材料熱物性與熱源強(qiáng)度辨識的改進(jìn)遺傳算法

顏 帆，盧 玫

（上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

文章編號：1001?246X（2015）05?0623?08

材料熱物性與熱源強(qiáng)度辨識的改進(jìn)遺傳算法

顏 帆，盧 玫?

（上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

建立二維非線性導(dǎo)熱逆問題（IHCP）的數(shù)學(xué)模型.通過對基本遺傳算法逐步改進(jìn)得到三種不同改進(jìn)階段的遺傳算法，分別用于反演導(dǎo)熱問題中材料的導(dǎo)熱系數(shù)及其內(nèi)部熱源強(qiáng)度，并比較遺傳算法在各改進(jìn)階段用于求解導(dǎo)熱逆問題時的收斂速度與求解精度，尋求一種使導(dǎo)熱逆問題求解效率與計(jì)算精度更高的遺傳算法改進(jìn)策略.結(jié)果表明：提出的遺傳算法改進(jìn)策略達(dá)到了預(yù)期目的.

遺傳算法；導(dǎo)熱逆問題；導(dǎo)熱系數(shù)；熱源強(qiáng)度

0 引言

近年來導(dǎo)熱逆問題（IHCP）在生物醫(yī)學(xué)、無損探傷、電子芯片散熱設(shè)計(jì)等領(lǐng)域運(yùn)用愈發(fā)廣泛.導(dǎo)熱逆問題的求解通?？赊D(zhuǎn)化為一優(yōu)化問題，由于其具有計(jì)算量大、不適定性和非線性等特點(diǎn)，因此選擇一種合適、高效的優(yōu)化方法對于解決此類反問題非常重要.不少文獻(xiàn)采用傳統(tǒng)梯度類優(yōu)化方法，如正則化方法［1－2］、共軛梯度法［3－6］等求解導(dǎo)熱逆問題，由于存在模型誤差和觀測誤差，其解常常是振蕩和不收斂的［7－8］，且依賴于初始搜索點(diǎn)［9－10］，當(dāng)反演由單宗量向多宗量轉(zhuǎn)變時，導(dǎo)熱逆問題的不適定性和解的不唯一性表現(xiàn)地更加明顯，計(jì)算量較單宗量反演時更大，故選擇一個搜索能力強(qiáng)、魯棒性好的優(yōu)化方法是解決此類問題的有效手段.遺傳算法作為一種智能優(yōu)化算法，具有較強(qiáng)的全局與局部搜索能力和良好的魯棒性，能較好地避免局部最優(yōu)且不依賴于初始搜索點(diǎn)［11］，相比于傳統(tǒng)尋優(yōu)方法，其在非線性、多宗量辨識方面具有優(yōu)勢.國內(nèi)外許多學(xué)者已將遺傳算法運(yùn)用于尋優(yōu)過程，并有學(xué)者對遺傳算法采取了一些改進(jìn)措施.王登剛等人利用遺傳算法反演材料導(dǎo)熱系數(shù)時提出保留每代最優(yōu)個體的策略［12］；王秀春等人對遺傳算法目標(biāo)函數(shù)標(biāo)定過程進(jìn)行改進(jìn)［13］.樂愷等人針對所求問題目標(biāo)函數(shù)具有多峰特征，提出了利用小生境技術(shù)提高遺傳算法全局搜索能力［14］.楊偉超等人反演板坯溫度時，考慮求解問題的特殊性，提出采用浮點(diǎn)數(shù)編碼的遺傳算法并由此采取針對浮點(diǎn)數(shù)編碼的交叉與變異算子［15］.黃長清等人對鋁板帶熱精軋軋制規(guī)程優(yōu)化過程中，對遺傳算法交叉、變異概率進(jìn)行自適應(yīng)改進(jìn)［16］.Raudensky等人采用實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法求解導(dǎo)熱逆問題［17］.Liu為了提高遺傳算法求解時的收斂速度與計(jì)算精度，將梯度尋優(yōu)引入遺傳算法中［18］.

