低階方陣的高次冪的計算技巧

田凱

摘要：方陣的高次冪的計算是線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撝械某Ｒ妴栴}。本文結(jié)合實(shí)例介紹了利用特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式計算低階方陣的高次冪，以及簡化方陣多項(xiàng)式的技巧。

關(guān)鍵詞：方陣的冪;Hamilton-Cayley定理;特征多項(xiàng)式;最小多項(xiàng)式

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）25-0197-02

在線性代數(shù)、矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)課程中，一類比較常見的問題是，計算方陣的冪。方陣的冪，是矩陣?yán)碚撝蟹浅：唵蔚母拍睢Ｈ鬉是n階方陣，則A的m次冪定義為

A ?= ?，其中m表示任一正整數(shù)。

若方陣A可對角化，即存在可逆矩陣P使得

其中Λ=diag（λ ?，λ ?，…，λ ?），λ ?，λ ?，…，λ ?是A的特征值，則A的冪是容易計算的，因?yàn)?/p>

而且Λ ?=diagλ ? ?，λ ? ?，…，λ ? ?，所以在這種情況下，我們可以寫出方陣A的任意次冪的顯示表達(dá)式。若方陣A不可對角化，尤其是當(dāng)m比較大的時候，計算A的冪就成為一個復(fù)雜的問題。

本文介紹低階方陣高次冪的計算技巧，希望對讀者有所幫助。我們所介紹技巧的理論基礎(chǔ)是著名的Hamilton-Cayley定理及矩陣的最小多項(xiàng)式。為方便讀者閱讀，首先回顧相關(guān)定理、定義與重要性質(zhì)。

Hamilton-Cayley定理：n階方陣A的特征多項(xiàng)式f（λ）=det（λI-A），則f（A）=0。

若多項(xiàng)式p（λ）使得p（A）=0，則稱p（λ）為A的化零多項(xiàng)式。Hamilton-Cayley定理告訴我們，方陣A的特征多項(xiàng)式總是其化零多項(xiàng)式，因此任意方陣A的化零多項(xiàng)式總存在。方陣A的次數(shù)最小且首項(xiàng)系數(shù)為1的化零多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式?；诖硕x不難證明，A的最小多項(xiàng)式能整除其所有化零多項(xiàng)式。因此，A的最小多項(xiàng)式是其所有化零多項(xiàng)式的最大公因式，故最小多項(xiàng)式必存在且唯一。利用下面的結(jié)論，可以確定給定方陣A的最小多項(xiàng)式。

定理：已知方陣A，若B（λ）是矩陣（λI-A）的伴隨矩陣，d（λ）是B（λ）各元素的最大公因式，則方陣A的最小多項(xiàng)式ψ（λ）是ψ（λ）= ?。

例如：3階方陣

的特征多項(xiàng)式是

（λI- ?）的伴隨矩陣

該方陣的所有元素的最大公因式d（λ）=λ+1，因此方陣 ?的最小多項(xiàng)式為

ψ（λ）=（λ+1） ?。

問題：對上例中的3階方陣 ?，試求 ?5。

我們應(yīng)該注意到，方陣 ?有一個特征值-1，其代數(shù)重復(fù)度為3，而幾何重復(fù)度為2，所以 ?最多有兩個線性無關(guān)的特征向量， ?不可對角化。因此，我們不能借助對角矩陣計算5（如本文第一段所述）。

根據(jù)Hamilton-Cayley定理，方陣 ?的特征多項(xiàng)式f（λ）是其化零多項(xiàng)式，即：

上式可改寫為：

反復(fù)利用該式，我們可將方陣A的任意次冪轉(zhuǎn)化為方陣A的二次多項(xiàng)式，例如：

我們還可以借助方陣的最小多項(xiàng)式簡化方陣冪的計算，仍以3階方陣 ?為例。根據(jù)上文， ?的最小多項(xiàng)式是ψ（λ）=（λ+1） ?，于是

或等價的寫成

反復(fù)上式，我們有

基于上式，容易得到

顯而易見，借助最小多項(xiàng)式，我們將 ?的冪轉(zhuǎn)變?yōu)??的一次多項(xiàng)式，這大大降低了計算的復(fù)雜度。

不論是特征多項(xiàng)式，還是最小多項(xiàng)式，它們在計算方陣的冪的過程中發(fā)揮著類似的作用，即：以化零多項(xiàng)式提供一個等式，幫助我們將方陣的冪轉(zhuǎn)化為次數(shù)較低的多項(xiàng)式，以達(dá)到簡化計算的目的。作為次數(shù)最小的化零多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式能最大程度簡化方陣冪的計算。這種方法在計算低階方陣的高次冪時，效果尤其突出。

最后，需要指出的是，最小多項(xiàng)式（或特征多項(xiàng)式）也可用于簡化方陣的高次多項(xiàng)式的計算。例如：計算 ?的5次多項(xiàng)式

事實(shí)上，利用多項(xiàng)式帶余除法，不難得到

于是，我們有

請注意，（λ+1） ?是 ?的最小多項(xiàng)式，（ ?+I）2=0，因此我們得到

參考文獻(xiàn)：

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