傾斜荷載下單排剛性樁復(fù)合地基極限承載力

鄭剛，龔立森，周海祚，楊新煜

（濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（天津大學(xué)），天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072）

傾斜荷載下單排剛性樁復(fù)合地基極限承載力

鄭剛，龔立森，周海祚，楊新煜

（濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（天津大學(xué)），天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津300072）

剛性樁復(fù)合地基由于樁體發(fā)生破壞而達(dá)到地基極限承載力的問題缺乏研究。首先采用有限差分法確定傾斜荷載作用下條形基礎(chǔ)剛性樁復(fù)合地基破壞面形式，然后通過考慮樁體發(fā)生彎曲破壞時(shí)對地基承載力的貢獻(xiàn)，基于Tresca屈服準(zhǔn)則和非對稱破壞模式，采用極限分析上限法推導(dǎo)出嚴(yán)格上限解的極限承載力系數(shù)，并應(yīng)用蒙特卡洛隨機(jī)優(yōu)化方法給出最優(yōu)解。分析表明，當(dāng)剛性樁復(fù)合地基樁體發(fā)生彎曲破壞時(shí)，破壞面隨荷載傾斜率和樁間距增加而變淺，隨樁徑和樁體強(qiáng)度的增加而變深，從而承載力系數(shù)隨樁體強(qiáng)度和樁徑的增大而增大，隨樁間距以及荷載傾斜率的增大而減小。在荷載傾斜率確定情況下，給出樁體強(qiáng)度、樁徑、樁間距的建議值。

剛性樁；復(fù)合地基；傾斜荷載；極限分析；破壞模式

0 引言

地基極限承載力是巖土工程中很重要的一個(gè)問題。在豎向荷載[1-2]和地震荷載作用下[3]天然地基的極限承載力得到了較為全面的研究。天然地基極限承載力通常是按照Terzaghi[1]建議的采用考慮各個(gè)參數(shù)（土體黏聚力c，土體重度γ，超載q）貢獻(xiàn)的承載力系數(shù)線性疊加的方法：

式中：Nc、Nq、Nγ分別表示黏聚力，超載和土重相應(yīng)的承載力系數(shù)。

復(fù)合地基中由于豎向加固體的存在，其破壞模式有別于天然地基，須考慮加固體對承載力的貢獻(xiàn)。通常復(fù)合地基在豎向荷載作用下，單根樁

破壞模式可以分為3種：鼓脹破壞（Brauns[4]）、剪切破壞（Madhav等[5]）、刺入破壞（Aboshi等[6]）。

Brauns[4]考慮豎向荷載作用下散體樁發(fā)生單樁鼓脹破壞，根據(jù)極限平衡推導(dǎo)了承載力公式；Madhav等[5]假設(shè)散體單樁剪切破壞，基于極限分析研究了不同參數(shù)對承載力的影響。剛性樁在豎向荷載作用下易發(fā)生刺入破壞，Aboshi等[6]考慮其承載力為樁端阻力和側(cè)摩阻力之和；傾斜荷載下，Broms[7]得出剛性樁易發(fā)生彎曲破壞。

鑒于剛性樁復(fù)合地基破壞機(jī)理和極限承載力問題復(fù)雜，以及路堤下復(fù)合地基中剛性樁樁體彎曲破壞的模式已得到較深入研究（鄭剛[8]），本文研究傾斜荷載作用下剛性條形基礎(chǔ)單排剛性樁發(fā)生彎曲破壞條件下復(fù)合地基極限承載力問題，采用Tresca屈服準(zhǔn)則和非對稱破壞模式，推導(dǎo)出嚴(yán)格上限解的極限承載力系數(shù)，用數(shù)學(xué)優(yōu)化方法給出最優(yōu)解，討論承載力系數(shù)與荷載傾斜程度、樁徑、樁間距、樁體強(qiáng)度的關(guān)系，并給出相應(yīng)的建議值。

