p-代數(shù)L的同余格是一條鏈當(dāng)且僅當(dāng)L線性的。這里則研究HO-代數(shù)的一類子HMS-代數(shù)代數(shù),討論這類代數(shù)的同余格是布爾格的充要條件。

Heyting代數(shù)指代數(shù)(H;∨,∧,→)，其中(H;∨,∧)是一個格，→是H中的一個二元運算使得x≤a→b＜=＞x∧a≤b。特別地,若H是一個具有0元的格，則a→0是a的偽補，用a*表示。因此具有0元的Heyting代數(shù)也是一個p-代數(shù)。具有Heyting結(jié)構(gòu)的Ockham代數(shù)（簡稱HO-代數(shù)）指一個＜2,2,2,1,0,0＞類型的代數(shù)(L;∨,∧,→,f,0,1)，其中(L;f)是Ockham代數(shù)，(L;→)是Heyting代數(shù),且運算f和→滿足條件f(x→y)=f2(x)∧f(y)與f(x）→y=f2(x)∨f(y)。MS-代數(shù)是滿足x≤f2(x)的Ockham代數(shù),則HMS-代數(shù)是一個滿足x≤f2(x)的HO-代數(shù)。有關(guān)Ockham-代數(shù)、Heyting代數(shù)及HMS-代數(shù)的基本性質(zhì)請讀者分別參見文[3-5]。

Heyting-代數(shù)(L;→)上的一個格同余θ稱為h-同余，若（x1，y1）∈θ，（x2，y2）∈θ蘊含（x1→x2，y1→y2）∈θ。HMS-代數(shù)(L;→,f）)上的一個h-同余θ稱為ho-同余，若（x，y）∈θ?（f（x），f（y））∈θ。符號Con L表示L的同余格，ω和τ分別表示L的相等關(guān)系和泛關(guān)系。由文獻[5]定理2可知等價關(guān)系G是HMS-代數(shù)的同余關(guān)系，它由（x，y）∈G＜=＞x*=y*所給出。

格L上的一個子格F稱為L的濾子，如果a≥i∈F蘊含著a∈F。L的一個濾子F為余核濾子，若存在L的一個同余φ使得Cokerφ=F，這里Cokerφ={x∈L│x≡1（φ）}，即Cokerφ=[1]φ。用符號CKF （L）表示HMS-代數(shù)(L;→,f）的余核濾子格，格運算∧和∨分別給出如下：

在文獻[5]定理5及定理6中可知若(L;→,f）是HMS-代數(shù)，則Con L≌CKF（L）且Con L={R（F）│F∈CKF（L）}，這里（x，y）∈R（F）＜=＞（?i∈F）x∧i∧f2（i）=y∧i∧f2（i）。

1　同余格

設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，F(xiàn)為L的余核濾子，定義

定理1設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，則CKF（L）是p-格。

證明：?F∈CKF（L），先證F∧F*={1}。設(shè)x∈F∧F*，則x∈F且x∈F*，于是有x∨x，即x=1。

假設(shè)存在Q∈CKF（L）使得F∧Q={1},則Q?F*。事實上，若Q?F*，則存在x∈Q，但x?F*。從而存在i∈F使得x∨i≠1。又由x∨i∈F與x∨i∈Q推知F∧Q≠{1}，這與F∧Q={1}相矛盾。綜上得CK F（L）是p-格。

由定理1立即有推論1。

推論1設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，則同余格Con L也是p-格。

2　布爾同余格

為了刻畫具有布爾同余格的HMS-代數(shù)，先給定理2。

定理2設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，且φ∈Con L，則有G∨φ=t＜=＞φ=t。

證明：?：顯然。

?：假設(shè)G∨φ=t，則（0,1）∈G∨φ=t。于是存在xi∈（i=1,2，…，n）使得0=x0≡x1≡…≡xn=1這里（xi，xi+1）∈G或（xi，xi+1）∈φ。因此∈φ。由此可知（0,1）∈φ。故φ=t。

定理3設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，且a∈L。定義一個二元關(guān)系Ra：

（x，y）∈Ra＜=＞x∧a=y∧a

則有：（1）Ra是ho-同余；（2）Ra=Rb＜=＞a=b；（3）Ra∧Rb=Ra∨b；（4）Ra∨Rb=Ra∧b。

證明：（1）與（2）同文獻[5]的引理2及定理5。

（3）設(shè)（x，y）∈Ra∧Rb，則x∧a=y∧a與x∧b=y∧b，于是x∧（a∨b）=y∧（a∨b），即（x，y）∈Ra∨b。

因此Ra∧Rb≤Ra∨b。反之，設(shè)（x，y）∈Ra∨b，則x∧（a∨b）=y∧（a∨b）。從而x∧a=y∧a與x∧b=y∧b，即（x，y）∈Ra∧Rb，因此Ra∨b≤Ra∧Rb。故Ra∧Rb=Ra∨b。

