抗強剪切攻擊的四元數(shù)彩色圖像零水印算法

何　冰

(1. 渭南師范學院物理與電氣工程學院，陜西 渭南 714099；2. 陜西省X射線檢測與應用研究開發(fā)中心，陜西 渭南 714099)

抗強剪切攻擊的四元數(shù)彩色圖像零水印算法

何冰1,2

(1. 渭南師范學院物理與電氣工程學院，陜西 渭南 714099；2. 陜西省X射線檢測與應用研究開發(fā)中心，陜西 渭南 714099)

針對現(xiàn)有彩色圖像零水印算法對存在信息量丟失的各種攻擊(如剪切、行列移除、涂抹等)的不足，提出一種基于非負矩陣分解(NMF)和四元數(shù)實矩陣的彩色圖像零水印算法。該算法首先提取彩色圖像的3個分量(R、G、B)并將各分量進行NMF分解；其次將分解后的各系數(shù)矩陣在版權(quán)中心進行注冊，同時將原始彩色圖像使用四元數(shù)實矩陣來表征，并計算實數(shù)字矩陣的Krawtchouk不變矩；最后，在版權(quán)中心注冊Krawtchouk不變矩特征向量；由剩余未剪切部分的彩色圖像和注冊的系數(shù)矩陣共同恢復出完整的原始圖像。實驗結(jié)果表明：在彩色圖像剪切或涂抹面積超過80%時，水印信息仍可以正確地被提??；使用四元數(shù)彩色圖像整體法表征圖像在圖像類聚以及水印誤檢率方面的性能都要優(yōu)于彩色圖像三通道分別處理或直接灰度化實現(xiàn)的效果。

四元數(shù)；零水?。徊噬珗D像；不變矩；非負矩陣分解

零水印技術(shù)因其很好解決了傳統(tǒng)水印技術(shù)中不可見性和魯棒性之間的矛盾，近幾年來在信息安全領(lǐng)域中成為研究的熱點。溫泉等[1]在2003年首次提出零水印的概念，同時利用高階累計量構(gòu)造零水印特征，通過仿真實驗證明所提出算法的有效性和實用性。此后零水印方面相關(guān)的文獻和學術(shù)成果不斷增多[2-4]，馬建糊和何甲興[5]提出了一種基于小波變換的零水印算法，該算法利用一次小波變換后的低頻系數(shù)與二值水印圖像相異或運算來構(gòu)造零水印信息，并將其在可信第三方(certificate authority，CA)中心進行注冊；陳偉琦和李倩[6]采用雙零水印嵌入方式，同時利用(singular value dfecomposition，SVD)空間向量來表征圖像的算法，解決了目前零水印算法虛警率高的問題；張春凱等[7]設(shè)計了一種基于 Krawtchouk矩和NSCT(non-subsampled contourlet transform)變換的魯棒性零水印算法，對圖像進行 NSCT分解后，計算其低頻成分的Krawtchouk低階矩不變量來構(gòu)造特征向量，并仿真實驗來證明算法的有效性；馮銀波和陳善學[8]將彩色圖像在四元數(shù)域內(nèi)分別進行分塊離散傅里葉變換、分塊離散余弦變換以及奇異值分解之后產(chǎn)生兩組二值序列，將二值序列與版權(quán)標志信息相結(jié)合構(gòu)造零水印信息，實驗結(jié)果表明，所設(shè)計的算法對常規(guī)攻擊以及部分組合攻擊具有較強的魯棒性。吳偉民等[9]利用細胞自動機變換將圖像分離成低頻子帶和高頻子帶，然后對低頻子帶圖像分塊后進行奇異值分解，最后利用分解后的奇異值矩陣零水印信息的設(shè)計。

