一類帶時(shí)滯生物反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解

王宗毅

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516007）

1 引言

本文研究如下一類帶時(shí)滯和全局反應(yīng)的方程的行波解:

其中，w(t,x)表示生物種群在時(shí)刻t和地點(diǎn)x處的密度函數(shù),b(w(t-r,y))代表該生物種群的生長(zhǎng)函數(shù),μ∈[0,1],r代表生物的生長(zhǎng)周期,函數(shù)K(x)為核函數(shù).例如我們可設(shè)置核函數(shù)方程中常數(shù)d＞0代表該種群的遷徙或擴(kuò)散比率,dm＞0則代表種群死亡率.

方程(1.1)是一個(gè)在物理,化學(xué),生物等領(lǐng)域常見的模型.事實(shí)上,若假定(1.1)有兩個(gè)平衡解：w0=0和w+＞0,且生長(zhǎng)函數(shù)b(·)在區(qū)間[w0,w+]上為非單調(diào)遞減且滿足

對(duì)上述生長(zhǎng)函數(shù)為單調(diào)情形,Weng,Huang 和Wu]6[等應(yīng)用單調(diào)迭代技術(shù)構(gòu)造了對(duì)應(yīng)的上下解,從而證明了連接兩個(gè)平衡接w0和w+之間行波解的存在性.但如果生長(zhǎng)函數(shù)b(·)在區(qū)間[w0,w+]上為非單調(diào)函數(shù),則通過構(gòu)造上下解進(jìn)行迭代的方法就一般不能奏效.

最近,Faria,Huang 和Wu]4[提出了一種針對(duì)非單調(diào)時(shí)滯反映擴(kuò)散系統(tǒng)行波解存在性的方法,該方法可以揭示出格時(shí)滯反應(yīng)方程行波解的存在性與其對(duì)應(yīng)的常微分系統(tǒng)在R上的異宿軌間之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).從文[4]得到啟發(fā),我們?cè)诒疚闹袑⒀芯糠磻?yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)(1.1)的行波解和對(duì)應(yīng)無擴(kuò)散系統(tǒng)的異宿軌存在性之間的聯(lián)系.

2 主要定理

考察如下時(shí)滯方程：

假定生長(zhǎng)函數(shù)b(·)滿足如下條件:

(h1) b: R+→R+（R+表示區(qū)間[0,+∞)）是連續(xù)函數(shù),且方程-dmw+μb(w)=0存在唯一正值解w+，dmw＞μb(w),(w＞w+).

(h2) b′(s)在R+上存在；b(0)=0,b′(w+)＜0,dm＜μb′(0).

由以上假設(shè)易知,方程 (2.1)存在兩個(gè)平衡點(diǎn),分別設(shè)為：E1=0和E2=w+.

定義2.1 對(duì)任給初值函數(shù):φ(θ)，θ∈[0,1],稱函數(shù)u(t）,(t∈[-r,β])為方程(2.1)在[-r,β]的一個(gè)上(下)解是指:

設(shè)Cr=C([-r,0],R)為定義在區(qū)間[-r,0]到實(shí)數(shù)集R上由連續(xù)函數(shù)生成的Banach空間,Cr+=C([-r,0],R+). 對(duì)任意L＞0,我們記

[0,L]Cr={φ∈Cr:0≤φ(θ)≤L,θ∈[-r,0]}.

考察初值問題,

定義：f(φ)=dmφ(0)+μ(φ(-r)),則有

其中,φ1，φ2∈[0,L]Cr和φ1≥φ2.

證明 由f定義,我們有

因此,對(duì)0＞h及mhd＞1,有

φ1(0)-φ2(0)+h[f(φ1)-f(φ2)]≥[1-hdm][φ1(0)-φ2(0)]≥0.

從以上知不等式(2.3)成立.

注 注意到L和0分別為方程(2.2)的上解和下解,利用文[8]中推論5,我們可令

S(t,s)=T(t,s)=T(t-s),(t≤s≤0)及v+(t)=L,v-(t)=0,B(t,φ)=F(φ),

從而由解的存在唯一性定理可得方程(2.2)定義在t∈[-r,∞)上的解 v(t,φ)∈[0,L]Cr.

這也意味著對(duì)方程(2.2)來說,[0,L]Cr是Cr+的一個(gè)不變子集.

根據(jù)泛函微分方程的比較原理(見[5,Proposition 3]),我們知方程(2.1)的解w(t,φ)滿足初值條件φ且有w(t,φ)≤v(t,φ),t ∈[-r,∞),并且[0,L]Cr也是該方程在Cr+上的不變子集.

下面考察方程(2.1)在E1及E2處的特征方程,分別設(shè)為: Λ1(λ)=Λ2(λ)=0.

其中,

Λ1(λ)=λ+dm-μb′(0)e-λr;Λ2(λ)=λ+dm-μb′(w+)e-λr.

我們有如下結(jié)論.

引理 2.31E為雙曲的.

證 明 我們有,

由于Λ1(λ)是λ的單增函數(shù),可知Λ1(λ)=0具有正實(shí)部根λ0＞0. 因此方程的解在E1處對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定流形至少是一維的. 注意到Λ1(λ)=0 至多有限個(gè)根λ具有正實(shí)部,不妨設(shè)Λ1(λ)=0有 m(≥1)個(gè)根具正實(shí)部.

由于方程 Λ1(iβ)=0(β＞0)等價(jià)于

dm-μb′(0) cosβr=0,dm+μb′(0) sinβr=0.

因而有,

由(2.4)我們可知rβ落在第一象限,且

其中,n∈N0:={0}∪N. 令

若 0＜r＜r′～,則可知E1為雙曲的.