借鑒上述遺傳算法改進(jìn)措施，通過在遺傳算法中逐步引入價(jià)值函數(shù)，混沌序列以及擇優(yōu)選取子代等，分別建立三種處于不同改進(jìn)階段的遺傳算法，并將其運(yùn)用于反演材料熱物性與熱源強(qiáng)度的導(dǎo)熱逆問題，旨在獲得一種能提高導(dǎo)熱逆問題求解效率與計(jì)算精度的改進(jìn)遺傳算法.

1 物理問題及數(shù)學(xué)描述

討論物理對象如圖1所示，截面形狀為矩形，內(nèi)部有一截面為點(diǎn)的熱源，導(dǎo)熱體的導(dǎo)熱系數(shù)λ隨溫度T呈線性變化，并設(shè)為λ＝λ0＋aT.由于導(dǎo)熱體長度尺寸遠(yuǎn)大于截面尺寸，因此，上述物理問題是一個二維非線性穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對應(yīng)的控制方程及邊界條件為

式中T為溫度，K；λ為材料導(dǎo)熱系數(shù)，W·（m·K）－1；S為熱源強(qiáng)度，W·m－1；qm為熱流密度，W·m－2；TS為南邊界壁面溫度，K；TW為西邊界壁面溫度，K；Tf為周圍介質(zhì)溫度，K；h為表面對流換熱系數(shù)，W·（m2·K）－1.

圖1 計(jì)算區(qū)域示意圖Fig.1 Schematic of calculation area

當(dāng)材料導(dǎo)熱系數(shù)、熱源強(qiáng)度是待定參數(shù)時，上述導(dǎo)熱問題即為導(dǎo)熱逆問題，需要附加補(bǔ)充求解條件.本文通過在非第一類邊界條件邊界上布置若干測點(diǎn)（如圖1所示），測量其溫度值對導(dǎo)熱逆問題進(jìn)行反演求解［19］.定義補(bǔ)充求解條件

式中，Tm為測點(diǎn)處的實(shí)測溫度向量.

式（1）、式（2）～（6）構(gòu)成導(dǎo)熱逆問題的數(shù)學(xué)描述.定義目標(biāo)函數(shù)［20］

式中，n為測點(diǎn)個數(shù)，T為溫度向量的計(jì)算值，它依賴于待識別的參數(shù).

定義導(dǎo)熱逆問題的解空間：0≤λ0≤999；0≤a≤0.1；0≤S≤999.利用遺傳算法在解空間中隨機(jī)產(chǎn)生一組解：λ0、a與S值，代入式（1）、式（2）～（5）所描述的導(dǎo)熱正問題中求解其溫度場，將對應(yīng)測點(diǎn)處的計(jì)算溫度向量代入式（7），目標(biāo)函數(shù)越小則解越優(yōu)，故而可轉(zhuǎn)化為如式（8）所示一全局優(yōu)化問題

2 遺傳算法

遺傳算法（genetic algorithm，GA）起源于對生物系統(tǒng)所進(jìn)行的計(jì)算機(jī)模擬研究，由Holland教授在1967年首次提出.其基本思想是利用某種編碼技術(shù)，將所求問題解空間中的可行解轉(zhuǎn)化為稱為染色體的數(shù)字串，通過選擇、交叉、變異等遺傳操作，使可行解逐漸改善，最終獲得最優(yōu).

基本遺傳算法可表示為

式中C表示個體編碼方式；E表示個體適應(yīng)度評價(jià)函數(shù)；P0表示初始種群，M表示種群大小，θ表示選擇算子，Γ表示交叉算子，ψ表示變異算子，T表示算法終止條件.

基本遺傳算法流程圖如圖2所示.

3 改進(jìn)遺傳算法

上述基本遺傳算法對于導(dǎo)熱反問題的求解僅是概率性收斂［12］.本文首先借鑒目前大多數(shù)學(xué)者已提出的遺傳算法改進(jìn)措施，對基本遺傳算法作簡單改進(jìn)，得到GA?1.在GA?1的基礎(chǔ)上引入價(jià)值函數(shù)得到GA?2.在GA?2的基礎(chǔ)上再對其進(jìn)行改進(jìn)得到GA?3.具體操作過程如下.