以上零水印算法對于常規(guī)的信號處理(如：濾波、JPEG有損壓縮、一般的幾何變換等)具有一定的有效性，而對于信息量受損或丟失的信號處理(如：剪切、涂抹、行列移除)的研究國內(nèi)相關(guān)文獻報道還比較少。文獻[10]提出一種根據(jù)人類視覺模型，使用混沌系統(tǒng)及提升小波變換的抵抗剪切攻擊的彩色圖像盲數(shù)字水印算法，實驗結(jié)果證明在抗剪切方面的性能較為顯著；文獻[11]提出一種基于 Radon變換不變矩和小波提升的水印算法，實驗結(jié)果證明對幾何變換具有很好的魯棒性；文獻[12]提出一種擴頻水印算法，該算法在水印嵌入前，先對水印圖像進行面包師變換，使得水印圖像的像素能夠均勻分布于每個區(qū)域，由此獲得了一組具有可以抵抗剪切攻擊能力的水印序列。文獻[13]利用Patchwork方法同時結(jié)合相應的量化索引調(diào)制，提出一種抗剪切攻擊的數(shù)字水印方法，該方法對剪切及壓縮、噪聲等圖像處理具有良好的效果。文獻[10-13]所提出的水印算法，在抗剪切攻擊方面的性能均得到了一定的提高和改善；然而這三種算法都具有相同的不足之處：①隨著水印嵌入數(shù)據(jù)量的增加，嵌入水印后的圖像其不可感知性隨之下降，即水印的魯棒性和不可見性之間的矛盾是傳統(tǒng)水印算法均需要解決的問題；②這 3種算法對于圖像信息量損失或丟失百分比在 50%以下的剪切攻擊，水印檢測器可以正確地提取出完整的水印信息，但對于某些強剪切攻擊(圖像信息量丟失百分比超過75%)，均無法正確地提取出原始水印信息。近幾年來，相關(guān)學者將非負矩陣分解(nonnegative matrix factorization，NMF)應用到圖像處理、圖像識別領(lǐng)域。文獻[14]提出一種基于 NMF的譜聚類集成(synthetic aperture radar，SAR)圖像分割算法，使用NMF方法合并相關(guān)圖像分割后的個體，實驗結(jié)果表明，該方法優(yōu)于 K-means方法、基于 Nystrom逼近的方法和Meta-clustering方法，具有一定的實用性。雖然NMF[15-16]在圖像處理方面有一定的應用，但將其應用到零水印算法中的相關(guān)文獻鮮見報道[17-18]。

通過以上分析，本文提出一種基于NMF和四元數(shù)實矩陣的彩色圖像零水印算法。該算法根據(jù)NMF部分感知全局的特性，利用剪切后剩余部分圖像及之前保存過的相應系數(shù)矩陣可以重構(gòu)出完整的原始圖像，解決了強剪切帶來的問題；同時引入四元數(shù)理論，將其應用到彩色圖像中，由于彩色圖像3個通道(R、G、B)之間存在著非常緊密的光譜聯(lián)系，若將彩色圖像每一像素點處作為一個完整的體系來處理，那么每個像素點三個通道間的光譜聯(lián)系就會貫穿在整個圖像的運算和處理之中，本文使用四元數(shù)實矩陣來表征彩色圖像，通過對零水印算法的設(shè)計，有效地提高了水印在提取階段的檢測精度。

1　非負矩陣分解

NMF為當前的圖像分解提供了一條新的路徑。其基本原理可以描述為：任意給定一個非負矩陣 Vn×m，NMF可以尋找出一個非負矩陣Wn×r和另外一個非負矩陣Hr×m，使得這樣一個非負矩陣就分解為兩個非負矩陣的乘積。其中，W稱為基矩陣；H稱為系數(shù)矩陣；r稱為基矩陣維數(shù)，且滿足r<

1.1乘性迭代算法

Lee和Seung[15]首次提出了使用乘性迭代的方法來解決NMF問題，采用KL散度，其目標函數(shù)形式為：

其中，F(xiàn)表示目標函數(shù)；i、j表示二維矩陣的行和列數(shù)。

泊松噪聲模型下的迭代規(guī)則：

其中，α,u,i,k,v 分別表示二維矩陣的行或列數(shù)(即二維矩陣中的坐標位置)。

該算法與梯度下降、交替最小平方算法相比，需要更多的迭代步驟，因此收斂速度較慢。因為NMF本身不是一種全局最優(yōu)化的方法，所以就有可能得不到全局最優(yōu)的解。

1.2梯度下降算法

迭代算法如下：

其中，f(Wk,Hk)表示二維矩陣的基矩陣和系數(shù)矩陣；εW和εH是步長；?Wf(Wk,Hk)和?Hf(Wk,Hk)表示對目標函數(shù)f(Wk,Hk)求偏導。梯度下降算法εW和εH的選擇與其收斂性有極大的關(guān)系。此算法對其初始值特別敏感，如果隨機取初始值，往往得不到令人滿意的結(jié)果，因此步長的選擇和初始值的選取決定著梯度下降算法的設(shè)計優(yōu)劣。

1.3交替最小平方算法

該算法的理論基礎(chǔ)在于：在解決最優(yōu)化KL散度目標函數(shù)的問題中，如果只針對W矩陣或H矩陣來說其是凸函數(shù)，但同時對W矩陣和H矩陣而言并不是凸函數(shù)。所以可以在固定一個矩陣的條件下，對另外一個矩陣進行最小平方計算。其迭代算法如下：

