追溯高中數(shù)學(xué)美的源泉 助力高中數(shù)學(xué)教學(xué)

張健

摘要：高中學(xué)生還不是發(fā)明家，但不一定未來不是。從學(xué)生到發(fā)明家有個(gè)過程，在高中階段對(duì)學(xué)生適時(shí)地進(jìn)行創(chuàng)造美的意識(shí)培養(yǎng)，應(yīng)是這個(gè)過程中不可缺少的一環(huán)。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源于美，數(shù)學(xué)的發(fā)展趨于美，因此培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美進(jìn)行鑒賞、發(fā)現(xiàn)的能力以及創(chuàng)造美的意識(shí)成了我們從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的人的重要任務(wù)，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中要時(shí)時(shí)處處、不懈努力地為學(xué)生展示數(shù)學(xué)中的美，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，最終形成創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的意識(shí)，只有這樣才能更好地完成素質(zhì)教育的任務(wù)。

關(guān)鍵詞：美的發(fā)現(xiàn)；美的培養(yǎng)；美的創(chuàng)造

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）30-0230-02

凡接觸過數(shù)學(xué)的人，都有感受到美的經(jīng)歷。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，提高審美情趣，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要組成部分。數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)本身的某種客觀品性（如簡(jiǎn)單性、對(duì)稱性、相似性等）被人感知而產(chǎn)生認(rèn)可的心理體驗(yàn)。古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯說：“哪里有數(shù)，哪里就有美?！钡聡鴶?shù)學(xué)家彭加勒說：“數(shù)學(xué)家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美?！痹诟咧袛?shù)學(xué)中處處展現(xiàn)著數(shù)學(xué)的美，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中正確把握數(shù)學(xué)美，引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)美、發(fā)現(xiàn)美、欣賞美、創(chuàng)造美，找出發(fā)揮數(shù)學(xué)美的功能的途徑，將會(huì)有效地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。追溯高中數(shù)學(xué)美的源泉，助力高中數(shù)學(xué)教學(xué)是每一個(gè)數(shù)學(xué)教師應(yīng)盡的責(zé)任，更是素質(zhì)教育的必然要求。

一、把努力發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教材中美的諸多品性作為我們課前準(zhǔn)備的出發(fā)點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源于美。我們都知道人類知識(shí)的產(chǎn)生是人類心理活動(dòng)的結(jié)果，而人的心理活動(dòng)是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的能動(dòng)反映。人的大腦天天都在接受大量的外界刺激，但真正能夠留下來，經(jīng)得住我們進(jìn)行分析、綜合并上升為理論知識(shí)的刺激卻不多。那么到底哪些刺激被保留下來了呢？我認(rèn)為應(yīng)該是那些對(duì)人腦作用之后給人以美的感受的刺激。而這些富有美感的刺激能夠成為形成知識(shí)的一分子，還要經(jīng)得起人類實(shí)踐的檢驗(yàn)以確定其是否有用之后，才最終流傳下來，因此知識(shí)是美的。那么作為人類文化知識(shí)重要組成部分的數(shù)學(xué)，也應(yīng)該而且當(dāng)然是富有美感的。

2.數(shù)學(xué)本身的發(fā)展完善趨于美。數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的組建體現(xiàn)著美感。人類最早認(rèn)識(shí)的數(shù)是自然數(shù)、正數(shù)、零，以后才有了負(fù)數(shù)，這就是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)。復(fù)數(shù)的產(chǎn)生出現(xiàn)于求形如x2=-1的方程的根的問題。我們知道該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，而要讓它有解，必然引入使它的平方等于-1的新數(shù)——i.復(fù)數(shù)產(chǎn)生的關(guān)鍵一點(diǎn)是對(duì)方程x2=-1“有解”與“無解”的認(rèn)識(shí)，這又體現(xiàn)出對(duì)稱美的作用。進(jìn)一步看，復(fù)數(shù)的研究?jī)?nèi)容與實(shí)數(shù)的研究?jī)?nèi)容的相似，又體現(xiàn)出了它們極端的統(tǒng)一性，給人以和諧美的感受?？梢姅?shù)學(xué)知識(shí)隨著人類對(duì)美的追求在不斷完善和發(fā)展，而同時(shí)與之伴隨而來的副產(chǎn)品——數(shù)學(xué)思想方法又何嘗不具有美的因素呢？分解與組合的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、割與補(bǔ)的思想、特殊化與整體性思想，甚至靜與動(dòng)的思想等等。

