廣義交叉準則與有偏估計下的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型

王 仁，趙長勝

(江蘇師范大學城建與環(huán)境學部，江蘇徐州221116)

一、引 言

GPS技術的不斷發(fā)展，使其在測繪領域的應用越來越廣。但是GPS測量成果建立在WGS-84坐標系下，屬于地心坐標系，而現(xiàn)有的很多測繪成果大多采用的1954北京坐標系、1980西安坐標系和地方獨立坐標系，均屬于參心坐標系。為了將GPS所測成果應用于工程應用，需進行坐標轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為相應的參心坐標系。

比較常用的坐標轉(zhuǎn)換模型有布爾莎模型、莫洛金斯基模型和武測模型等。其中，布爾莎模型比較適用于大范圍小角度的坐標轉(zhuǎn)換，對于小范圍區(qū)域，公共點之間相距比較近，所求得的平移參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)會有很強的相關性，從而導致法方程系數(shù)陣病態(tài)，導致所求平移參數(shù)值和旋轉(zhuǎn)參數(shù)值有較大誤差［1］。用坐標重心化轉(zhuǎn)換模型可以有效降低法方程系數(shù)陣的病態(tài)嚴重性，但經(jīng)過轉(zhuǎn)換后法方程系數(shù)陣依然存在病態(tài)性，而廣義交叉準則可以有效解決法方程系數(shù)陣的病態(tài)性。結(jié)合有偏估計基本原理，基于廣義交叉準則與有偏估計的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型可以明顯提高小范圍區(qū)域內(nèi)坐標轉(zhuǎn)換的精度，也證明了此模型適用于小范圍區(qū)域的坐標轉(zhuǎn)換。

二、布爾莎模型

坐標轉(zhuǎn)換經(jīng)常采用布爾莎模型，該模型共有7個參數(shù)，分別是 3個平移參數(shù)(ΔX，ΔY，ΔZ)、3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)(εX，εY，εZ)和1個尺度比參數(shù) k。其坐標轉(zhuǎn)換方程式如下

式中，(XDi，YDi，ZDi)和(XGi，YGi，ZGi)分別為空間直角坐標系ODiXDiYDiZDi和OGiXGiYGiZGi中的空間直角坐標。式(1)寫成誤差方程式為

寫成矩陣形式為

由于坐標轉(zhuǎn)換中各觀測值相互獨立，故可設權(quán)陣P=I。根據(jù)最小二乘原理可以得到

其單位權(quán)中誤差為

式中，n為公共點的個數(shù)。

三、基于廣義交叉準則與有偏估計的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型

1.坐標重心化轉(zhuǎn)換模型

使用布爾莎模型求解小范圍區(qū)域坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)時，誤差方程常數(shù)項矩陣整體很小，而誤差方程系數(shù)項矩陣整體很大，從而導致法方程系數(shù)陣的病態(tài)。因此，可以找到一個平衡點，用公共點的坐標減去平衡點的坐標，以減小其過大的坐標數(shù)據(jù)，即可以在坐標轉(zhuǎn)換之前，先對兩套公共點的坐標進行重心化，得到其對應的重心坐標，以降低法方程的病態(tài)性。設(Xi重，Yi重，Zi重)是坐標系 i(i=Di，Gi)公共點的重心坐標，若公共點的個數(shù)為n，則

利用所求得的重心坐標求出各個公共點的重心坐標(XZij，YZij，ZZij)

通過以上的坐標重心化轉(zhuǎn)換，得到兩組公共點的新坐標。由這兩組新坐標組成誤差方程式(2)，根據(jù)本算例的數(shù)據(jù)，法方程的條件數(shù)明顯下降，根據(jù)文獻［2］的理論可知法方程依然存在病態(tài)性。

2.基于廣義交叉準則的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型

如果可以找到一個正則參數(shù)α對法方程系數(shù)陣進行改正，則可有效解決法方程的病態(tài)問題。根據(jù)文獻［2］，廣義交叉準則(GCV)的函數(shù)為

式中，I為與 B(α)同階的單位矩陣;B(α)=B(BTPB+αI)－1BT;l為常數(shù)項矩陣;tr()表示求矩陣的跡。這樣可取函數(shù)GCV(α)為最小值時對應的α作為正則參數(shù)。而此時法方程變?yōu)?/p>