交替最小平方算法中，為了保證數(shù)據(jù)的非負性，將負值強制為0。這在一定程度上增加了數(shù)據(jù)的稀疏性，使該算法的計算量小了一些。

為了驗證以上3種不同NMF算法的收斂性和分解后的重構(gòu)誤差，本文以64×64Lena灰度圖像為例進行說明，實驗結(jié)果見圖 1、2。實驗環(huán)境：CPU Intel pentium4 3.2 GHz、內(nèi)存2 G、Windows 7操作系統(tǒng)。

圖1　3種NMF算法的收斂速度曲線(mm：乘性迭代；prob：梯度下降算法；als：交替最小平方算法)

圖2　3種NMF算法的分解后的重構(gòu)誤差曲線(mm：乘性迭代；prob：梯度下降算法；als：交替最小平方算法)

圖3　基矩陣維數(shù)r取不同值的誤差曲線

由圖1～3可知：NMF中，在相同迭代次數(shù)下采用交替最小平方算法其收斂速度效率明顯優(yōu)于乘性算法和梯度算法；然而對分解后的灰度 Lena圖像進行重構(gòu)時，其交替最小平方算法產(chǎn)生的重構(gòu)誤差最大，而采用梯度算法產(chǎn)生的重構(gòu)誤差最小?；仃嚲S數(shù)r的取值也非常重要，若r取值較小，計算運行速度會加快，但經(jīng)過NMF分解后的矩陣重構(gòu)誤差會增大；若要減小分解后的重構(gòu)誤差，則需增大基矩陣維數(shù)r的取值，此時計算速度則會降低；因此NMF算法中收斂速度和矩陣的重構(gòu)誤差是一對矛盾，近年來關(guān)于NMF的應用中，對于灰度圖像或彩色圖像分解后的圖像重構(gòu)及分解效率方面的文獻報道較少。本文采用乘性NMF算法對二值圖像、灰度圖像分別在基矩陣維數(shù)r取不同值時，對其圖像重構(gòu)誤差和計算時間效率進行了仿真實驗分析，這為本文將NMF算法應用到彩色圖像零水印中提供了參考依據(jù)，實驗結(jié)果見圖4～7。

圖4　26個大寫字母組成的二值圖像測試樣本(單個字母大小128×128)

圖5　26個大寫字母二值圖像的重構(gòu)結(jié)果

圖6　字母E的重構(gòu)結(jié)果

圖7　灰度圖像baboon的重構(gòu)結(jié)果

使用峰值信噪比PSNR、均方誤差MSE及絕對差ε對原始圖像和重構(gòu)后的圖像進行度量，則：

式(5)～(8)中，I(x,y)和I′(x,y)分別表示原始圖像和重構(gòu)后的圖像在(x,y)處的灰度值。

以上實驗結(jié)果表明對大小為 128×128的二值圖像，基矩陣維數(shù)r>10時；大小為256×256的灰度圖像，基矩陣維數(shù)r>20時，其圖像重構(gòu)誤差和計算時間效率均達到了理想效果(對于一幅256×256的圖像，重構(gòu)后的PSNR大于20 dB，及重構(gòu)時間小于 10 ms在圖像識別中是完全可以接受的)，那么將其應用到彩色圖像零水印中其不可見性和水印的嵌入、檢測計算時間也是完全可以滿足的。

2　四元數(shù)彩色圖像表示

目前的彩色圖像數(shù)字水印算法，大部分處理過程都是先將彩色圖像轉(zhuǎn)換為單通道顏色模式即灰度圖像，再基于灰度的方法設(shè)計水印的嵌入和提取操作。這種方法損失了彩色圖像大量的色彩信息，同時又沒有利用到圖像各顏色通道的空間關(guān)系信息，影響到水印檢測時的精度。四元數(shù)是一般復數(shù)的推廣，其相關(guān)理論已經(jīng)成功應用于彩色圖像去噪、圖像分割以及相關(guān)模式識別領(lǐng)域。采用四元數(shù)表示彩色圖像其優(yōu)勢在于：在多維的空間上將彩色圖像三個通道的像素作為一個矢量進行整體的處理，而非將三個通道分別處理或直接進行灰度化，考慮了各個彩色圖像每個通道之間的相關(guān)性，將四元數(shù)理論應用于彩色圖像零水印算法中，有助于對圖像進行更精確的表述。

