旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外振動的行波法研究*

何虹 黃迪山

（上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072）

旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外振動的行波法研究*

何虹 黃迪山?

（上海大學(xué)機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072）

以高速球軸承保持架為應(yīng)用對象，針對旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的平面外振動問題，開展彈性波傳播的基本特性研究，分析平面外波動的色散方程、波數(shù)、截止頻率、相速度以及位移耦合系數(shù).基于行波動力學(xué)方法，根據(jù)波動正向傳遞的判據(jù)，將正負(fù)行波的波數(shù)進(jìn)行分離.結(jié)合相位封閉原理和波傳遞矩陣，建立旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的頻率特征方程.文中算例給出了旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)平面外振動的固有頻率，對其計算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果作了比較，驗(yàn)證了計算方法的準(zhǔn)確性.

平面外振動，旋轉(zhuǎn)圓環(huán)，行波法，波數(shù)

引言

行波法是將彈性結(jié)構(gòu)的振動描述成波導(dǎo)中波的傳播和衰減.近幾年，研究行波法對平面內(nèi)靜止結(jié)構(gòu)的工作已取得一定進(jìn)展.Mead D J［1］提出相位封閉原理（the phase-closed principle），奠定了彈性結(jié)構(gòu)行波動力學(xué)分析的基礎(chǔ)，使行波法成為一種有效的結(jié)構(gòu)計算方法，該方法逐漸應(yīng)用于梁、轉(zhuǎn)子等結(jié)構(gòu)的振動分析之中.

最近，Mei C推導(dǎo)了Timoshenko梁中波的傳遞關(guān)系，給出了波在不連續(xù)節(jié)點(diǎn)處的散射特性，并且根據(jù)結(jié)構(gòu)振動的廣義位移連續(xù)性條件和廣義力平衡條件，推導(dǎo)出了L型［2］、H型［3］、多層型等其它平面框架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)處的反射和透射矩陣，成功地計算平面框架結(jié)構(gòu)的振動特性［4］.Chouvion B［5］使用行波法計算環(huán)-梁結(jié)構(gòu)的微機(jī)電系統(tǒng)傳感器的動力學(xué)參數(shù)，并且利用這些參數(shù)對傳感器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計.Kang B［6］研究了平面內(nèi)靜止彎曲梁的行波動力學(xué)建模方法，在忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪力對梁微元體的影響情況下，求得了在擴(kuò)張和非擴(kuò)張情況下的彎曲Euler-Bernoulli梁模型的行波解.然而，行波法應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的研究僅剛剛起步.文獻(xiàn)［7］根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，用行波法給出了平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)不等截面圓環(huán)波譜特性以及固有頻率.

另外，研究彎曲梁平面外振動問題基本上集中于靜止?fàn)顟B(tài).Lee S Y［8］在忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪力的情況下，研究了靜止非勻質(zhì)彎曲梁平面外振動特性.Chouvion B［9］使用行波法研究了平面外靜止環(huán)-梁結(jié)構(gòu)的自由和受迫振動問題.對于旋轉(zhuǎn)類物體研究，有關(guān)振動問題的涉及較少.Eley R［10］考慮了Coriolis耦合作用的影響，用模態(tài)法分析了基于旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的多軸速度傳感器結(jié)構(gòu)，得到平面外振動特性.蔣寶坤等人［11］運(yùn)用多尺度法研究了平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)粘彈性夾層梁的非線性自由振動特性.周延澤等人［12］使用模態(tài)分析法給出了考慮轉(zhuǎn)速影響的軸承保持架在平面內(nèi)振動和平面外彎曲扭轉(zhuǎn)耦合振動的固有頻率表達(dá)式.

本文將以高速球軸承保持架為應(yīng)用對象，基于Euler-Bernoulli旋轉(zhuǎn)彎曲梁模型，用波動法研究平面外軸向和彎曲耦合振動，分析振動波在旋轉(zhuǎn)彎曲梁中傳播的基本特性.根據(jù)振動波正反向傳遞相位封閉的原理，獲得旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外振動的頻率特征方程以及固有頻率.最后，將行波計算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］結(jié)果進(jìn)行比較，分析其一致性.

1 運(yùn)動方程

圖1所示的是一個以轉(zhuǎn)速Ω繞著Z軸旋轉(zhuǎn)的薄壁圓環(huán).沿圓周中性線的坐標(biāo)由y表示，與中性線垂直的徑向坐標(biāo)和軸向坐標(biāo)分別由x和z表示.橫截面的寬和高分別由b和h表示.圓環(huán)橫截面中性線在軸向的位移為w，繞y軸的扭轉(zhuǎn)角位移為φ.