引理2.4 Λ2(λ)=0的所有根均為負(fù)實(shí)部.

證明 由Λ2(λ)=λ+dm-μb′(w+)e-λr=0,λ=α+iβ,我們有

α+dm-μb′(w+)e-αrcosβr=0,β+μb′(w+)e-αrsinβr=0. (2.5)

若|μb ′(w+)|≤dm,則(2.5)的第一個(gè)方程不存在非負(fù)解α. 我們用反證,若存在有α＞0使(2.5) 成立. 則會(huì)有

|α+dm|=|μb′(w+)e-αrcosβr|＜dm，

這是一個(gè)矛盾. 若有α=0,則dm=μb′(w+)cosβr,這不管是對(duì)β＞0或β=0均不可能.因而Λ2(λ)=0均為負(fù)實(shí)部.

若 |μb′(w+)|＞dm,對(duì)充分小r,我們可知Λ2(λ)=0所有根的實(shí)部也有：Reλ＜0. 事實(shí)上,若r=0,我們有α+dm=μb′(w+),從而α＜0.設(shè)α=0,β＞0,則從(2.5)知,

dm-μb′(w+)cosβr=0,β+μb′(w+)sinβr ＞0. （2.6）

從(2.6)及條件（2h）我們可知rβ位于第二象限,且成立

其中n∈N0.記:

則當(dāng)0≤r＜r′′,方程Λ2(λ)=0的所有根均具負(fù)實(shí)部.

對(duì)方程(2.1),我們有下面的穩(wěn)定性定理成立.

引理2.5假定

(i)函數(shù)V:Cr=C([-r,0],Rn)→R是連續(xù)的,V(0)=0;

(ii)u(s),v(s)為兩個(gè)非負(fù)連續(xù)函數(shù),u(s)→∞,(s→∞),v(0)=0;

(iii)u(|φ(0)|)≤V(φ);

其中導(dǎo)數(shù)按如下定義,

則方程(2.1)的所有解都有界且零解為李亞普諾夫穩(wěn)定的.如果)(sv 正定,則(2.1)的所有解當(dāng)+∞→t 均趨于0.

證 明 由文[4]中定理易知結(jié)論成立,證明此處省略.

利用引理2.5,我們得出本文的主要定理.

定理2.6假定（h1）-（h2）成立,且有

(i)存在c0＞0和c1＞0,|b(w)|≤c0,|b′(w)|≤c1,(w∈R+);

則方程(2.1)存在一個(gè)異宿軌解w*,且滿足邊值條件

證 明 考慮初始問題

其中λ0是特征方程Λ1(λ)=0的正實(shí)根.

我們用wT(t),t∈R表示系統(tǒng)(2.9)-(2.10)的解.則對(duì)T∈(-∞,0],我們得到一個(gè)解函數(shù)集合：{wT(t)}T∈(-∞,0].定義:

則對(duì)w*(t)有以下結(jié)論:

(1)w*(t)是方程(2.1)的解;

因而{wT(t)}T∈(-∞,0]在t∈R上是等度連續(xù)的.對(duì)任意N＞0,存在{wT(t)}T∈(-∞,0]的子列(為不失一般性,我們?nèi)砸詛wT(t)}T∈(-∞,0]表示)在[-N,N]上是一致收斂的.我們假設(shè)其極限函數(shù)為w*(t).由N的任意性,并注意到{wT(t)}T∈(-∞,0]的定義,我們可知w*(t)在t∈R上處處有定義,從而為方程(2.1)的一個(gè)解.

設(shè)0＞ε,選取T＜0,|T|充分大使得,

若t＜T,則我們可得,

令x(t)=w(t)-w+,t∈R 則可得關(guān)于x的方程,

定義泛函,

則可知,

對(duì)上面等式兩邊沿著方程(2.13)的解求導(dǎo)得,

其中,?(t)介于x(t)+w+和w+之間,t∈R. 由假設(shè)(i)和(ii)及上述方程的推導(dǎo)可得,

定義：u(s)=s2，v(s)=-[(2k-1)-c12]s2.

則有,

易知)(sv為正定函數(shù). 另一方面,從(2.14)有

因此,由引理2.5我們可知,當(dāng)t→∞時(shí),方程(2.1)的任何解w(t)=x(t)+w+都會(huì)趨于w+. 因而(ii) 成立.

從(i) 和(ii) 可導(dǎo)出w*(t)是方程(2.1)的解并滿足邊值條件(2.8),從而結(jié)論成立.

由引理2.1-引理 2.4,我們可進(jìn)一步推知,

引理2.7 文[3]中條件 (H1)-(H4)條件均成立.

證明 略.

由引理2.1-引理2.5,及定理2.1,利用文[3]中主要定理,我們即可得到關(guān)于反應(yīng)擴(kuò)散方程(1.1)的行波解的如下結(jié)論:

定理2.8 假設(shè)引理2.3中的條件成立.

令

［1］CHOW S N,HALE J K. Methods of Bifurcation Theory,New York:Springer- Verlag,1982.

［2］ CHOW S N,LIN X B,MALLET-PARET J. Transition layers for singularly perturbed delay differential equations with monotone nonlinearities,J. Dynamics and Diff. Equations,1,3-43,1989.

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［4］HALE J K. Theory of Functional Difrrential Equations,New York: Springer-Verlag,1977.

［5］ MARTIN R H,SMITH H L. Abstract functional differential equations and reaction-diffusion systems,Trans. Amer. Math. Soc.,321,1- 44,1990.

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