一般一個四元數(shù)q可以表示為：

其中a,b,c,d∈R；i,j,k分別代表四元數(shù)的 3個虛部的單位向量，并且滿足以下的運算法則：

其中，a為四元數(shù)q的實部；i×b+j×c+k×d 為q的虛部；令q的實部為0，3個虛部分量分別表示彩色圖像R、G、B三通道即：a=0,b=R, c=G,d=B ，則一幅彩色圖像IRGB(m,n)可以表示為：

任意的一個四元數(shù)q=a+ib+jc+kd=(a+ib)+(c+id)j=u+vj=u+j×conj(v)其矩陣形式為：

其中，conj表示四元數(shù)的共軛；u,v,conj(u),conj(v)對應的矩陣形式為：conj(u)=[a?b;ba]；conj(v)=[c?d;dc]，將4個矩陣形式代入到Q矩陣中，得到四元數(shù)實矩陣W的表示形式：

根據(jù)式(12)RGB彩色圖像的實矩陣表示為：

圖 8～9給出了四元數(shù)實矩陣整體彩色圖像表示法及彩色圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像表示法的圖像聚類實驗結(jié)果(以 Radon變換不變矩和 Krawtchouk不變矩為特征描述質(zhì)，Radon變換不變矩詳見文獻[11])，實驗結(jié)果說明，實矩陣整體彩色圖像表示法在類間距的聚類效果明顯優(yōu)于彩色圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖像表示法(類間距越大、類內(nèi)距越小，聚類效果越好)，為彩色圖像零水印采用四元數(shù)實矩陣整體表征圖像提供了依據(jù)。

圖8　16幅不同的彩色樣本圖像

圖9　以Radon不變矩均值和Krawtchouk不變矩均值為特征值下的16幅不同彩色圖像的聚類圖

3　本文算法的實現(xiàn)過程

3.1零水印生成及注冊過程框圖

零水印生成及注冊過程具體步驟如圖10所示：

步驟1. 分別提取原始彩色載體圖像的R、G、 B三分量并對其進行非負矩陣分解；

步驟2. 將NMF分解后的三分量系數(shù)矩陣H分別在第三方認證機構(gòu)(CA中心)進行注冊；

步驟3. 使用四元數(shù)實矩陣整體法來表征原始彩色載體圖像，得到四元數(shù)數(shù)字矩陣；

步驟 4. 提取四元數(shù)數(shù)字矩陣的 Krawtchouk低階不變矩(Krawtchouk低階不變矩詳見文獻[7])作為特征向量并在CA中心進行注冊；

步驟 5. CA中心對特征向量及用戶信息加蓋時間戳后，宣布原始彩色載體圖像已在版權(quán)保護之下。

3.2零水印提取與檢測過程

給定原始圖像矩陣V，其矩陣大小為m×n，經(jīng)過NMF分解后得到基矩陣W(大小為n×r)和系數(shù)矩陣H(大小為r×m)，r為基矩陣維數(shù)。具體模型如下：

圖10　水印生成及注冊過程

其中，vi為V的第i列；hi為H的第i列；由式(15)可知原始圖像矩陣的每一列與分解后的系數(shù)矩陣每一列一一對應。

根據(jù)以上公式推論可知：原始圖像矩陣 V遭受剪切攻擊時，仍可以利用矩陣 V中剩余未被剪切部分恢復出完整基矩陣 W；然后根據(jù)保留的系數(shù)矩陣H，重構(gòu)原始圖像矩陣。為使基矩陣W存在唯一的解，系數(shù)矩陣V的最小秩應等于NMF分解的維數(shù)，即T≥r。

零水印提取和檢測過程具體步驟如圖11所示：

步驟1. 在第三方版權(quán)認證中心(CA)按照時間戳提取保存的系數(shù)矩陣HR,HG,HB。

步驟2. 對待檢測彩色圖像是否受到剪切或涂抹攻擊進行預判，若遭受剪切或涂抹攻擊則從未受損彩色局部圖像提取VR,VG,VB矩陣(原始彩色圖像R、G、B三分量的局部矩陣)，否則執(zhí)行步驟4。

步驟3. 根據(jù)VR,VG,VB數(shù)字矩陣，從系數(shù)矩陣HR,HG,HB得到與之對應的局部矩陣,,，然后按照式(17)、(14)完成對受損彩色圖像的重構(gòu)。

步驟4. 將待檢測彩色圖像或重構(gòu)圖像用四元數(shù)實矩陣表示，計算該實數(shù)字矩陣 10個低階Krawtchouk不變矩，并將其作為特征向量B。