根據(jù)文獻(xiàn)［13］得到薄壁圓環(huán)平面外的振動方程：

由方程（1a）和（1b）可知，軸向位移w和扭轉(zhuǎn)角位移φ是互為耦合的.其中，E為彈性模量，G為剪切模量，I0為x軸的慣性矩，Ip為y軸的極慣性矩，R為曲率半徑，Ω為轉(zhuǎn)速，A為橫截面積，t為時間，θ為角度坐標(biāo).ue為常數(shù)，表示為ue＝R.如果將Ω＝0代入到方程（1）中，則簡化后的振動方程與文獻(xiàn)［9］所述的振動方程一致.

基于Euler-Bernoulli梁理論的彎曲梁，振動彈性波動是多色波，存在色散現(xiàn)象.在研究旋轉(zhuǎn)圓環(huán)波動的傳遞特性時，設(shè)振動方程（1）的通解為

將通解（2）代入到方程（1）中，并寫成如下矩陣的形式：

圖1 自由旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)模型Fig.1 Model of free rotating thin ring

令det（B）＝0，得到旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外波動的色散方程

從公式（3）可得扭轉(zhuǎn)角位移φ和軸向位移w的耦合系數(shù)β，其表達(dá)式如下：

因此，軸向位移w和扭轉(zhuǎn)角位移φ的波動表達(dá)為

其中，上標(biāo)“+”和“-”分別表示正傳波和負(fù)傳波的波幅系數(shù)；下標(biāo)“1～3”和“4～6”分別表示正方向和負(fù)方向傳播的波數(shù).

2 波模式

根據(jù)旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外波動的色散方程（4），在給定頻率下，應(yīng)用高次代數(shù)方程數(shù)值解方法，能方便地得到某頻率下對應(yīng)的6個波數(shù)，不同頻率對應(yīng)著不同波數(shù)，從而構(gòu)成波譜圖.根據(jù)波譜圖形特性，將波譜分為四種波模式加以討論.

對于波模式，學(xué)者Lee［14］對于正向傳遞的波給出了如下定義：

(i)如果波數(shù)是復(fù)數(shù)，那么正傳波波數(shù)的虛部為負(fù)數(shù)或零，并且波在正向衰減傳遞；(ii)如果波數(shù)是實(shí)數(shù)，那么正傳波波數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為正.

圖2 Ω＝0時波譜圖Fig.2 Wavenumber spectrum when Ω＝0

圖3 Ω＝100rad/s波譜圖Fig.3 Wavenumber spectrum when Ω＝100rad/s

圖2 對應(yīng)于靜止圓環(huán)的四種波模式，而圖3對應(yīng)于旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的四種波模式.圖2和圖3是圓環(huán)在（101，105）頻率范圍內(nèi)的譜曲線（幾何尺寸和物理參數(shù)參見6.3算例）.圖中分叉點(diǎn)ω1、ω2、ω3，表明了靜止和旋轉(zhuǎn)圓環(huán)波數(shù)的四種模式.

2.1 靜止圓環(huán)的四種波模式

（a）模式一：6個實(shí)波數(shù)，且n4＝-n1，n5＝-n2，n6＝-n3.

（b）模式二：2個實(shí)波數(shù)和4個復(fù)波數(shù)，且n4＝-n1，n5＝，n6＝.（*表示共軛）

（c）模式三：2個實(shí)波數(shù)和4個虛波數(shù)，且n4＝-n1，n5＝，n6＝.

（d）模式四：4個實(shí)波數(shù)和2個虛波數(shù)，且n4＝-n1，n5＝，n6＝-n3.

2.2 旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的四種波模式

（a）模式一：2個實(shí)波數(shù)和4個復(fù)波數(shù)，且｜n1｜＜｜n4｜，｜n2｜＜｜n5｜，｜n3｜＜｜n6｜.

（b）模式二：2個實(shí)波數(shù)和4個復(fù)波數(shù)，且｜n1｜＜｜n4｜，｜n2｜＜｜n5｜，｜n3｜＜｜n6｜.

（c）模式三：2個實(shí)波數(shù)和4個復(fù)波數(shù)，且｜n1｜＜｜n4｜，｜n2｜＜｜n5｜，｜n3｜＞｜n6｜.

（d）模式四：4個實(shí)波數(shù)和2個復(fù)波數(shù)，且｜n1｜＜｜n4｜，｜n2｜＝｜n5｜，｜n3｜＝｜n6｜.

薄壁圓環(huán)靜止時，正行波的波數(shù)與負(fù)行波的波數(shù)相等，波譜圖對稱；而在圓環(huán)運(yùn)動時，由于色散方程（4）中加入了轉(zhuǎn)速項(xiàng)，波數(shù)隨轉(zhuǎn)速而改變，波譜實(shí)部不再保持對稱.