則轉(zhuǎn)化為用有偏估計來求解轉(zhuǎn)換參數(shù)。

3.基于廣義交叉準則與有偏估計的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型

(1)嶺估計

對于高斯-馬爾可夫模型，嶺估計由 A.E.Hoerl和 R.W.Kennard于1970年定義為

式中，α≥0為常數(shù)，稱為嶺常數(shù)，亦即上面所求正則參數(shù);I為與BTPB同階的單位矩陣。給定不同的α值，由式(10)可以求出不同的估值。很明顯，當α=0時，嶺估計即為最小二乘估計，因此，最小二乘估計是嶺估計的一個特例，嶺估計是最小二乘估計的延伸。對于本文中的B矩陣為病態(tài)矩陣，BTPB是奇異的，無法對其正常求解，通過廣義交叉準則總能找到一個合適的α值，使BTPB+αI的奇異程度有所降低，便于下一步的求解。

(2)譜修正迭代法

根據(jù)式(3)，其法方程可寫成

式中，I為與BTPB同階的單位矩陣。

若令

則式(13)又可以寫為

四、精度評定

坐標轉(zhuǎn)換的精度可以從轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度和轉(zhuǎn)換模型的精度分別進行考慮，可以根據(jù)式(5)求出轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度，即單位權(quán)中誤差，轉(zhuǎn)換模型的精度包括模型的內(nèi)符合精度和模型的外符合精度。

設有n個公共點，m個檢核點。模型內(nèi)符合精度是先根據(jù)用公共點求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)計算公共點在相應坐標系的坐標與在該坐標系下原始坐標間的殘差V，再通過式(16)計算得到

模型外符合精度是根據(jù)求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)計算檢核點的坐標與原測坐標間的殘差V'通過式(17)計算得到

五、算例與分析

10個分別在WGS-84坐標系下和1980西安坐標系下的坐標見表1。取其中的7個點作為求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的轉(zhuǎn)換公共點，其點號分別為 1、2、3、5、7、8、9，其余 3個點(即 4、6、10)作為檢核點，且這 3個檢核點在由7個公共點所建立的范圍之內(nèi)。

表1 對應點坐標 m

表2列出了兩種有偏估計方法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的單位權(quán)中誤差、模型內(nèi)符合精度和模型外符合精度。從表中的數(shù)據(jù)可以看出，轉(zhuǎn)換模型的精度都相當好，與文獻［1］的精度相當。

表2 不同方法及其精度 mm

表3列出了3個檢核點的坐標差值，該坐標差值由檢核點轉(zhuǎn)換后坐標與原測坐標相減求得。從表中的數(shù)據(jù)可以看出，與文獻［1］的精度相當。

表3 檢核點坐標差值 mm

六、結(jié)束語

本文研究了一種法方程病態(tài)的小范圍區(qū)域坐標轉(zhuǎn)換模型——基于廣義交叉準則與有偏估計的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型。試驗結(jié)果表明:

1)坐標重心化可以降低法方程的病態(tài)性。

2)廣義交叉準則可以有效解決法方程的病態(tài)性。

3)根據(jù)有偏估計的基本原理可以有效提高坐標轉(zhuǎn)換的精度。

4)基于廣義交叉準則與有偏估計的坐標重心化轉(zhuǎn)換的布爾莎模型可以進行小范圍區(qū)域的坐標轉(zhuǎn)換。

［1］董杰，岳建平.基于抗差估計的坐標重心化轉(zhuǎn)換模型［J］.測繪通報，2012(7):39-42.

［2］盧秀山，馮遵德，劉紀敏.病態(tài)系統(tǒng)分析理論及其在測量中的應用［M］.北京:測繪出版社，2007:12-13，71-72.

［3］武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎［M］.武漢:武漢大學出版社，2009:157-158.

［4］徐紹銓，張華海，楊志強，等.GPS測量原理及應用［M］.武漢:武漢大學出版社，2008:26-27.

［5］趙長勝.測量數(shù)據(jù)處理理論與方法［M］.北京:測繪出版社，2012:169-173.