用單調(diào)函數(shù)優(yōu)化社會擴大再生產(chǎn)

摘 要：根據(jù)社會擴大再生產(chǎn)的充分必要條件，形成社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題，并將這一優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成一個求一元函數(shù)的最大值問題。運用函數(shù)的單調(diào)性和某一部類的最高、最低積累率，簡便地獲得社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

關(guān)鍵詞：社會擴大再生產(chǎn) 優(yōu)化 單調(diào)函數(shù) 最優(yōu)解

中圖分類號：F014.6 ?文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-4914（2015）09-030-02

一、實現(xiàn)社會再生產(chǎn)與社會再生產(chǎn)公式求解的對應(yīng)

馬克思擴大再生產(chǎn)理論及其公式對于研究宏觀經(jīng)濟具有重大的理論指導(dǎo)作用。馬克思社會再生產(chǎn)理論在兩大部類社會再生產(chǎn)公式得到集中體現(xiàn)。按照馬克思社會再生產(chǎn)理論，社會生產(chǎn)部門劃分成生產(chǎn)資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類。第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在年初的總資本分解成用于購買生產(chǎn)資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為Cj，Vj，按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式中的假定，設(shè)Cj和Vj都是每年周轉(zhuǎn)一次;Cj作為中間消耗轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品當(dāng)中，Vj在產(chǎn)品當(dāng)中新創(chuàng)造出來，并產(chǎn)生剩余價值Mj;第j部類的不變資本對于可變資本的固定不變倍數(shù)hj表示該部類的資本有機構(gòu)成，剩余價值Mj與可變資本Vj之間保持固定不變的比率ej是剩余價值率。以Yj，Xj分別表示第j部類的新創(chuàng)造價值、總產(chǎn)值，對確定了含義的字母前面加符號△表示在當(dāng)年再生產(chǎn)過程中所形成的增量，以Mxj表示第j部類投資者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分。由于剩余價值Mj是形成本部類的新增資本和投資者的個人消費的唯一來源，所以社會再生產(chǎn)公式中有剩余價值使用的行為方程：

△Cj+△Vj+Mxj=Mj j=I，II （1）

實現(xiàn)再生產(chǎn)意味著當(dāng)年的全部生產(chǎn)資料、消費資料的使用量與生產(chǎn)量平衡，因而分別有生產(chǎn)資料、消費資料的均衡條件：

式（2）、（3）的左右兩邊分別表示了全社會的生產(chǎn)資料、消費資料的總需求和總供給。

式（1）、（2）、（3）組成了社會再生產(chǎn)公式。實現(xiàn)社會再生產(chǎn)就是能夠從式（1）、（2）、（3）中獲得一組待定變量△Cj，△Vj，Mxj的解。當(dāng)△CI，△CII當(dāng)中至少有一個大于零，就對應(yīng)著擴大再生產(chǎn);當(dāng)△CI，△CII同時為零，就對應(yīng)著簡單再生產(chǎn)。

因為每個部類的資本有機構(gòu)成固定不變，那么剩余價值使用的行為方程式（1）可以改寫成：

將式（2）化簡，與將式（1）與（4）都代入式（3）并化簡得到的結(jié)果完全一樣。都是：

△CI+△CII=YI-CII ?△CI，△CII≥0（5）

所以，式（5）就是簡化的社會再生產(chǎn)公式，這時公式就只含有一個方程和△CI，△CII兩個變量。

按照馬克思社會再生產(chǎn)理論，社會總產(chǎn)品是由生產(chǎn)資料、消費資料兩種不同用途的產(chǎn)品共同組成。（YI-CII）表示生產(chǎn)資料總產(chǎn)品扣除掉兩個部類的生產(chǎn)資料消耗后剩余的部分，是用于擴大再生產(chǎn)的生產(chǎn)資料總供給，在當(dāng)年數(shù)量是既定的，表示了一種狀態(tài)。而這種狀態(tài)隨著年份不同而不同，所以可以看作是狀態(tài)變量。陶為群（2014）提出并證明了社會擴大再生產(chǎn)的充分必要條件是狀態(tài)變量取值的一個限定區(qū)間：

由于每個部類內(nèi)部的結(jié)構(gòu)是固定不變的，因而再用兩大部類新創(chuàng)造價值之間的比例表示兩大部類之間的當(dāng)年結(jié)構(gòu)，就可以與資本有機構(gòu)成、剩余價值率所表示的部類內(nèi)部結(jié)構(gòu)一起，完整地反映當(dāng)年社會再生產(chǎn)的全部結(jié)構(gòu)。兩大部類之間的當(dāng)年結(jié)構(gòu)是：

是以比例形式表現(xiàn)的狀態(tài)變量。將式（7）代入社會擴大再生產(chǎn)的充分必要條件式（6），得到結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量？漬取值的一個限制區(qū)間。

