渤海夏季第一斜壓羅斯貝變形半徑的計算與分析

張曉璐，熊學(xué)軍＊

（1.國家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061；2.海洋環(huán)境科學(xué)和數(shù)值模擬國家海洋局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266061）

渤海，是一個深入中國大陸的半封閉淺海，北、西、南三面被陸地包圍，僅通過東面的渤海海峽與黃海溝通。注入渤海的沿岸河流眾多，北有遼河、大遼河、大凌河，西有海河、灤河，南有黃河、小清河，因此形成了渤海獨(dú)特的水文特征及動力結(jié)構(gòu)。相較于冬季，渤海夏季的風(fēng)速小，主要為熱鹽流。近年來，大量的數(shù)值模擬工作及調(diào)查研究表明，夏季渤海多存在一些局地范圍的環(huán)流，如渤海中部的順時針環(huán)流，長興島以西的遼東灣海域的逆時針環(huán)流，以及在渤海南部的萊州灣存在弱的順時針環(huán)流等［1］。

在海洋環(huán)流的理論研究和數(shù)值模擬中，羅斯貝變形半徑是一個極其重要的水平尺度，它描述了地球旋轉(zhuǎn)對流體運(yùn)動的影響。這個概念，最早是由Carl－Gustav Rossby于1938年在研究地轉(zhuǎn)調(diào)整中提出的。若海面高度變化在調(diào)整過程中的尺度與羅斯貝變形半徑相比為小量，則壓強(qiáng)梯度非常大，重力支配運(yùn)動的狀態(tài)；但是，當(dāng)海面高度的變化發(fā)展到具有羅斯貝變形半徑尺度的范圍時，科氏力項(xiàng)變得同壓強(qiáng)梯度項(xiàng)同等重要［2］。簡言之，即在羅斯貝變形半徑這個距離尺度上，科氏力使自由面變形的趨勢與壓強(qiáng)梯度力使自由面復(fù)原的趨勢相平衡。在海洋中，斜壓羅斯貝變形半徑是一種常與邊界現(xiàn)象（諸如邊界流、鋒面）以及渦旋有聯(lián)系的自然尺度，是設(shè)置數(shù)值模式參數(shù)的重要參考。有研究表明，在模擬中尺度運(yùn)動時，網(wǎng)格大小應(yīng)當(dāng)是羅斯貝變形半徑的一半，或者是其三分之一［3］。

國外對斜壓羅斯貝變形半徑的研究已有不少。Emery等［4］在1984年用氣候態(tài)的溫鹽剖面數(shù)據(jù)計算了北太平洋和北大西洋的斜壓羅斯貝變形半徑；Houry等［5］在1987年用NODC的溫鹽數(shù)據(jù)計算了南大西洋的斜壓羅斯貝變形半徑；特別地，Chelton等［6］在1996年利用NODC的1°×1°的氣候態(tài)的溫鹽數(shù)據(jù)計算了全球大洋的第一斜壓羅斯貝變形半徑以及對應(yīng)的全球范圍的第一斜壓重力波相速度，對后來學(xué)者的研究工作起了重要的啟示和參考作用。除了大洋中，在內(nèi)海也有針對斜壓羅斯貝變形半徑的專門研究，如Fennel等［7］、Alenius等［8］以及Osinsik等［9］曾分別利用航測溫鹽剖面數(shù)據(jù)計算了波羅的海、芬蘭灣的斜壓羅斯貝變形半徑。但在國內(nèi)，有關(guān)斜壓羅斯貝變形半徑的研究工作不多，甘子鈞和蔡樹群［9］，蔡樹群等［10］，曾用Levitus和NODC標(biāo)準(zhǔn)層上的氣候態(tài)的溫鹽資料計算過南海斜壓羅斯貝變形半徑的地理及季節(jié)變化以及相應(yīng)的第一斜壓重力波相速度。

在渤海進(jìn)行第一斜壓羅斯貝變形半徑的計算和研究尚未發(fā)現(xiàn)。本文在觀測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，分別利用WKB近似和數(shù)值解法，對渤海夏季第一斜壓羅斯貝變形半徑進(jìn)行了計算和分析，希望有助于渤海環(huán)流、中尺度渦旋，以及與此相關(guān)的其他海洋現(xiàn)象的研究。