3 相速度

波的相速度或相位速度是指波的相位在空間中傳遞的速度.相速度c與圓頻率ω、波數(shù)n的關(guān)系如下：

圖4 相速度圖Fig.4 Phase velocity

圖4 （a）是Ω＝100rad/s時，振動波在圓環(huán)平面外傳播的相速度圖.圖4（b）是波在圓環(huán)平面外靜止和轉(zhuǎn)動時的相速度局部放大圖；從圖中可以看出，波在靜止圓環(huán)的相速度是關(guān)于0線對稱的；轉(zhuǎn)速Ω改變了波相速度的對稱性；波在旋轉(zhuǎn)圓環(huán)上的相速度大于波在靜止圓環(huán)上的相速度.

4 波在旋轉(zhuǎn)圓環(huán)中的截止頻率

考慮旋轉(zhuǎn)圓環(huán)中的長波情況，即n→0，對色散方程（4）求極限可得到旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的截止頻率，如下所示：

5 位移耦合系數(shù)

為了分析波幅耦合作用的影響，圖5給出了位移耦合系數(shù)β隨頻率變化的曲線.圖5（a）和圖5（b）分別為圓環(huán)在平面外靜止和轉(zhuǎn)動時的耦合系數(shù)β1～β6曲線.β1～β6分別對應(yīng)波數(shù)n1～n6.圖5中曲線的分叉點(diǎn)將曲線分為四個區(qū)間，這四個區(qū)間與四個波模式相對應(yīng).

圖5（a）是圓環(huán)在平面外靜止時β的耦合曲線.從耦合系數(shù)β的表達(dá)式可知，位移耦合系數(shù)β的量級為104，在模式二和模式三之間達(dá)到最大值，說明n1～n6始終對應(yīng)以扭轉(zhuǎn)運(yùn)動為主導(dǎo)的波動.圖5（b）是Ω＝100rad/s時，圓環(huán)在平面外運(yùn)動時β的耦合曲線.由于轉(zhuǎn)速的影響，耦合系數(shù)發(fā)生很大的變化，原本絕對值或模相等的正負(fù)波數(shù)對不再對稱，但扭轉(zhuǎn)波動仍占主導(dǎo)地位.

圖5 位移耦合系數(shù)Fig.5 The ratio of axial displacement to torsional displacement

6 旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)的自由振動

6.1 波的傳遞矩陣

波動從彎曲梁起始端向末尾端傳播時，相位將改變、幅值將衰減.相位和幅值的改變與彎曲梁波導(dǎo)的波數(shù)和長度有關(guān).波數(shù)和長度對波動的影響可以由傳遞矩陣來表示.從波模式可知，波數(shù)有正負(fù)之分.因此，正行波沿坐標(biāo)系正方向傳播θ角和負(fù)行波沿坐標(biāo)系負(fù)方向傳播θ角可以表示為如下形式：

波的傳遞矩陣表示為：

6.2 正負(fù)行波的頻率特征方程

由行波的相位封閉原理［3］可知，當(dāng)入射波沿圓環(huán)傳播經(jīng)歷一個波動循環(huán)，入射波之間的相位相差2π的整數(shù)倍時產(chǎn)生駐波，圓環(huán)系統(tǒng)發(fā)生共振.結(jié)構(gòu)振動的模態(tài)（駐波）是由波幅相等且傳播方向相反的波的疊加振型.結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時，正行波的波幅系數(shù)和負(fù)行波的波幅系數(shù)有如下關(guān)系：

令｜H±｜＝0，即圓環(huán)振動的特征方程.方程｜H+｜＝0解得的固有頻率對應(yīng)的模態(tài)就是正行波在圓環(huán)傳播形成的駐波，而方程｜H-｜＝0解得的固有頻率對應(yīng)的模態(tài)是負(fù)行波在圓環(huán)傳播形成的駐波.

6.3 具體算例

為了驗(yàn)證行波相位封閉原理求特征值的方法的有效性，以圖1所示的等截面旋轉(zhuǎn)薄壁圓環(huán)為例計算其固有頻率.在算例中給定了圓環(huán)的幾何尺寸和物理參數(shù).彈性模量E＝207GPa，剪切模量G＝80GPa，泊松比v＝0.3，半徑R＝0.1m，截面寬度b＝0.002m，截面高度h＝0.002m，密度ρ＝7850kg/m3，轉(zhuǎn)速Ω＝500rad/s.

設(shè)特征函數(shù)f+＝｜H+｜和f-＝｜H-｜，波數(shù)代入矩陣H+和H-.用數(shù)值方法計算特征函數(shù)數(shù)值，得到特征函數(shù)曲線，然后搜索f+＝0和f-＝0對應(yīng)的頻率點(diǎn)，得到頻率方程的解即振動固有頻率.從f+＝0得到正行波的固有頻率，從f-＝0得到負(fù)行波的固有頻率.