（YI-CII）是當(dāng)年全社會的生產(chǎn)資料總產(chǎn)品當(dāng)中的一個既定部分。式（7）表明了擴大再生產(chǎn)對于這一部分生產(chǎn)資料相對最低、最高數(shù)量限制，實際上就表明了對于生產(chǎn)資料總產(chǎn)品的最低、最高數(shù)量限制。又因為社會總產(chǎn)品是由生產(chǎn)資料、消費資料兩種不同用途的產(chǎn)品共同組成，所以，對于生產(chǎn)資料總產(chǎn)品的相對最低、最高數(shù)量限制，實際上就分別是對于生產(chǎn)資料占社會總產(chǎn)品的最低、最高比例限制。這一點又等價于兩種社會產(chǎn)品當(dāng)中的一種產(chǎn)品對于另一種產(chǎn)品的最低或者最高比例的限制。正因為如此，式（6）所表明的擴大再生產(chǎn)的充分必要條件，可以替換成用消費資料產(chǎn)品與生產(chǎn)資料產(chǎn)品之間比例狀態(tài)的？漬最低、最高取值式（8）表示。

二、運用單調(diào)函數(shù)優(yōu)化社會擴大再生產(chǎn)

擴大再生產(chǎn)的最一般結(jié)果就是有新增的社會產(chǎn)品。由于每個部類所生產(chǎn)的新增的社會產(chǎn)品的價值構(gòu)成是固定不變的，所以本部類新增的社會產(chǎn)品中的任何一個部分，都能夠一般地代表整個新增的社會產(chǎn)品。為了便于和現(xiàn)代經(jīng)濟模型中的產(chǎn)品或者產(chǎn)出概念銜接，這里以第j部類新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）△Yj一般地代表該部類新增的社會產(chǎn)品（j=Ⅰ，Ⅱ）。那么，下一年相對于本年兩個部類新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）總和△Y是：

△Y=△YI+△YII（9）

△Y能夠最一般地表示擴大再生產(chǎn)的結(jié)果。根據(jù)每個部類內(nèi)部的固定不變結(jié)構(gòu)關(guān)系，有：

擴大再生產(chǎn)的實質(zhì)是剩余價值用作資本積累轉(zhuǎn)化成資本，包括新增不變資本、可變資本兩個部分。以μj表示第j部類的剩余價值積累率，那么式（4）可以改寫成：

將式（11）代入（10），得到：

將式（10）和（12）代入簡化的社會再生產(chǎn)公式（5），得到：

將的表達式（7）以及每個部類內(nèi)部的固定不變結(jié)構(gòu)關(guān)系代入式（13），得到：

式（14）表示了擴大再生產(chǎn)中的兩個部類積累率μI，μII之間的相互匹配關(guān)系。陶為群（2011）從式（14）中將μI作為μII的函數(shù)解出：

將式（12）和（15） 代入（9），并利用？漬的表達式（7）以及每個部類內(nèi)部的固定不變結(jié)構(gòu)關(guān)系，得到：

根據(jù)式（16），全社會的投資所產(chǎn)生的下一年新增的新創(chuàng)造價值是第Ⅱ部類積累率變量μII的函數(shù)。因為第j部類的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)出）與不變資本之間的比率Yj/（Cj=1+ej）/hj是該部類的不變資本產(chǎn)出率（j=Ⅰ，Ⅱ），所以式（16）表明，△Y是μII的單調(diào)函數(shù)。在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率不低于第Ⅱ部類即（1+eI）/hI≥（1+eII）/hII的條件下，△Y是μII的單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)μII取最小值時△Y取得最大值;而在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率低于第Ⅱ部類即（1+eI）/hI<（1+eII）/hII的條件下，△Y是μII的嚴格單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)μII取最大值時△Y取得最大值。所以，可以運用△Y是μII的單調(diào)函數(shù)優(yōu)化社會擴大再生產(chǎn)。

陶為群（2011）給出了第Ⅱ部類的最低積累率min（μII）和最高積累率max（μII）的表達式。

于是，在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率不低于第Ⅱ部類的條件下，取μII*=min（μII），再代入式（16）得到新增的新創(chuàng)造價值△Y的最大值max（△Y）。

而在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率低于第Ⅱ部類的條件下，取μII*=max（μII），再代入式（16），得到新增的新創(chuàng)造價值△Y的最大值max（△Y）。

因為擴大再生產(chǎn)的實質(zhì)是剩余價值用作資本積累，所以擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題就是資本積累的優(yōu)化問題，以上所獲得使擴大再生產(chǎn)得以優(yōu)化的積累率μII*并代入式（15）相應(yīng)確定μI*，就是全社會的最優(yōu)資本積累。

綜合本文的全部論析說明，根據(jù)社會擴大再生產(chǎn)的充分必要條件，可以將一般的擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成一個求一元單調(diào)函數(shù)的最大值問題，運用函數(shù)的單調(diào)性和某一部類的最高、最低積累率，簡便地求得擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

參考文獻：

[1] 陶為群.兩大部類擴大再生產(chǎn)的充分必要條件與求解[J].經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2014（3）

[2] 陶為群.馬克思再生產(chǎn)模型中的最高、最低積累率[J].巢湖學(xué)院學(xué)報，2011（4）

（作者單位：中國人民銀行南京分行 江蘇南京 210004）

（作者簡介：陶為群，中國人民銀行南京分行巡視員，研究員，安徽財經(jīng)大學(xué)兼職教授，主要研究方向：馬克思主義經(jīng)濟學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)。）

（責(zé)編：賈偉）