1 資料

本文所用資料為渤海2006年夏季的溫度和鹽度大面觀測資料，觀測儀器為日本ALEC公司的AAQ1183系列的CTD，觀測時間為2006－07－18—08－12。為方便對下文計算結(jié)果分析對比，將整個渤海劃分為6個區(qū)域，分別為渤海東部海區(qū)、遼東灣海域、北戴河附近海域、天津附近海域、黃河口三角洲海域以及萊州灣海域。觀測站位分布，渤海區(qū)劃及渤海水深如圖1所示。

2 計算方法

羅斯貝變形半徑在數(shù)學(xué)表達(dá)上，可以理解為：在地球旋轉(zhuǎn)特征周期這一時間尺度上，長重力波傳播的特征距離［11］。在緯度大于5°的海域，羅斯貝變形半徑可以寫為：

式中，f＝2Ωsin（θ）是科氏參數(shù)；Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度；θ為地理緯度。當(dāng)n＝0時，c0為海洋中正壓波的相速度，對應(yīng)的R0為正壓羅斯貝變形半徑；當(dāng)n＝1時，c1為第一斜壓重力波相速度，對應(yīng)的R1為第一斜壓羅斯貝變形半徑。第一斜壓羅斯貝變形半徑在海洋環(huán)流理論方面起重要作用，是中尺度渦、沿岸射流和赤道流等的水平尺度［10］，故本文主要研究第一斜壓重力波相速度以及對應(yīng)的第一斜壓羅斯貝變形半徑。通常如不特別說明，斜壓羅斯貝變形半徑均指第一斜壓羅斯貝變形半徑。

在不考慮底摩擦和風(fēng)應(yīng)力，引入平底、海面剛蓋近似，及Boussinesq近似的假設(shè)下，穩(wěn)定層化海洋水平大尺度波動的垂直結(jié)構(gòu)滿足：

式中，H為水深；φ（z）為垂向速度分離變量后只與z有關(guān)的垂向函數(shù)；N（z）為Brunt－V?is?l?頻率，亦稱浮性頻率，忽略壓縮性的影響，其表達(dá)式為：

式中，ρ表示密度；g表示重力加速度。

方程（2）及邊界條件（3）組成了典型的Sturm－Liouville問題，求解羅斯貝變形半徑，即轉(zhuǎn)換成求解Sturm－Liouville本征值的問題［2］。對于連續(xù)層化的海洋，方程（2）對應(yīng)的本征值是一組有序、非負(fù)的數(shù)列：。對應(yīng)的本征函數(shù)為φ1（z），φ2（z），φ3（z）…，下標(biāo)表示模態(tài)數(shù)（mode number）。cn表征第n模態(tài)斜壓重力波相速度，由c1和科氏參數(shù)f便可確定第一斜壓羅斯貝變形半徑R1。

2.1 WKB近似

在求解由方程（2）及邊界條件（3）組成的Sturm－Liouville問題中，WKB近似是一種快捷有效的方法［6］。其基本思想是把φ（z）寫成下面的小參數(shù)冪級數(shù)的指數(shù)形式：

根據(jù)本文的情況，在小參數(shù)冪級數(shù)中引入虛數(shù)單位i。將式（5）代入方程（2）中，令ε的同次冪系數(shù)相等，可得遞推方程組：

通過遞推方程組求解χ0（z），χ1（z），代入到式（5）中，只保留冪級數(shù)顯著的前兩項(xiàng)，即可得出φ（z）的WKB近似解：

式中，A，B為任意常系數(shù)，代入邊界條件（3）得：

即

當(dāng)n＝1時，通過式（8）和式（9）便可求解出第一斜壓重力波相速度c1和第一斜壓羅斯貝變形半徑R1。

2.2 數(shù)值解法

數(shù)值解法是將本征值問題離散化后求解的過程。在相鄰離散深度zk、zk＋1上，利用中間密度梯度法（neutral density gradient method）［6］，將現(xiàn)場密度絕熱調(diào)整到中間深度ζk＝zk＋1／2（圖2），然后估計浮性頻率的平方N2（z）：

圖2 數(shù)值解法中在離散深度上求解浮性頻率的示意圖Fig.2 Schematic diagram of vertical discretization in numerical method

據(jù)Chelton等［6］的建議，為了求羅斯貝變形半徑，如果得到的N2（ζk）為負(fù)值，用相鄰較淺深度ζk－1上的N2（ζk－1）代替；若N2（ζ1）為負(fù)值，令N2（ζ1）為10－8。