GA?1：

1）采用實(shí)數(shù)編碼；

圖2 遺傳算法基本流程圖Fig.2 Flowchart of GA

2）對由目標(biāo)函數(shù)向適值函數(shù)的標(biāo)定如式（10）：

式中F為適應(yīng)度函數(shù)，f為個體目標(biāo)函數(shù)，fmax與fmin依次為當(dāng)前代中目標(biāo)函數(shù)值最大與最小的個體，r為小于1的正實(shí)數(shù).

3）變異方式上借鑒標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布原理.本文只對被選中進(jìn)行變異操作基因進(jìn)行變異操作，以提高算法的局部搜索能力，加速算法的收斂，具體做法為：假設(shè)某代種群中一個體可表示為G＝（g1g2g3g4g5g6g7g8），且已選中該個體第三基因位上的基因g3進(jìn)行變異操作，則其余基因位上基因值不變，第三基因位上基因值變?yōu)椋海絞3＋N（0，1），式中N（0，1）表示服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量.

4）保留每代種群中最優(yōu)個體.

GA?2：在GA?1基礎(chǔ)上融入如式（11）的價(jià)值函數(shù).

式中Jk（gij）表示第k代種群中第i個個體上第j位基因?qū)?yīng)的價(jià)值函數(shù)，gij表示在該代種群中第i個個體上第j基因位上的基因，fij表示對應(yīng)該個體的目標(biāo)函數(shù)值.其基本思想是計(jì)算每代種群中所有個體相同基因位上基因的價(jià)值函數(shù)，根據(jù)這一基因位上基因的價(jià)值函數(shù)大小進(jìn)行排序與重組種群.具體操作為：假設(shè)第k代種群中有且僅有三個個體，可表示為

若由式（11）計(jì)算得到J（g11）＝10，J（g21）＝14，J（g31）＝7，則根據(jù)這一基因位上基因的J值大小重組種群得到

第二位基因同理操作，直至最后一位基因.

GA?3：在GA?2基礎(chǔ)上做如下改進(jìn).

1）將種群中個體基于價(jià)值函數(shù)重組操作置于選擇操作之前.選擇方式上采用基于種群中個體適應(yīng)度值大小進(jìn)行排序的方法，其基本思想為將種群中所有M個體按適應(yīng)度值從小到大排序，則排序后第j個個體被選中的概率如式（12）所示.

2）交叉方式上采用擇優(yōu)交叉，每次交叉均進(jìn)行N次，在2N個子代中選擇適值最好的兩個個體加入新一代種群；

3）交叉點(diǎn)與變異點(diǎn)的位置利用Logistic混沌序列產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來確定.假設(shè)第k代種群中兩個體為

取初始值x（0）＝0.3，則x（1）＝4x（0）［1－x（0）］＝0.84，0.84×7＝5.88，取整得6，則第6位作為交叉點(diǎn)，保存此值作為以后確定交叉點(diǎn)的混沌迭代初值.變異操作同理.

三種改進(jìn)算法在導(dǎo)熱逆問題中求解流程如圖3、4所示.

4 計(jì)算結(jié)果與分析

本文采用數(shù)值方法計(jì)算求解式（1）、式（2）～（5）所描述的導(dǎo)熱正問題.首先采用有限體積法對圖1所示計(jì)算區(qū)域進(jìn)行離散，并引入邊界條件，得到每個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的離散方程，所有節(jié)點(diǎn)的離散方程構(gòu)成一非線性方程組.計(jì)算中采用逐行法迭代求解方程組，直至收斂后得到整個計(jì)算區(qū)域的溫度場.

圖3 GA?1與GA?2算法流程圖Fig.3 Flowchart of GA?1 and GA?2

圖4 GA?3算法流程圖Fig.4 Flowchart of GA?3

計(jì)算時各參數(shù)取值如表1所示.假設(shè)該材料真實(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)λ＝500＋0.01T，熱源強(qiáng)度S＝400W·m－1，代入式（1）、式（2）～（5）所示導(dǎo)熱正問題中求解，得到整個計(jì)算區(qū)域的溫度場，在邊界處選取若干點(diǎn)溫度值，用于代替實(shí)際測量值.