1 破壞模式的確定

Soubra等[3]對傾斜荷載作用下天然地基承載力分析假定破壞面為基于三角形和對數(shù)螺旋線相結(jié)合的非對稱破壞模式（圖1所示），然而該模式對于剛性樁復(fù)合地基的適用性有待驗(yàn)證。通過有限差分法對天然地基極限承載力破壞面進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而得到剛性樁復(fù)合地基破壞面的形式。

圖1 Soubra破壞模式Fig.1 Failure mechanism for bearing Soubra

1.1 計(jì)算模型

建立單排剛性樁復(fù)合地基有限差分模型，為簡化研究，本文視樁體和土體為理想彈塑性體，服從Tresca屈服準(zhǔn)則。模型側(cè)向邊界限制其水平方向的位移，底邊限制豎向及水平向的位移。

計(jì)算模型中飽和黏土的不排水抗剪強(qiáng)度cu= 15 kPa，泊松比ν=0.45。樁體的強(qiáng)度cpile=750 kPa（即cpile=50 cu），泊松比ν=0.3。計(jì)算模型剖面和截面如圖2所示。

計(jì)算中采用控制剛性基礎(chǔ)豎直和水平位移的方式進(jìn)行加載，通過試算，計(jì)算中每一步增量步長所施加的變形量為5×10-6m/時(shí)步。

1.2 破壞面形式

通過計(jì)算分別得到了相同土體參數(shù)和加載情況下無樁和有樁兩種情況的地基極限承載力的破壞面，如圖3所示。

在無樁（a）、（b）情況下破壞面與Soubra等[3]假設(shè)的破壞面相一致，在有樁（c）、（d）情況下破壞面與無樁相比，破壞面基本滿足三角形和對數(shù)螺旋線組合形狀，只是破壞面由于樁體的存在相對變深，并且樁體發(fā)生彎曲破壞的位置基本與破壞面位置相吻合。

圖2 計(jì)算模式Fig.2 Number mechanism

2 極限承載力分析

為了簡化樁體對地基極限承載力貢獻(xiàn)的研究，本文將土體和無筋樁體均看成只有參數(shù)cu的材料，即土體參數(shù)只有不排水抗剪強(qiáng)度cu，樁體的抗剪強(qiáng)度為cpile，cpile=Kcu，K為樁土系數(shù)比，因此Terzaghi[1]極限承載力公式（1）簡化為：

2.1 上限定理

極限分析上限法采用塑性理論：1）材料為理想塑性材料；2）屈服方程滿足在應(yīng)力空間內(nèi)外凸；3）土體服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。對于任何運(yùn)動(dòng)許可的破壞機(jī)構(gòu)，內(nèi)能耗散率不小于外力功率。

式中：左邊項(xiàng)為內(nèi)能耗散率D，右邊兩項(xiàng)為外力所做的功率E；σij為通過關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則確定的應(yīng)力場；ε˙ij為運(yùn)動(dòng)許可速度場中的塑性應(yīng)變率場；Ti，Xi為邊界Γ上的面積分布力矢量和滑動(dòng)體區(qū)域V內(nèi)的體積力矢量；vi為機(jī)動(dòng)允許的速度場。

圖3 粗糙基礎(chǔ)下地基破壞模式Fig.3 The failure mechanism for foundation under rough footing

2.2 破壞模型

傾斜荷載作用下，豎向承載力由樁體提供的軸向抗力Q和樁體發(fā)生彎曲破壞時(shí)樁土共同提供的抗力P組成，如圖4。軸向抗力Q可以通過Poulos[9]的方法求解，本文只對樁體彎曲破壞時(shí)地基所能提供的抗力P和水平力KhP進(jìn)行分析研究。

圖4 破壞模式及速度相容關(guān)系Fig.4 Failure mechanism and velocity hodograph

根據(jù)有限差分法結(jié)果，Soubra等[3]假定的破壞模型對于單排剛性樁復(fù)合地基依然適用。破壞面（圖4）由2個(gè)直角三角形剛體和夾角為β的圓形均勻變形區(qū)域組成，三角形直角邊與圓弧相切。