圖6是轉(zhuǎn)速Ω＝500rad/s時的行波特征函數(shù)曲線.其中，實(shí)線為幅值的模，虛線為實(shí)部，點(diǎn)劃線為虛部.根據(jù)頻率搜索的原理，上述實(shí)線為零時的頻率值為頻率方程的解，也就是旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的固有頻率.表1所示的是旋轉(zhuǎn)圓環(huán)前四階固有頻率.

表1 旋轉(zhuǎn)圓環(huán)前四階固有頻率（rad/s）Table 1 Four natural frequency of rotating ring（rad/s）

圖6 平面外行波特征函數(shù)曲線Fig.6 Characteristic curves of out-of-plane wave

轉(zhuǎn)速對圓環(huán)前四階固有頻率的影響如圖7所示.從圖7中可以看出：1）各階固有頻率在轉(zhuǎn)速的影響下都出現(xiàn)了兩個相異的頻率值，即頻率分支現(xiàn)象；2）正行波的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的增大而增大，而負(fù)行波的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的增大而減??；3）文中所得到的固有頻率與文獻(xiàn)［13］的結(jié)果一致.

圖7 平面外振動的固有頻率Fig.7 Natural frequency of out-of-plane vibration

7 結(jié)論

行波法可以有效地解決旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外的振動問題，分析高速保持架自由振動以及行波特性，獲得一些旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外行波振動特性：（1）靜止圓環(huán)的正行波波數(shù)與負(fù)行波波數(shù)是相等的，構(gòu)成對稱波譜圖，而旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的四種波模式與靜止圓環(huán)的四種波模式是不相同，旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的波譜圖也不對稱；（2）在旋轉(zhuǎn)圓環(huán)上，振動波的相速度不對稱；（3）旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的截止頻率會隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加.行波法可以求得旋轉(zhuǎn)圓環(huán)平面外振動的固有頻率，以及固有頻率隨速度變化的規(guī)律.算例中，行波法求得的固有頻率與其他文獻(xiàn)的結(jié)果是一致的，驗(yàn)證行波法分析等截面圓環(huán)的自由特性是準(zhǔn)確和有效的.

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11 蔣寶坤，李映輝，李亮.旋轉(zhuǎn)粘彈性夾層梁非線性自由振動特性研究.動力學(xué)與控制學(xué)報，2013，11（3）：241～245（Jiang B K，Li Y H，Li L.Vibration analysis of rotating viscoelastic sandwich beam.Journal of Dynamics and Control，2013，11（3）：241～245（in Chinese））

12 周延澤，王春潔，陸震.高速滾動軸承保持架自由振動特性研究.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2001，27（5）：596～599（Zhou Y Z，Wang C J，Lu Z.On the free vibration of high-speed ball bearing retainer.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2001，27（5）：596～599（in Chinese））

13 Kim W.Free non-linear vibration of a rotating of a rotating thin ring with the in-plane and out-of-plane motions.Journal of Sound and Vibration，2002，258（1）：167～178

14 Lee S K，Mace B R，Brennan M J.Wave propagation，reflection and transmission in curved beams.Journal of Sound and Vibration，2007，306（3-5）：636～656

Received 15 September 2014，revised 20 October 2014.

*The project supported by the Shanghai industry-university-research cooperation program（CXY-2013-22）

?Corresponding author E-mail：hdishan@shu.edu.cn

OUT-OF-PLANE VIBRATION ANALYSIS OF A ROTATING THIN RING BY WAVE PROPAGATION*

He Hong Huang Dishan?
（School of Mechatronical Engineering and Automation，Shanghai 200072，China）

To solve the dynamic problem for the out-of-plane vibrations of a rotating thin ring，this paper studied the basic transmission characteristics of elastic wave propagation，and analyzed the dispersion equation，wave numbers，cut-off frequencies，phase velocity and the ratio of axial vibration displacement to torsional vibration displacement，which is valuable in the free vibration analysis of the solid cage in a high speed roller bearing.Based on the wave propagation method，the positive and negative wave numbers were separated by the criterion of positive-going waves.The characteristic equation of a rotating thin ring was established by the phase-closed principle and the transfer matrices.One example was given to solve the natural frequencies of the rotating ring，and the result is consistent with the result of the given literature.

out-of-plane vibration，rotating thin ring，wave propagation，wave number

10.6052/1672-6553-2014-081

2014-09-15收到第1稿，2014-10-20收到修改稿.

*上海市產(chǎn)學(xué)研合作計劃（滬CXY-2013-22）

?通訊作者E-mail：hdishan@shu.edu.cn