為了得到數(shù)值解，在深度ζk上離散本征值方程。首先，φ（z）在z＝ζk（k＝1，…，n－1）上進(jìn)行泰勒展開：

通過式（11）求取φ（ζk－1）、φ（ζk＋1），消除φ′（ζk）項(xiàng)后有：

其中，

把式（11）代入到方程（2）中，得到n－1個離散方程，移項(xiàng)整理得：

式中，

根據(jù)本文的情況，定義邊界條件為：

至此，將求解Sturm－Liouville本征值問題轉(zhuǎn)換成求n－1階矩陣特征值的問題［6］：

式中，

由式（18）可解出n－1個特征值μ1，…，μn－1，對應(yīng)第一個特征值μ1，通過式（16）解出第一斜壓重力波相速度c1和第一斜壓羅斯貝變形半徑R1。

3 結(jié)果分析

圖3和圖4分別給出了通過WKB近似和數(shù)值解法求出的渤海夏季第一斜壓重力波相速度和第一斜壓羅斯貝變形半徑的分布。兩種算法下得到的渤海夏季第一斜壓重力波相速度和第一斜壓羅斯貝變形半徑的分布格局相似。斜壓重力波相速度與斜壓羅斯貝變形半徑依賴于浮性頻率的積分深度，即與實(shí)際水深有密切關(guān)系，故它們的分布與渤海水深分布大體一致，等值線呈耳狀分布。在北戴河和長興島附近海域，斜壓重力波相速度與斜壓羅斯貝變形半徑最大，然后向岸逐漸遞減。在渤海中部等值線發(fā)生明顯彎曲，在靠近渤海海峽內(nèi)側(cè)斜壓重力波相速度與斜壓羅斯貝變形半徑出現(xiàn)一個小值，而與之對應(yīng)在渤海中部以西出現(xiàn)一個大值，導(dǎo)致等值線呈NE－SW向傾斜的“S”狀。

圖3 WKB近似結(jié)果Fig.3 Result of WKB method

圖4 數(shù)值方法計算結(jié)果Fig 4 Result of numerical method

表1 WKB近似計算得出的第一斜壓重力波相速度和第一斜壓羅斯貝變形半徑Table 1 The first baroclinic gravity wave phase speed and Rossby deformation radius calculated by WKB method

表2 數(shù)值方法計算得出的第一斜壓重力波相速度和第一斜壓羅斯貝變形半徑Table 2 The first baroclinic gravity wave phase speed and Rossby deformation radius calculated by numerical method

在WKB近似下，渤海夏季第一斜壓羅斯貝變形半徑的最大值出現(xiàn)在長興島附近海域，為3.13km，對應(yīng)的斜壓重力波相速度最大為0.28m／s；在萊州灣海域斜壓羅斯貝變形半徑和對應(yīng)的斜壓重力波相速度最大值僅為0.95km和0.08m／s；在遼東灣海域、北戴河附近海域、天津附近海域和黃河口三角洲海域，斜壓羅斯貝變形半徑和斜壓重力波相速度的最大值分別為1.58，2.56，2.02和1.60km，以及0.15，0.24，0.18和0.14m／s。

在數(shù)值解法下，第一斜壓羅斯貝變形半徑與第一斜壓重力波相速度的值均比在 WKB近似下的值大。最大值出現(xiàn)在北戴河附近海域，為4.72km和0.44m／s；次最大值出現(xiàn)在長興島附近海域，為4.51km和0.42m／s；在萊州灣海域斜壓羅斯貝變形半徑和斜壓重力波相速度的最大值較小，分別為1.76km和0.16 m／s。在遼東灣海域、天津附近海域和黃河口三角洲海域的最大值分別為2.97，2.37，2.55km和0.28，0.22，0.23m／s。兩種算法得出的第一斜壓羅斯貝變形半徑的比較見圖5。

圖5 兩種算法得出的第一斜壓羅斯貝變形半徑的比較Fig.5 Comparison between the WKB approximation and numerical estimate R1 of the first baroclinic Rossby deformation radius