2.3 基本假定

傾斜荷載下剛性樁的破壞方式較為明確，根據(jù)Poulos[9]的結(jié)論：黏性土中剛性樁，樁土水平向承載力與豎向承載力相互獨(dú)立且樁側(cè)土壓力均勻分布。為避免群樁復(fù)合地基涉及的復(fù)雜樁土相互作用問題，本文分析對象為飽和黏性土中單排剛性樁復(fù)合地基，對樁體破壞機(jī)理和復(fù)合地基破壞模式做出如下假定：

1）由于受水平荷載的作用，根據(jù)Kitazume[10]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，假定樁體達(dá)到其彎曲強(qiáng)度時(shí)發(fā)生破壞，樁體所能承受的水平向抗力與單樁破壞時(shí)一致，不考慮樁土之間相互作用。

2）根據(jù)Kitazume[10]、鄭剛[8]的離心機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和本文有限差分法結(jié)論，土體發(fā)生塑性滑動(dòng)面的位置基本和樁體彎曲破壞位置吻合，因此假定不配筋的素混凝土剛性樁樁體破壞位置位于土體塑性滑動(dòng)面，樁體破壞與土體滑動(dòng)面同時(shí)產(chǎn)生。

2.4 樁體破壞模式

對于橫截面為圓形的樁體，如圖5所示，其中D1為樁體中心距，D2為樁體間距，λ=D2/D1表示樁間距系數(shù)，d=D1-D2表示樁徑（由于剛性地基寬度B=1，d也代表樁徑與基礎(chǔ)寬度比）。

圖5 樁體破壞模式Fig.5 Failure mechanism for column pile

在樁體破壞點(diǎn)處彎矩平衡可得：

式中：qσ為樁體彎曲破壞時(shí)q的取值；σb為樁體抗彎強(qiáng)度。

根據(jù)Kitazume[10]的試驗(yàn)結(jié)果，剛性樁彎曲強(qiáng)度σb≈0.4qu，qu為樁體無側(cè)限抗壓強(qiáng)度，因此可以得出σb=0.8Kcu。在剛性樁復(fù)合地基極限承載力破壞模式下，計(jì)算樁體貢獻(xiàn)，根據(jù)圖5有：

整理得：

2.5 極限承載力系數(shù)

根據(jù)以上假設(shè)，ΔABE沿AB以速度v斜向下整體滑動(dòng)，ΔCDE沿CD以速度v斜向上整體滑動(dòng)，圓弧面以角速度ω繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中ω=v/lBE。

ΔABE在AB上的耗散功率為：

ΔCDE在CD上的耗散功率為：

圓弧BC上耗散功率為：

圓內(nèi)部耗散功率為：

樁體提供的耗散功率為：

外部功率為：

以上算式中邊長關(guān)系如下：

根據(jù)公式（3），機(jī)構(gòu)耗散功率等于外功率，則復(fù)合地基承載力系數(shù)為：

3 結(jié)果分析

3.1 天然地基時(shí)的結(jié)果驗(yàn)證

極限承載力系數(shù)Nc是關(guān)于參數(shù)α和β的函數(shù)。利用Matlab采用蒙特卡洛隨機(jī)優(yōu)化方法對公式（15）編程求最優(yōu)解，其中0<α<90，0<β< 180-α。

在豎直荷載（及Kh=0時(shí)）作用下，不考慮樁體提供的抗力（及Kp=0時(shí)），破壞模式承載力系數(shù)公式可以退化為：

公式（16）與Chen[2]推導(dǎo)的結(jié)論相一致，Nc值為5.14（與經(jīng)典的上限解下限解π+2一致，為精確解）。

在傾斜荷載作用下，當(dāng)不考慮樁體提供的抗力時(shí)的對比結(jié)果如表1。

表1 承載力系數(shù)對比Table1 The comparison of bearing capacity coefficient

以上對比說明本文所推導(dǎo)的上限解在均質(zhì)土體時(shí)具有較高的精度，結(jié)果可靠，可進(jìn)一步開展樁體對承載力貢獻(xiàn)和相應(yīng)參數(shù)分析。