表1 各參數(shù)取值表Table 1 Values of parameters

4.1 三種改進(jìn)遺傳算法反演結(jié)果與分析

設(shè)定三種改進(jìn)算法種群進(jìn)化終止判據(jù)均為連續(xù)5代種群個體平均適應(yīng)度之差絕對值小于0.01，同時對最大迭代次數(shù)設(shè)置限制，限定三種改進(jìn)算法種群最大進(jìn)化代數(shù)MG均為150，作為終止程序執(zhí)行的準(zhǔn)則.將以上三種算法分別運(yùn)用于上述導(dǎo)熱逆問題的反演求解，每種算法均進(jìn)行3次反演計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2所示.從表中可以看出，GA?3具有最好的求解效率與計(jì)算精度，GA?2其次.GA?3是在GA?2基礎(chǔ)上，通過對選擇、交叉等遺傳操作的改進(jìn)，更好地將優(yōu)良基因傳遞至下一代，且采用混沌序列使得算法在初始反演階段對解空間的全局搜索能力更強(qiáng)，在計(jì)算即將收斂階段收斂速度更快，即算法的全局與局部搜索能力得到了提升.

表2中所列MGA算法是文獻(xiàn)［14］中提出的改進(jìn)遺傳算法.由表中所列計(jì)算結(jié)果可以看出，僅作簡單改進(jìn)的GA?1，雖然克服了概率性收斂問題，但計(jì)算效率與精度低于MGA；GA?2雖然求解所需時間略長于MGA，但反演精度高于MGA；而本文最終獲得的改進(jìn)遺傳算法GA?3，其計(jì)算效率與求解精度均明顯優(yōu)于MGA.

表2 計(jì)算結(jié)果Table 2 Calcu lation resu lts

為了解各算法在求解逆問題過程中種群進(jìn)化趨勢，限定三種改進(jìn)遺傳算法與MGA算法均進(jìn)行90代種群進(jìn)化，記錄四種改進(jìn)算法每代種群中最優(yōu)個體目標(biāo)函數(shù)值變化趨勢，如圖5.從圖5可以看出，在種群進(jìn)化代數(shù)相同的情況下，GA?3在反演計(jì)算中有著最高的求解精度.

GA?3中存在被選擇父代進(jìn)行N次交叉擇優(yōu)選擇子代這一操作，對于正整數(shù)N的選取，文中進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果如圖6.圖中ηN表示N取某正整數(shù)時程序運(yùn)行時間的倒數(shù).在達(dá)到幾乎相同的求解精度情況下，從圖中可知，N取4最優(yōu).

圖5 種群中最優(yōu)個體目標(biāo)函數(shù)隨代數(shù)的變化Fig.5 Objective functions of best individuals in population as functions of generations

圖6 求解效率隨N取值變化Fig.6 Calculation efficiency as a function of N

4.2 隨機(jī)噪聲對算法反演結(jié)果的影響

對于以上導(dǎo)熱逆問題的求解，測點(diǎn)溫度是通過求解導(dǎo)熱正問題模擬得到，為模擬測量誤差對計(jì)算結(jié)果的影響，在沒誤差的正問題的精確解上施加隨機(jī)噪聲向量ε，如式（13），以檢測算法在求解問題過程中的抗噪性能.

本文分別給予三種改進(jìn)算法以3％、6％的隨機(jī)噪聲各自進(jìn)行6次反演計(jì)算，用于模擬實(shí)際測量中出現(xiàn)的誤差，所得結(jié)果如圖7所示，取一次計(jì)算結(jié)果制成表3.從圖7中可知GA?3抗噪聲性能較GA?2稍好，GA?1抗噪聲性能次于GA?2.

