非參數(shù)回歸N-W核估計法在財政系統(tǒng)中的應(yīng)用

盧維學(xué),楊世娟

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 黃山245021）

1 引 言

財政收入表現(xiàn)為政府部門在一定時期內(nèi)所取得的貨幣收入，是政府為履行其職能、實施公共政策和提供公共服務(wù)的需要而籌集的一切資金的總和。財政收入與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系是宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的重要問題之一。一般而言，經(jīng)濟(jì)增長會帶動財政收入的增長。我國要想保持財政收入穩(wěn)定增長，必須鼓勵、支持和引導(dǎo)大中小企業(yè)的發(fā)展，增加稅源。然而，財政收入并非越多越好，不協(xié)調(diào)的財政收入會抑制經(jīng)濟(jì)的增長，只有具備與經(jīng)濟(jì)協(xié)調(diào)發(fā)展的財力，政府才能更好的履行其職能，提供更多的公共服務(wù)，改善經(jīng)濟(jì)發(fā)展所需的硬件設(shè)施，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)又好又快地發(fā)展。毋庸置疑，分析財政收入與經(jīng)濟(jì)增長之間的定量關(guān)系對財政政策的制定具有較高的參考價值。

近年來，國內(nèi)眾多學(xué)者從理論和實證分析上對財政收入與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系進(jìn)行了研究和探索。研究思路主要有：

1.利用因素分析法[1]直接建立二者間的回歸模型，如賈繼花[2]綜合利用因素分析法和回歸分析法,對山東省財政收入與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系作了詳細(xì)分析；

2.利用協(xié)整理論[3]建立財政收入與經(jīng)濟(jì)增長的長期均衡模型來分析二者的長期變動關(guān)系，如吉亞輝、朱正取[4]通過分析甘肅省1978-2006年的財政收入和GDP的變動趨勢，建立二者間的協(xié)整和誤差修正模型。

以上兩種思路主要都是事先設(shè)定模型形式，再對參數(shù)進(jìn)行估計，從而建立二者間的關(guān)系。事實上這兩種思路所建立的模型都是參數(shù)回歸模型。但參數(shù)回歸模型建立的前提是各項假設(shè)條件都要成立，隨機誤差為正態(tài)分布等，若模型及參數(shù)的假定條件與實際背離，那么推斷與預(yù)測就會有較大的偏差，擬合效果會很差。而非參數(shù)回歸所需的假定條件要弱得多，不需要事先設(shè)定函數(shù)形式，且模型約束較少，對解釋變量和響應(yīng)變量的分布形式?jīng)]什么限制。因此，非參數(shù)回歸具有更大的適應(yīng)性，尤其在解釋變量與響應(yīng)變量的函數(shù)關(guān)系形式不確定時。本文將采用非參數(shù)回歸建立我國財政收入與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系。

2 非參數(shù)回歸模型

2.1 模型介紹

這里主要考察d=1，X為非隨機的情形。設(shè)從總體(X,Y)中隨機抽取一組樣本(X1,Y1)，(X2,Y2)，…(Xn,Yn)，記εi(i=1,2…n)為獨立同分布的隨機波動項，且滿足E(εi)=0,Var(εi)=δ2＜+∞，此時的回歸模型為：

當(dāng)m(x)的函數(shù)形式已知，僅需估計函數(shù)中未知參數(shù)時，此時為參數(shù)回歸模型。不假設(shè)m(x)是某種函數(shù)形式，是對一般函數(shù)類型進(jìn)行討論，構(gòu)造回歸函數(shù)m(x)的估計量。

2.2 權(quán)函數(shù)估計

權(quán)函數(shù)在核估計[5]中起光滑的作用，即消除擾動的隨機因素，使所得曲線反映變量之間的實際經(jīng)濟(jì)關(guān)系。對于給定的樣本(X1,Y1)，(X2,Y2)，…(Xn,Yn)，權(quán)函數(shù)估計就是對回歸函數(shù)m(x)進(jìn)行估計，設(shè)Wni(x)=Wni(x;X1,X2,…Xn)是依賴于x和X1,X2,…Xn的函數(shù)，則m(x)的非參數(shù)回歸估計量m＾n(x)可表示成下述形式：

其中Wni(x)稱為權(quán)函數(shù)，滿足=1。權(quán)數(shù)Wni(x)利用了解釋變量的信息，且由解釋變量的數(shù)值來確定每個Yi的權(quán)數(shù)的大小。

2.3 N-W核權(quán)函數(shù)回歸估計

核估計是權(quán)函數(shù)估計的一種方法，在于找到核權(quán)函數(shù)作為(3)中的權(quán)函數(shù)。最常見的是Nadaraya和Watson在1964年提出的一類核權(quán)函數(shù)回歸估計。設(shè)f(x)是X的密度函數(shù)，f(x,y)是X、Y的聯(lián)合密度函數(shù)，f(y|x)=f(x,y)/f(x)為給定X=x條件下Y的密度函數(shù)，則有

記hx=＾hn，權(quán)重，可以看出Wni(x)取值只與X的分布有關(guān)，稱m＾n(x)為N-W估計。則Nadaraya-Watson核權(quán)函數(shù)回歸估計表達(dá)式為：

在此，核函數(shù)選擇標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，

2.4 窗寬的選擇

N-W核權(quán)函數(shù)回歸估計的核心問題就是窗寬的選擇。一方面窗寬越大,核估計的方差會變小,但同時核估計的偏差也會增大，導(dǎo)致密度曲線估計過于平滑，失去某些細(xì)節(jié)；另一方面,窗寬越小,核估計的偏差越小,但同時核估計的方差也會變大，導(dǎo)致密度曲線估計線欠平滑,產(chǎn)生不規(guī)則估計。因此，選擇恰當(dāng)?shù)拇皩捠荖-W核權(quán)函數(shù)回歸估計的關(guān)鍵。