3.2 破壞面和承載力系數(shù)分析

圖6表明隨著荷載傾斜率Kh的增加，破壞面逐漸變淺。當(dāng)Kh=0.5時(shí)對于天然地基破壞面基本只在土體表面。由于水平荷載的作用，地基破壞面逐漸變小變淺，從而導(dǎo)致地基極限承載力會(huì)急劇減小。圖6（a）和6（b）對比中可以看出在傾斜荷載作用下剛性樁對破壞面有很大的改良作用。

圖7可以看出隨著樁土強(qiáng)度比K的增加，破壞面逐漸加深，說明由于樁體的存在將荷載傳遞到深部土體中，從而調(diào)用了更多的土體參與運(yùn)動(dòng)，增大了地基承載力。但當(dāng)樁土強(qiáng)度比K達(dá)到某一值時(shí)，K對破壞面的影響減小。

圖8表明隨著樁間距系數(shù)λ的減小，破壞面逐漸加深。當(dāng)樁間距系數(shù)λ達(dá)到某一值時(shí)，λ對破壞面的影響減小，即樁間距系數(shù)λ達(dá)到某一范圍后，改變?chǔ)藢ζ茐拿娴挠绊懣梢院雎浴?/p>

圖9表明隨著樁徑與基礎(chǔ)寬度比d的增加，破壞面逐漸加深，理論上意味著樁徑與基礎(chǔ)寬度比d越大，對破壞面的改良程度越好。

圖6 Kh的影響Fig.6 Effect of Kh

圖7 K對破壞面的影響Fig.7 Effectof K on the failure surface

圖8 λ對破壞面的影響Fig.8 Effectofλon the failure surface

圖9 d對破壞面的影響Fig.9 Effect of d on the failure surface

3.3 極限承載力系數(shù)Nc影響的參數(shù)分析

圖10表明，隨著荷載傾斜率Kh的增大，破裂面逐漸變淺，從而土體產(chǎn)生的能量耗散減小，復(fù)合地基極限承載力系數(shù)Nc急劇減?。簾o樁情況下，當(dāng)水平荷載達(dá)到豎向荷載一半時(shí)，破裂面幾乎與地表相接近，如圖6（a），承載力系數(shù)降低近60%；當(dāng)有樁的情況下，破裂面距離地表有很大距離，如圖6（b），土體能夠產(chǎn)生較大的能量耗散，從而承載力系數(shù)Nc降低的程度較小，當(dāng)水平荷載達(dá)到豎向荷載一半時(shí)承載力系數(shù)也只降低了近30%（K=40）?？梢姡瑯扼w不僅可以提供相應(yīng)的抗力，還對破壞面產(chǎn)生很好的改良作用。

圖10 Kh對承載力系數(shù)的影響Fig.10 Effect of Khon the coefficient of bearing capacity

圖11 表明，在傾斜荷載作用下復(fù)合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁土強(qiáng)度比K的增大而增大，荷載傾斜率Kh較大的情況下樁土強(qiáng)度比K對極限承載力的提高越明顯，水平荷載達(dá)到豎向荷載一半（Kh=0.5）時(shí)承載力系數(shù)提高了近130%。建議0≤Kh≤0.3時(shí)K在20～40范圍取值；0.3≤Kh≤0.5時(shí)K在40～60范圍取值。

圖11 K對承載力系數(shù)的影響Fig.11 Effect of K on the coefficient of bearing capacity

圖12表明，在傾斜荷載作用下復(fù)合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁間距系數(shù)λ的減小而增大，當(dāng)樁間距系數(shù)λ達(dá)到某范圍時(shí)，λ對承載力系數(shù)的影響減小。建議0≤Kh≤0.3時(shí)λ在0.8～0.7范圍取值；0.3≤Kh≤0.5時(shí)λ在0.7～0.6范圍取值。

