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    動態(tài)規(guī)劃的一種矩陣求解方法及MATLAB實現(xiàn)

    2015-12-08 07:06:13李偉鵬
    教育教學論壇 2015年10期
    關鍵詞:動態(tài)規(guī)劃矩陣

    李偉鵬

    摘要:提出了動態(tài)規(guī)劃問題的一種矩陣求解方法,同時給出了基于MATLAB軟件的函數(shù)文件程序.

    關鍵詞:動態(tài)規(guī)劃;矩陣;MATLAB

    中圖分類號:G642.0 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2015)10-0283-02

    動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)化問題的一種有效方法,是現(xiàn)代企業(yè)管理中的重要決策辦法,利用該方法成功地解決了生產管理、資源分配等方面的許多實際問題.文獻[1-2]給出了動態(tài)規(guī)劃的基本思路和求解方法,文獻[3-4]討論了動態(tài)規(guī)劃在路經(jīng)規(guī)劃中的應用及MATLAB實現(xiàn).本文將給出動態(tài)規(guī)劃問題的矩陣求解方法及MATLAB實現(xiàn).

    一、動態(tài)規(guī)劃的基本思想及求解方法

    動態(tài)規(guī)劃的基本思想是:(1)將多階段決策過程劃分階段,恰當?shù)剡x取狀態(tài)變量,決策變量以定義最優(yōu)指標函數(shù),把問題化成一族同類型的子問題,然后逐個求解.(2)求解時從邊界條件開始,逆(或順)過程行進方向,逐段遞推尋優(yōu).在每一個子問題求解時,都要使用它前面已求出的子問題的最優(yōu)結果,最后一個子問題的最優(yōu)解,就是整個問題的最優(yōu)解.(3)動態(tài)規(guī)劃方法是既把當前一段與未來各段分開,又把當前效益和未來效益結合起來考慮的一種最優(yōu)化方法.

    動態(tài)規(guī)劃的基本方程是遞推逐段求解的根據(jù),一般的動態(tài)規(guī)劃基本方程為:

    fk(sk)=vk(sk,uk)+fk+1(sk+1) k=n,n-1,L,1fn+1(Sn+1)=0

    式中opt可根據(jù)題意取min或max,vk(sk,uk)為狀態(tài)sk,決策uk是對應的第k階段的指標函數(shù)值,Dk(sk)為第k階段狀態(tài)sk時的允許決策集合.

    二、動態(tài)規(guī)劃問題的矩陣求解方法

    1.基本概念(逆序解法).

    階段:1,2,…k,(n將問題化成一族同類型的子問題的總個數(shù));

    狀態(tài)變量向量S∶S=(s1,s2,L,sm),si為所有可能的狀態(tài)變量的取值,si≠sj(i≠j),s1初始邊界狀態(tài);

    決策變量向量X∶X=(x1,x2,L,xn),uj為所有可能的狀態(tài)變量的取值,xi≠xj(i≠j),

    Dk(sk)為第k階段狀態(tài)sk時的允許決策集合;

    狀態(tài)轉移方程sk+1=tk(sk,xk):第k階段狀態(tài)為sk,決策為xk時第k+1階段的狀態(tài);

    階段效應矩陣Vk=v

    例:設某機械制造廠生產某種產品,今年1~4季度市場對該產品的需求量dk分別為2,3,2,4臺;而該廠每得季度生產能力bk均為6臺,每季度生產這種產品的固定成本為3萬元(不生產時,k=0),每臺產品的追加成本為(消耗費用)1萬元.本季度的產品如銷售不出,則需運到倉庫存儲,每季度每臺的庫存費用為0.5萬元,每季度倉庫能夠存儲這種產品的最大數(shù)量ck為3臺.試問該廠因如何安排生產,在保證滿足市場需求的前提下,使生產和存儲的總費用最小.并假定倉庫第一季度初和第三季度末的庫存量都必須為零.

    運行后的結果:2 5 0 4.(與2.2的結果一致)

    四、結語

    動態(tài)規(guī)劃問題的矩陣求解方法,可以計算任意階段任一狀態(tài)的最優(yōu)目標函數(shù)值以及最優(yōu)決策,可以解決數(shù)據(jù)量較大的動態(tài)規(guī)劃問題.動態(tài)規(guī)劃問題的矩陣求解方法為Matlab軟件的編程提供了思路,從而使計算更為方便.

    參考文獻:

    [1]錢頌迪.運籌學[M].第3版.北京:清華大學出版社,2005:191-203.

    [2]胡運權.運籌學教程[M].第3版.北京:清華大學出版社,2007:186-197.

    [3]熊德國,胡勇文.用Dijkstra算法求解最短路的矩陣方法[J].河南理工大學學報:自然科學版,2011,(5):608-612.

    [4]薛定宇,陳陽泉.高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解[M].北京:清華大學出版社,2008:205-209.

    [5]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設計與應用[M].第2版.北京高等教育出版社,2006:71-77.

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