圖7 輸入噪聲對計(jì)算結(jié)果的影響Fig.7 Influence of input noise on calculation results

表3 加入噪聲反演結(jié)果Table 3 Calculation results under input noise

4.3 測點(diǎn)數(shù)量及分布對反演結(jié)果的影響

在測點(diǎn)布置與數(shù)量選擇對導(dǎo)熱逆問題反演結(jié)果的影響方面，參照圖8，在計(jì)算區(qū)域東邊界上均勻設(shè)置16個可選測點(diǎn)，在北邊界靠近熱源位置設(shè)置3個可選測點(diǎn)，圖中均已標(biāo)明序號.通過選擇不同數(shù)量與位置處的測點(diǎn)，在不考慮噪聲的情況下，采用GA?3算法對文中導(dǎo)熱逆問題進(jìn)行反演求解，結(jié)果如表4所示.

圖8 測點(diǎn)編號示意圖Fig.8 Serial number ofmeasuring points

從表4中可以看出，No.1選擇東邊界上3個測點(diǎn)進(jìn)行反演計(jì)算，所得結(jié)果背離了真實(shí)值；采取No.5、No.6、No.7的測點(diǎn)數(shù)量與分布可反演得到正確的結(jié)果，反演精度接近一致且均比采取No.3、No.4時的反演精度要高；No.8有著最好的反演效率與精度.由表4可得出以下結(jié)論：（1）測點(diǎn)的布置應(yīng)適當(dāng)均勻且應(yīng)達(dá)到一定的數(shù)量，同時測點(diǎn)數(shù)目并不是越多越好，過多的測點(diǎn)數(shù)目只會影響計(jì)算效率.（2）測點(diǎn)在數(shù)量選擇上可從一個較小的數(shù)目開始，逐次遞增，直至相鄰兩次計(jì)算結(jié)果在一個設(shè)定的允許范圍之內(nèi)，則倒數(shù)第二次測點(diǎn)數(shù)目為最小觀測點(diǎn)數(shù)目.（3）對于文中導(dǎo)熱逆問題，當(dāng)材料內(nèi)部存在線狀軸向內(nèi)熱源且其位置已知，需要對其強(qiáng)度進(jìn)行反演的情況下，在測點(diǎn)布置方面應(yīng)盡可能使部分測點(diǎn)靠近熱源均布，測點(diǎn)位置越接近熱源，其上溫度對熱源強(qiáng)度的改變越敏感，越有利于結(jié)果的反演.

表4 測點(diǎn)數(shù)量及分布對最終結(jié)果的影響Table 4 Influence ofmeasuring point number and distribution on final results

5 結(jié)論

提出三種不同改進(jìn)階段的遺傳算法，分別對材料導(dǎo)熱系數(shù)與熱源強(qiáng)度反演求解.對三種改進(jìn)方法實(shí)例求解的收斂速度、計(jì)算精度的分析、比較，得到以下結(jié)論：GA?1克服了概率性收斂的問題；GA?2建立在GA?1基礎(chǔ)之上，通過引入價(jià)值函數(shù)，使得GA?2對導(dǎo)熱逆問題求解的收斂速度、計(jì)算精度和抗噪性能較GA?1得到明顯提升；在GA?2基礎(chǔ)上改進(jìn)得到的GA?3，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明其有著更高地針對導(dǎo)熱逆問題求解的收斂速度和計(jì)算精度，同時抗噪性也優(yōu)于GA?2.

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M odified Genetic Algorithm for Identifying M aterial
Thermal Properties and Strength of Heat Source

YAN F?an，LU Mei （School of Energy and Power Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

A mathematicalmodel for two?dimensional nonlinear inverse heat conduction problem（IHCP）is established.Three kinds of genetic algorithm at differentmodified phase are proposed for identifyingmaterial thermal conductivity and strength of heat source. Convergence speed and calculation precision of genetic algorithms at differentmodified phase are compared.Calculation results show that the genetic algorithm modified strategy proposed achieve higher convergence speed and calculation precision.

genetic algorithm；IHCP；thermal conductivity；strength of heat source

TL329

A

2014－09－25；

2014－12－18

國家自然科學(xué)基金（51176126）資助項(xiàng)目

顏帆（1989－），男，碩士，從事導(dǎo)熱逆問題優(yōu)化方法研究，E?mail：yanfanaust＠163.com

?通訊作者：盧玫（1957－），女，教授，從事導(dǎo)熱逆問題研究，E?mail：rose_luu＠usst.com

Received date： 2014－09－25；Revised date： 2014－12－18