3.發(fā)現(xiàn)教材美的諸多品性能夠達(dá)到課前準(zhǔn)備的目的。由以上分析可以發(fā)現(xiàn)我們上課所用的課本應(yīng)是前人的思維在感受美的條件下的產(chǎn)物。它本身并不是美，所以教材中所內(nèi)含的美的品性需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。發(fā)現(xiàn)它的美的因素，就等于找到了它之所以現(xiàn)在還存在于課本上的原因，就等于清楚地看到了前人為之用盡心力進(jìn)行思考的理由，當(dāng)然就能更深地把握教學(xué)大綱中所要求我們達(dá)到的教學(xué)目的，所要仔細(xì)分析的重點(diǎn)與難點(diǎn)問題，因?yàn)檫@正是前人在美的感召下已經(jīng)達(dá)到的目的，已經(jīng)排解了的重點(diǎn)和難點(diǎn)問題。例如看過高一代數(shù)第一章函數(shù)一節(jié)的人，無不為函數(shù)符號(hào)“y=f（x）”的簡(jiǎn)單之美而感嘆不已，它已簡(jiǎn)單到不能再簡(jiǎn)的地步了，甚至可以說它就是函數(shù)定義最美的“速寫”：不論變量x在某個(gè)范圍（定義域）內(nèi)如何變化，在f（對(duì)應(yīng)法則）的“加工制作”下，與另一個(gè)范圍（值域）內(nèi)的變量y產(chǎn)生了聯(lián)系。這個(gè)符號(hào)正是體現(xiàn)出了函數(shù)的三個(gè)組成部分之間的那種依存關(guān)系，這也是函數(shù)這節(jié)課要講的重點(diǎn)問題。另一方面，要真正體會(huì)它的簡(jiǎn)單之美，還在于“f”的萬能性。它能代表所有的函數(shù)，不論它是有解析式的，還是沒有解析式的，也不論是連續(xù)的，還是分段的，等等，這就要求上課時(shí)要舉出形形色色的例子來反映這一點(diǎn)，而要列舉的函數(shù)不正是課本上的例題嗎？這是因?yàn)榍叭苏强偨Y(jié)了上述形形色色的函數(shù)實(shí)例，發(fā)現(xiàn)了它們本質(zhì)上的相似之處，或者已體驗(yàn)了它們的相似美之后，才抽象出了那個(gè)如此簡(jiǎn)單的函數(shù)符號(hào)！

二、把對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的能力培養(yǎng)作為課堂教學(xué)的主要任務(wù)

多數(shù)學(xué)生普遍感到數(shù)學(xué)太抽象，不容易理解，解題總是模仿老師不行，不模仿也不行，總感到對(duì)它花去了許多不見成效的時(shí)間而不值得。與之對(duì)應(yīng)的是多數(shù)教師也認(rèn)為教數(shù)學(xué)太疲憊，太費(fèi)腦筋，講多了時(shí)間不允許，講少了學(xué)生不會(huì)，那只能是增加授課時(shí)間，搶占學(xué)生的自習(xí)時(shí)間。如何改變這種教與學(xué)的被動(dòng)局面，如何走出這顯而易見的惡性循環(huán)？我認(rèn)為關(guān)鍵是讓學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)已經(jīng)具有的美的因素，喚起學(xué)生為獲得美感去主動(dòng)學(xué)習(xí)的激情。即在四十五分鐘內(nèi)，在老師的指導(dǎo)參與下，濃縮走過前人為獲得美的知識(shí)所走過的艱難而有意義的歷程。學(xué)生為何會(huì)出現(xiàn)上述左右為難的尷尬局面呢？關(guān)鍵是由于我們給予學(xué)生的往往是前人奮斗的結(jié)果——知識(shí)，它本身并不一定就是美，激勵(lì)前人奮進(jìn)的美的因素以及奮進(jìn)過程中所享受到的美感，我們沒能讓學(xué)生親身經(jīng)歷，而灌輸給他們的都是些枯燥而抽象難懂的符號(hào)、公式及原理等，學(xué)生哪來的學(xué)習(xí)熱情？

例如在立體幾何第一章“三垂線定理”一節(jié)的講授中，我采取了以下安排：

第一，在引入這節(jié)課要繼續(xù)研究線線垂直的判定的必要性之后，先出示了以下兩個(gè)練習(xí)題，讓學(xué)生按照以前證明線線垂直的方法進(jìn)行證明：

已知點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)O是點(diǎn)P在平面ABC上的射影.

練習(xí)1：如果點(diǎn)O為△ABC的垂心，試證PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；

練習(xí)2：如果PA⊥BC，PB⊥AC，試證O為△ABC的垂心.