實際應(yīng)用中，選擇窗寬的方法主要有經(jīng)驗法則（Rule of thumb）、直接插入法（direct plug in,DPI）、最小平方交叉實證法 （Least-squares crossvalidation,CV）和懲罰函數(shù)法（penalizing function）。

交叉實證法[6]是由Stone在1974年提出的，其基本思想是留下一個觀測數(shù)據(jù)點作為估計的核實數(shù)據(jù)，而利用剩下的所有點來估計并建立模型，即在每個觀測點x=Xi，首先，在樣本中剔除觀測值點(Xi,Yi)，用剩余的n-1個點在x=Xi處進(jìn)行核估計：（其中,最后，在平均平方誤差（ASE）值達(dá)到的最小條件下選擇合適的窗寬hn，即使(Xi)]2最小的hn就是最佳的窗寬。本文試圖采用最小平方交叉實證法（CV）和經(jīng)驗選擇方法，根據(jù)擬合效果綜合考慮優(yōu)劣來選擇合適的窗寬。

3 實證分析

3.1 樣本的選定

選取1978-2013年我國財政收入與經(jīng)濟(jì)增長數(shù)據(jù)，來源于《2014年中國統(tǒng)計年鑒》。在具體變量選擇上，財政收入使用財政收入指標(biāo)，經(jīng)濟(jì)增長指標(biāo)則采用國內(nèi)生產(chǎn)總值。以1978年數(shù)據(jù)作為基期，算出財政收入增長率（FinanceRate）和GDP增長率（GDPRate）。從財政收入增長率和GDP增長率隨時間變化的趨勢圖（圖1）發(fā)現(xiàn)：二者各自隨時間變化的規(guī)律不明顯；在整體上，二者變化波動幅度不同且波動時效不一致，GDP增長率的變化總是快于財政收入增長率，但二者基本上是同向變動的，首先明確兩者間確實存在某種關(guān)系。

用GDP增長率解釋財政收入增長率，建立二者之間的參數(shù)回歸方程與非參數(shù)回歸方程，目的在于將兩種方法進(jìn)行對比。數(shù)據(jù)處理運用Eviews5.0和R軟件。

圖1 財政收入增長率與GDP增長率時間變化趨勢圖

3.2 模型建立與求解

3.2.1 參數(shù)回歸模型

首先，采用普通最小二乘法（OLS）建立國內(nèi)生產(chǎn)總值增長率 （GDPRate） 與財政收入增長率（FinanceRate）的線性回歸方程：

從方程系數(shù)的顯著性πi 檢驗看，各項系數(shù)的πi值均大于臨界值1.695，故系數(shù)是顯著的；從方程整體顯著性F檢驗看，其P-Value=0.007331＜0.05，應(yīng)拒絕原假設(shè)，故方程的線性關(guān)系是顯著成立的。但可決系數(shù)R2很小，說明方程擬合數(shù)據(jù)的程度不高，這也可以從二者的散點圖（圖2）看出。

圖2 財政收入增長率與GDP增長率的散點圖及線性回歸擬合

3.2.2 非參數(shù)回歸N-W核估計模型

由圖2可以看出財政收入增長率與GDP增長率之間不具有明確的線性關(guān)系，也沒有確定的函數(shù)關(guān)系。故采用非參數(shù)估計方法建立財政收入與經(jīng)濟(jì)增長的回歸模型，并將其與參數(shù)回歸模型（6）進(jìn)行比較。在（5）式中令x為GDP增長率，y為財政收入增長率。由此得到y(tǒng)關(guān)于x的N-W核權(quán)函數(shù)回歸：

上式中核函數(shù)K(·)取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。由交叉實證法得出的窗寬hn=3.045629，從圖3可以看出此窗寬下的N-W核權(quán)函數(shù)回歸大致能擬合分散的各點，但擬合曲線比較光滑，對某些細(xì)節(jié)解釋不充分。根據(jù)散點圖及經(jīng)驗方法，取窗寬為1.98和1.67，從圖3看這兩個窗寬值下的回歸曲線擬合效果比交叉實證法得到的回歸曲線效果要好，綜合考慮后窗寬h=1.98。圖4將線性回歸直線與非參數(shù)回歸所得的曲線放在同一坐標(biāo)軸上，便于觀察并得出結(jié)論。

圖3 非參數(shù)回歸估計擬合圖

圖4 線性回歸與非線性回歸效果比較圖

4 結(jié) 論

通過對1978-2013年我國財政收入增長率與國內(nèi)生產(chǎn)總值增長率數(shù)據(jù)的關(guān)系研究，可以發(fā)現(xiàn)二者同增同減，確實存在某種關(guān)系，但線性關(guān)系不明顯。從線性回歸模型和非參數(shù)回歸模型的分析結(jié)果看出GDP增長率對財政收入增長率的影響在經(jīng)濟(jì)發(fā)展的不同時期有不同的特點，并非簡單的線性模型能解釋清楚，非參數(shù)回歸模型的擬合效果要優(yōu)于線性回歸。這是因為用普通最小二乘法估計要符合嚴(yán)格的假定，而影響財政收入增長率波動性的因素很多。核估計的方法取決于數(shù)據(jù)本身及它們的參與程度，不需要嚴(yán)格的假設(shè)條件限制，故有更廣泛的應(yīng)用空間。

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