從圖5可以看出，渤海夏季第一斜壓羅斯貝變形半徑在WKB近似下的結(jié)果總體低于數(shù)值解法求出的結(jié)果，同樣的情況也出現(xiàn)在其它海區(qū)的相關(guān)研究中。Fennel等［7］和Osinski等［8］在波羅的海的斜壓羅斯貝變形半徑的計算中均表明，WKB近似的結(jié)果偏小于數(shù)值解，F(xiàn)ennel指出偏小10%～30%［7］。這主要是因?yàn)椋琖KB近似適用于浮性頻率垂向變化較弱的情況。由式（9）和式（10）可以看出，在 WKB近似中，第一斜壓重力波的相速度和第一斜壓羅斯貝變形半徑依賴于浮性頻率隨水深的積分，而在實(shí)際求解的過程中，將連續(xù)的海洋分為若干層處理，浮性頻率一般取所在層的平均值，忽略了浮性頻率的變化。故當(dāng)浮性頻率垂向變化較大，WKB近似計算誤差較大。但在深海大洋中計算羅斯貝變形半徑，WKB近似的結(jié)果偏大［6］，在此不作詳細(xì)討論。

圖3b和圖4b中標(biāo)出了斜壓羅斯貝變形半徑出現(xiàn)極值的區(qū)域，其中在北戴河和長興島附近海域的極大值區(qū)有13個站點(diǎn)，在渤海中部以西海域的極大值區(qū)有7個站點(diǎn)，而在渤海中部以東海域的極小值區(qū)有9個站點(diǎn)。根據(jù)這些站點(diǎn)的溫鹽數(shù)據(jù)，計算了極值區(qū)域的浮性頻率的垂向分布，如圖6所示。

圖6 渤海三極值區(qū)浮性頻率垂向分布圖Fig.6 Profile of Brunt－V?is?l?frequency in the three extreme areas

由圖6可見，在北戴河和長興島附近海域，以及渤海中部以西海域，浮性頻率的垂向分布較大，導(dǎo)致該海域較強(qiáng)的斜壓性，因此計算得出的第一斜壓羅斯貝變形半徑在該海域出現(xiàn)極大值。而在渤海中部以東海域，浮性頻率的垂向分布整體較小，計算得出的第一斜壓羅斯貝變形半徑在該海域出現(xiàn)極小值。

圖7繪制了整個渤海夏季浮性頻率的垂向分布?？梢娫谒?dbar附近浮性頻率達(dá)到最大，達(dá)0.13s－1，這一深度也是渤海夏季躍層發(fā)生的深度。隨著深度變大，浮性頻率逐漸減小，到水深20dbar的附近，浮性頻率降至約0.04s－1，因此可以看出，渤海夏季浮性頻率垂向上變化較大，故在計算第一斜壓羅斯貝變形半徑的過程中，WKB近似的誤差較大，建議采用斜壓羅斯貝變形半徑的數(shù)值解。

圖7 整個渤海夏季浮性頻率垂向分布圖Fig.7 Vertical distribution of Brunt－V?is?l?frequency in the whole Bohai Sea

4 結(jié)論

本文利用渤海2006年夏季的溫度和鹽度大面觀測資料，運(yùn)用WKB近似和數(shù)值方法計算了渤海夏季第一斜壓羅斯貝變形半徑和第一斜壓重力波相速度。結(jié)果顯示，兩種不同算法得出的斜壓羅斯貝變形半徑和斜壓重力波相速度的分布格局相似，與渤海等深線分布大體一致。數(shù)值解法下，在北戴河和長興島附近海域，斜壓羅斯貝變形半徑較大，最大為4.72km，對應(yīng)的斜壓重力波相速度最大為0.44m／s；在萊州灣海域，斜壓羅斯貝變形半徑較小，最大僅為1.76km，對應(yīng)的斜壓重力波相速度最大為0.16m／s；在渤海中部斜壓羅斯貝變形半徑和斜壓重力波相速度的等值線發(fā)生明顯彎曲，在靠近渤海海峽內(nèi)側(cè)出現(xiàn)一個小值，而與之對應(yīng)在渤海中部以西出現(xiàn)一個大值，導(dǎo)致等值線呈NE－SW向傾斜的“S”狀。在遼東灣海域、天津附近海域和黃河口三角洲海域，斜壓羅斯貝變形半徑和斜壓重力波相速度的最大值分別為2.97，2.37和2.55km，以及0.28，0.22和0.23m／s。

渤海夏季浮性頻率的垂向變化較大，在水深8dbar附近浮性頻率達(dá)到最大。在WKB近似計算渤海夏季第一斜壓羅斯貝變形半徑的過程中，因其依賴于浮性頻率對水深的積分，得出的結(jié)果誤差較大，其值低于數(shù)值解法求出的結(jié)果。

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