正切數(shù)與集合的純偶組合數(shù)＊

顧江民

（浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息與控制工程學(xué)院，浙江 東陽322100）

0 引言

正切數(shù)（戴煦數(shù)）是從許多組合問題中提出來的，在數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，一直是許多專家、學(xué)者研究的熱點.文［1］介紹了Akiyama－Tanigawa算法，文［2］利用這種算法給出了Bernoulli數(shù)的一種新算法.本文利用Akiyama－Tanigawa算法給出正切數(shù)的一種新算法.筆者發(fā)現(xiàn)，正切數(shù)與一類數(shù)有著密切的關(guān)系，我們稱之為純偶組合數(shù).

定義1 由

確定的系數(shù)G（n，m）稱為純偶組合數(shù)（m為正整數(shù)）.

定義2［3］正切數(shù)Dn定義為：

我們看正切數(shù)表，它的算法是：第零行數(shù)是1，1，1，…，第一行數(shù)－1·1＋3·1，－4·1＋10·1，－9·1＋21·1，…，即為2，6，12，…，第二行數(shù)－1·2＋3·6，－4·6＋10·12，－9·12＋21·20，…，即為16，96，312，…依次規(guī)律，第n行第m個數(shù)為an，m，確定第n＋（）1 行第m個數(shù)an＋1，m為：

由這種遞推關(guān)系得到一個類似楊輝三角的數(shù)表，可以確定各行的首位數(shù)為正切數(shù)（圖1）.運用文［2］的方法可以得到第n行的首位數(shù)為：

1 主要結(jié)論

定理G（n，k）為純偶組合數(shù)，則正切數(shù)：

圖1 正切數(shù)表Fig.1 Tangent table

推論 伯努利數(shù)：

2 純偶組合數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1G（n，1）＝1，?n∈N＊；G（n，m）＝0，（n＜m）.

證明 由

易得：

故有G（1，m＋1）＝0.

性質(zhì)2 純偶組合數(shù)有以下遞歸關(guān)系［4～8］：

證明 設(shè)函數(shù)：

首先由（1）式可知：

則有：

其次，因為：

對比（4）式與（5）式x2n系數(shù)可得：

3 定理的證明

證明 設(shè)

即

兩邊求導(dǎo)得：

根據(jù)定義2可知：

所以，

正切數(shù)與Bernoulli數(shù)有關(guān)系式［5］：

4 同余式與附表

利用正切數(shù)表的有關(guān)性質(zhì)可給出幾個同余式.

對任意的正整數(shù)n，m，k，有：

一般地，設(shè)g（n，k）組成的下三角矩陣是G（n，k）組成矩陣的逆，即

（g（n，k））＝（G（n，k））－1.

則有：

純偶組合數(shù)陣G（n，k）見表1，純偶組合數(shù)陣的逆g（n，k）見表2.

表1 純偶組合數(shù)陣G（n，k）Table 1 Pure even combinations matrix

表2 純偶組合數(shù)陣的逆g（n，k）Table 2 Pure even combinations inverse matrix

［1］Akiyama S，Tanigawa Y.Muktiple zeta values at non－positive integers［J］.The Ramanujan Journal，2001，5（4）：327－351.

［2］Kaneko M.The Akiyama－Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers［J］.Journal of Integer Sequences，2000，12：1－6.

［3］羅見今.徐有壬《測圓密率》對正切數(shù)的研究［J］.西北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，36（5）：853－857.

［4］顧江民，朱偉義.二進(jìn)純偶多項式及應(yīng)用［J］.咸陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，25（2）：11－14.

［5］顧江民.方差多項式與Bernoulli多項式［J］.江西科學(xué)，2011，29（4）：450－452.

［6］顧江民.Euler數(shù)與集合的純偶排列數(shù)［J］.渭南師范學(xué)院學(xué)報，2013，28（12）：5－9.

［7］朱偉義.高階Bernoulli數(shù)與Stirling數(shù)的幾個恒等式［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006（1）：83－85.

［8］王天明.近代組合學(xué)［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.