加權(quán)Orlicz－Bergman 類上Berezin 變換

孫志玲

( 內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼028000)

其中:

LP空間是泛函分析中廣泛研究的一類典型空間，Orlicz 空間是LP空間P＞1 時(shí)的推廣．將LP空間中的函數(shù)加上解析性，便是人們普遍關(guān)注的Bergman 空間和Hardy 空間，如果Orlicz 空間結(jié)構(gòu)與函數(shù)解析性相結(jié)合將得到一些新型解析函數(shù)空間，這便豐富了Orlicz 空間和解析函數(shù)空間的理論．例如文獻(xiàn)［1－4］討論了這方面的一些相應(yīng)內(nèi)容．文獻(xiàn)［5］在Bergman 空間中研究了在Borel 測(cè)度下Berezin 變換的有界性以及在單位圓盤的邊界上連續(xù)為零的性質(zhì)．本文在加權(quán)Orlicz－Bergman 類上研究了D 上的有限正Borel 測(cè)度誘導(dǎo)的Berezin變換的相應(yīng)問題，并且此結(jié)論是文獻(xiàn)［5］中當(dāng)α=0，P＞1 時(shí)結(jié)果的推廣．

定義1［6］一個(gè)實(shí)值函數(shù)φ:［0，+∞)→［0，+∞)稱為φ－，如果它是非減的連續(xù)函數(shù)且在0 點(diǎn)等于0，當(dāng)u→∞時(shí)φ(u)→∞．

令C代表復(fù)平面，集合稱為開單位圓盤為D的標(biāo)準(zhǔn)化面積測(cè)度．如果φ 是凸，則稱∫Dφ(u(z))dAα(z)是φ 的模．加權(quán)Orlicz－Bergman 類是指與開單位圓盤D上的解析函數(shù)全體H(D)的交集，記為

D上的偽雙曲度量是指而Bergman 度量又稱雙曲度量是指β(z，w)=對(duì)z∈D和r＞0，雙曲圓盤是以為中心，以為半徑的歐幾里得圓盤，其中s為雙曲正切s=tanh(r)．

定義2［7］在Bergman 度量下D中一個(gè)序列{an}稱為一個(gè)r－格，如果并且對(duì)i≠j，

對(duì)D上的有限正Borel 測(cè)度μ，考慮Berezin 變換如下:

在本文中將要刻畫D上正Borel 測(cè)度μ 的特征，使得Bμ(z)有界;以及刻畫滿足當(dāng)|z|→1 時(shí)，Bμ(z)→0的測(cè)度μ 的特征．

主要結(jié)果如下:

引理1［4］設(shè)φ 是凸φ－函數(shù)，α 為實(shí)數(shù)，并且r＞0，p＞0，則存在一個(gè)正的常數(shù)C，使得對(duì)所有f∈H(D)和所有z∈D，有:

定理1 若μ 為D上的有限正Borel 測(cè)度，φ 為嚴(yán)格單調(diào)凸φ－函數(shù)，α＞－1，0＜r＜+∞，則下列命題等價(jià):

(1)函數(shù)Bμ 在D上是有界的;

證明 首先證明(1)?(2)，假設(shè)Bμ≤C0，由文獻(xiàn)［7］知

接著證明命題(2)?命題(3)，假設(shè)命題(2)成立，則存在一個(gè)正常數(shù)C1，對(duì)任意z∈D，使得:

取定Bergman 度量中的一個(gè)r－格{an}，并且有:

在引理1 中令p=1，則存在一個(gè)正的常數(shù)C，使得對(duì)所有n=1，2，…，有:

由文獻(xiàn)［7］中的引理4．7，D中每個(gè)點(diǎn)至多屬于集合D(an，2r)中的有限個(gè)，這里用N表示，則有:

最后證明(3)?(1)，假設(shè)存在正常數(shù)C使得對(duì)任意f∈Lφa(dAα)都有:

令w∈D，取函數(shù):

這樣獲得Bμ≤C．此定理得證．

定理2 若μ 為D上的有限正Borel 測(cè)度，φ 為嚴(yán)格單調(diào)凸φ－函數(shù)，α＞－1，0＜r＜+∞，C0(D)表示在D－上連續(xù)，在D 的邊界上為零的函數(shù)，則下列命題等價(jià):

(1)函數(shù)Bμ 屬于C0(D);

證明 (1)?(2)，由定理1 的證明過程知，存在常數(shù)C1和C2使得:

故(1)成立可以推出(2)．

即任給ε＞0，存在正整數(shù)N0，使得

由{fk}當(dāng)k→∞在中弱收斂到零的性質(zhì)，可以推出存在常數(shù)M，當(dāng)k≥1 時(shí)，使得

根據(jù)引理1 有:

下面來驗(yàn)證這個(gè)和式中的兩部分，當(dāng)k→∞時(shí)，它們的極限均為零．首先看第二部分，對(duì)所有k≥1 都有:

再看第二部分，因?yàn)閧fk} 是Lφa(dAα)中在D的緊子集上一致收斂到零的函數(shù)列，

這樣有命題(3)成立．

其中:

因?yàn)楫?dāng)|z|→1－，在中fz→0(弱收斂)，這樣到Lφ(D，dμ)中的這個(gè)嵌入映射的緊性表明當(dāng)|z|→1－時(shí)，Bμ→0．此定理證畢．

［1］ 路群，曹廣福．加權(quán)Orlicz－Bergman 空間及其上的復(fù)合算子［J］．應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)，2005，7(4):366－369．

［2］ 許安見，王曉峰．Orlicz－Bergman 空間及其復(fù)合算子［J］．四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，40(1):24－28．

［3］ 路群，曹廣福．Orlicz 空間上的乘法算子［J］．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2005，26A(1):124－128．

［4］ 孫志玲，孫燕．加權(quán)Orlicz—Bergman 類上Carleson 測(cè)度［J］．湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，32(2):140－143．

［5］ HaaKan Hedenmalm，Boris Korenblum，Kehe Zhu．Theory of Bergman Spaces［M］．New York:Springer－Verlag，2000:28－42．

［6］ 吳從炘，王廷輔．奧爾里奇空間及其應(yīng)用［M］．哈爾濱:黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1983:44－87．

［7］ Zhu Kehe，Operator Theory in Function Spaces［M］．American Mathematical Society，2007:163－173．