步驟5. 求出特征向量B與零水印算法注冊階段在CA中心的特征向量A的絕對差之和，即：

若d≥ε并且時間戳與CA中心提供的信息不符(ε為經(jīng)驗閾值系數(shù)，實驗中取值為0.01)則驗證結(jié)束，說明待檢測圖像中不含有水印信息；否則，待檢測彩色圖像中水印信息存在。

圖11　水印提取過程

4　實驗結(jié)果和分析過程

為了驗證所設(shè)計零水印算法的有效性，本文以Baboon彩色圖像(大小256×256)為宿主圖像(見圖12)，通過Matlab 8.0仿真軟件完成以下3組實驗結(jié)果。實驗 1是原始彩色圖像遭受常見典型攻擊后的實驗結(jié)果，見表1；實驗2是對Baboon彩色圖像進行不同比例的剪切和涂抹攻擊后的實驗，結(jié)果見表2；實驗3是為了驗證對于其他圖像是否會出現(xiàn)誤判的情況所作的誤檢率驗證實驗(采用四元數(shù)整體法和直接灰度化方法)，宿主圖像采用圖8的16幅圖像，實驗結(jié)果見圖13，由實驗結(jié)果可知使用四元數(shù)整體法的彩色圖像零水印算法相比直接灰度化或單通道(R、G、B取其中一個通道)的算法在零水印檢測以及誤檢率方面性能都有一定的提高(采用四元數(shù)整體法其絕對差d的數(shù)值明顯高于直接灰度化處理的方法，說明其區(qū)分度相對較大，水印檢測時不易產(chǎn)生誤判；其中圖 8中第3行第1列的彩色圖像采用直接灰度化的方法會導致誤檢，而四元數(shù)方法其區(qū)分度依然很大)。

圖12　Baboon原始彩色圖像

表1　常見典型攻擊測試結(jié)果

表2　抗剪切、涂抹攻擊測試結(jié)果

圖13　采用四元數(shù)整體法和直接灰度化方法的誤檢率曲線圖

5　結(jié)　論

為了提高零水印算法抵抗存在信息量丟失的各種攻擊(剪切、涂抹、行列移除等)的能力，本文將NMF和四元數(shù)理論相結(jié)合構(gòu)造出一種抗剪切攻擊的零水印算法。算法利用NMF的局部感知全局的特性，對受損后的圖像進行重構(gòu)，并通過對二維圖像大量的仿真實驗尋找非負矩陣分解后基矩陣維數(shù)r的選擇及迭代次數(shù)之間的折中；由實驗結(jié)果可知使用四元數(shù)整體法的彩色圖像零水印算法相比直接灰度化或單通道(R、G、B取其中一個通道)的算法在零水印檢測以及誤檢率方面性能都有一定的提高。下一步的重點是研究NMF算法和四元數(shù)整體表示圖像在計算量上的相關(guān)快速算法，以滿足實時性的要求，從而進一步對零水印系統(tǒng)進行優(yōu)化。

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A Zero Color Image Watermarking Resisting Strong Cropping Attacks Using Quaternion Representation

He Bing1,2
(1. Department of Physics and Electronic Engineering, Wei Nan Normal University, Weinan Shaanxi 714099, China; 2. Center of X Ray Detection and Application of ShaanXi, Weinan Shaanxi 714099, China)

For some zero color image watermarking methods are insufficient for several attacks of information loss, a zero color image watermarking algorithm based on nonnegative matrix factorization and real matrix of quaternion is proposed. Firstly, three components (R, G, B) are extracted from color image and each component is decomposed. Secondly, the coefficient matrix decomposed is registered in the copyright center and the real matrix of quaternion is used to represent the original color image, also the krawtchouk invariant moments of the real matrix is calculated. Finally, some krawtchouk invariant moments are used to design and construct zero watermarking information. The experimental results show that original color image under strong shear can be recovered by residual shear part. When the area of shearing color image exceed 80%, watermark information can still be extracted correctly. This performance in image clustering and watermark error detection rate by using the quaternion to represent the whole color image is better than usingeach of three channels of color image processing or gray image directly.

quaternion; zero watermarking; color image; invariant moments; nonnegative matrix factorization

TP 391

A

2095-302X(2015)06-0909-11

2015-05-05；定稿日期：2015-09-08

陜西省教育廳科研計劃資助項目(14JK1248)；渭南師范學院第二批特色學科建設(shè)資助項目(14TSXK06)；渭南市科研發(fā)展計劃資助項目(2015KYJ-2-1)；渭南師范學院科研計劃資助項目(15YKS010)

何冰(1982–)，男，陜西合陽人，講師，碩士。主要研究方向為智能圖像數(shù)據(jù)處理、信息安全研究。E-mail：hebing126@126.com