圖12λ對承載力系數(shù)的影響Fig.12 Effect ofλon the coefficient of bearing capacity

圖13 表明，在傾斜荷載作用下復(fù)合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁徑與基礎(chǔ)寬度比d的增大而增大，當(dāng)樁徑與基礎(chǔ)寬度比d達(dá)到某一值時(shí)，d對承載力系數(shù)的影響減小。建議0≤Kh≤0.3時(shí)d在0.1～0.3范圍內(nèi)取值；0.3≤Kh≤0.5時(shí)d在0.3～0.5范圍內(nèi)取值。

圖13 d對承載力系數(shù)的影響Fig.13 Effect of d on the coefficient of bearing capacity

4 結(jié)語

傾斜荷載作用下剛性基礎(chǔ)單排剛性樁復(fù)合地基利用極限分析上限法對其破壞模式和極限承載力系數(shù)進(jìn)行研究，通過分析得出以下主要結(jié)論：

1）在傾斜荷載作用下，當(dāng)其他參量一定時(shí)，復(fù)合地基破壞面隨著傾斜荷載的增大逐漸變小變淺，極限承載力系數(shù)Nc也隨之減小。

2）在傾斜荷載作用下，剛性樁對地基極限承載力提高作用明顯，當(dāng)其他參量一定時(shí)，復(fù)合地基極限承載力系數(shù)Nc隨著樁土強(qiáng)度比K和樁徑與基礎(chǔ)寬度比d的增大而增大，其對應(yīng)的破壞面也逐漸加深；隨著樁間距系數(shù)的減小而增大，其對應(yīng)的破壞面逐漸加深。

3）合理控制樁體強(qiáng)度、樁間距和樁徑顯得尤為重要，對荷載傾斜率0≤Kh≤0.3時(shí)，建議樁土強(qiáng)度比K=20～40，樁間距系數(shù)λ=0.6～0.8，樁徑與基礎(chǔ)寬度比d=0.3。傾斜荷載0.3≤Kh≤0.5，建議樁土強(qiáng)度比K=40～60，樁間距系數(shù)λ=0.6，樁徑與基礎(chǔ)寬度比d=0.4～0.5。

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Ultimate bearing capacity of single row rigid pile composite foundation under inclined load

ZHENG Gang,GONG Li-sen,ZHOU Hai-zuo,YANG Xin-yu
（Key Laboratory of CoastCivil Structure Safety(Tianjin University)of Ministry of Education,Schoolof Civil Engineering, Tianjin University,Tianjin 300072,China）

The influence of the collapse of the pile on the ultimate bearing capacity of the rigid pile composite foundation has not been investigated deeply.A finite difference method was adopted to study the failure mode of the ground improved by the rigid pile under inclined load.Based on the Tresca yield criterion and non-symmetric failure mechanism was proposed by upper-bound solution,which considered the contribution ofthe rigid pile.The optimalsolution was obtained by the Monte Carlo Method.The results show that the critical failure mode for rigid pile is bending failure.The observed slip surface of the composite ground becomes shallower with the increase of the load inclination ratio and the pile spacing,while it becomes deeper as the pile strength and the pile diameter increase.Correspondingly,bearing capacity coefficient increases with the pile strength and the pile diameter,but decreases with load inclination ratio and the pile spacing.The recommended values of the strength ofthe pile,the pile diameter and the spacing of the piles were proposed.

rigid pile;composite foundation；inclined load;limit analysis;failure mode

U655.544；TU473

A

2095-7874（2015）12-0001-06

10.7640/zggwjs201512001

2015-09-28

2015-11-12

鄭剛（1967—），男，貴州甕安人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，從事土力學(xué)及巖土工程教學(xué)與科研工作。E-mail：zhenggang1967@163.com