（這一步的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)前面證明線線垂直都要不厭其煩地證明線面垂直的那個(gè)過程，而這個(gè)過程也正是前人想克服該問題的弊端推出三垂線定理之前所經(jīng)歷過的）

第二，與學(xué)生一起分析并指明兩個(gè)練習(xí)所證明的問題本質(zhì)：練習(xí)1是“若斜線PA的射影AO與其在同一平面內(nèi)的直線BC垂直，那么斜線PA也與BC垂直”；練習(xí)2是“若斜線PA垂直于平面內(nèi)的直線BC，那么斜線PA的射影AO也與直線BC垂直”。然后把這兩個(gè)問題加以抽象得到兩個(gè)命題（即三垂線定理及其逆定理的敘述），接著提出“如何證明這兩個(gè)命題”的問題，并在黑板上作出課本中的插圖，學(xué)生一定會(huì)發(fā)現(xiàn)答案已經(jīng)顯示在兩個(gè)練習(xí)題的證明之中了。

（這一步重演了前人經(jīng)歷困惑發(fā)現(xiàn)了類似問題的驚人的相似之處，感受到它們相似美后最終導(dǎo)致定理的產(chǎn)生過程）

三、把對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的意識(shí)培養(yǎng)作為完成素質(zhì)教育任務(wù)的重要橋梁

高中學(xué)生還不是發(fā)明家，但不一定未來不是。從學(xué)生到發(fā)明家有個(gè)過程，在高中階段對(duì)學(xué)生適時(shí)地進(jìn)行創(chuàng)造美的意識(shí)培養(yǎng)，應(yīng)是這個(gè)過程中不可缺少的一環(huán)。由前所述，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源于美，數(shù)學(xué)的發(fā)展趨于美，因此培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美進(jìn)行鑒賞、發(fā)現(xiàn)的能力以及創(chuàng)造美的意識(shí)成了我們從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的人的重要任務(wù)，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中要時(shí)時(shí)處處、不懈努力地為學(xué)生展示數(shù)學(xué)中的美，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美，最終形成創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的意識(shí)，只有這樣才能更好地完成素質(zhì)教育的任務(wù)。

給學(xué)生所提供的美的素材不是無處可尋的，問題是我們能否發(fā)現(xiàn)問題中所蘊(yùn)含的美的品性，而不一定就是極富美感的圖形或式子。比如上面所述的“三垂線定理”一節(jié)，在課堂的末尾，進(jìn)行課堂小結(jié)和作用布置以后，我就提出了下面的問題讓學(xué)生課下思考：“前面我們?cè)谥v垂線段與斜線段長(zhǎng)定理時(shí)，已發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在平面ABC的射影O為△ABC的外心時(shí)應(yīng)滿足的條件，今天我們又知道了點(diǎn)O為△ABC的垂心時(shí)所滿足的一個(gè)條件，那么點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心時(shí)又滿足什么條件？如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，點(diǎn)O為△ABC的什么心？這些問題都涉及到點(diǎn)P在平面ABC的射影與△ABC的關(guān)系，課下我們應(yīng)該仔細(xì)研究研究?！蹦憧矗瑔栴}的提出顯然與這節(jié)課很有聯(lián)系，學(xué)生不會(huì)覺得突然，而且問題本身又帶有明顯的統(tǒng)一性，暗示著如果認(rèn)真研究，將會(huì)得到和諧美的心理體驗(yàn)，這正是創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的前奏。及時(shí)地鼓勵(lì)與指導(dǎo)學(xué)生去創(chuàng)造數(shù)學(xué)中含有美質(zhì)的東西，應(yīng)該是我們?cè)谒刭|(zhì)教育中起主導(dǎo)作用的一種體現(xiàn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中極富美感的問題，往往局限于表面現(xiàn)象美的陳述，如果老師能夠及時(shí)地幫助他們對(duì)問題本身所含美的本質(zhì)進(jìn)行分析，學(xué)生才能獲得深層次的數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)。

有人提出把美的教育作為現(xiàn)代教育改革的突破口，我同意這種觀點(diǎn)，因?yàn)樽プ×诉@一點(diǎn)，我們的課前準(zhǔn)備將踏踏實(shí)實(shí)地落到了實(shí)處；對(duì)學(xué)生實(shí)施數(shù)學(xué)美育的培養(yǎng)是一個(gè)復(fù)雜的漸進(jìn)過程，不能一蹴而就，要堅(jiān)持經(jīng)常和長(zhǎng)期的滲透。它需要廣大數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的實(shí)踐中不斷地探索研究，數(shù)學(xué)的美豐富多彩，廣博精深，滲透的途徑和渠道頗多，有待我們進(jìn)一步地探索。數(shù)學(xué)的美就在我們的身邊，只要我們認(rèn)真地去品味，其中的價(jià)值將是不可估量的！

參考文獻(xiàn)：

[1]云杉.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)滲透[Z].

[2]吳振奎，吳旻.數(shù)學(xué)中的美[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.