(4)設(shè)（x，y）∈Ra∧Rb，則存在zi∈L（i=1,2，…，n）使得0=z0≡z1≡…≡zn=1。這里（zi，zi+1）∈Ra或（zi，zi+1）∈Rb，即zi∧a=zi+1∧a或zi∧b=zi+1∧b。于是得zi∧a∧b=zi+1∧a∧b。故x∧a∧b=y∧a∧b。因此（x，y）∈Ra∧b。反之，設(shè)（x，y）∈Ra∧b，則x∧a∧b=y∧a∧b。注意到（a，1）∈Ra與（b，1）∈Rb知x≡Rax∧a≡Rby∧b≡Ray，從而有（x，y）∈Ra∨Rb。故Ra∨Rb=Ra∧b。

定理4設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，則L的每個余核濾子有最小元當(dāng)且僅當(dāng)Con L={Ra│a∈L}。

證明：?：設(shè)R（F）∈Con L且μ是余核濾子F的最小元，則Rμ≤R（F）。反之，若（x，y）∈R（F），則存在i∈F使得x∧i=y∧i，從而有x∧μ=y∧μ，即（x，y）∈Rμ。因此R（F）≤Rμ。因而得到等式R（F）= Rμ。故Con L={Ra│a∈L}。

?：假設(shè)Con L={Ra│a∈L}且F是L的余核濾子。因Con L≌CKF（L），于是存在Ra∈Con L使得R （F）=Ra，則a是F的最小元。事實上，因（a，1）∈Ra=R（F），存在i∈F使得a∧i=1∧i，得a≥i，從而有a∈F?，F(xiàn)設(shè)對任意的j∈F，有（j，1）∈R（F）=Ra。于是j∧a=1∧a，即a≤i。故余核濾子F有最小元。

定理5設(shè)(L;→,f）是HMS-代數(shù)，則下列條件等價：

（1）同余格Con L是布爾格；（2）（L，*）是布爾代數(shù)且L的每個余核濾子有最小元；（3）（L，*）是布爾代數(shù)且Con L與L是偶同構(gòu)。

證明：（1）?（2）：設(shè)Con L是布爾格且R（[1]G）=G，則R（[1]G）∨R（（[1]G）*）=τ。于是由定理2推知R（（[1]G）*）=τ，從而（[1]G）*=L。由此得[1]G={1}。又由x∨x*∈[1]G知x∨x*=1。故（L，*）是布爾代數(shù)。此時，對任意的x，y∈L，x→y=x*∨y[6]。

設(shè)F是L的余核濾子，則R（F）∨R（F*）=τ。從而F∨F*=L，即0∈F∨F*。于是存在i∈F與j∈F*使得i∧j=0。因此由i∨j=1推知j=i*，即i*∈F*。現(xiàn)設(shè)對任意的x∈F，有i*∨x=1，由此得x≥i**=i，故i 是F的最小元。

（2）?（3）：假設(shè)（2）成立。只須證Con L與L是偶同構(gòu)。為此由定理4從Con L到L定義f：Ra→a由定理3即知Con L與L是偶同構(gòu)。

（3）?（1）：顯然。

[1]JANOW ITA MF.Complemented congruence on complemented lattices[J].Pacific Math,1977,73:87-90.

[2]MOSHESGOLDBERG.Distributive double p-algebraswhose congruence latticesare a chain[J].Algebra Universalis,1983,17: 208-215.

[3]BLYTH T S,VARLET JC.Ockham algebras[M].Oxford:Oxford University Press,1994:8-17.

[4]BALBESR,DW INGER PH.Distributive lattices[M].Missouri:University of Missouri Press,1974:173-178.

[5]沈嚇妹,方捷.具有Heyting結(jié)構(gòu)的Ockham代數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010,26(1):138-145.

[6]KATRINAK T.The structure of distributive double p-algebras,regularity andcongruences[J].Algebra Universalis,1974，27: 195-206.

(責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

HMS-algebras whose Congruence Lattices are Boolean

SHEN Xia-mei

(Department of Mathematics Ningde Normal University,Ningde 352100，China)

B y using the structure characteristics of the congruence lattice on a algebra L，we show that L has the Boolean congruence lattice if and only if L is Boolean and every cokernel filter of L has the smallestelement if and only if L is Boolean,and the congruence lattice and L are dually isomorphic.

HMS-algebra；congruence lattice；dual isomorphism.

O 153.5

A

1673-4343（2015）06-0011-03

10．14098／j．cn35－1288／z．2015．06．003

2015-01-27

寧德師范學(xué)院青年專項資助項目(2013Q 03)

沈嚇妹,女,福建寧德人,講師。主要研究方向:分配格有序代數(shù)。