火箭拖拽布撒網飛行軌跡研究

韓峰，陳翰，陳放

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京100081）

火箭拖拽布撒網飛行軌跡研究

韓峰，陳翰，陳放

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京100081）

對布撒網系統(tǒng)縱向展開問題進行了研究。研究采用二維運動模型簡化，運用多體系統(tǒng)動力學理論和集中質量法，建立了布撒網縱向展開過程的多剛體動力學模型。運用Kane方法建立系統(tǒng)動力學方程，運用數(shù)值方法分析和計算了該動力學方程，給出了布撒網縱向展開的動力學過程。得到了火箭和網上各點位置和受力的時程曲線，以及火箭和網的飛行軌跡。計算結果與模擬布撒網展開實驗結果吻合。

兵器科學與技術；多體系統(tǒng)動力學；布撒網系統(tǒng)；Kane方法

0　引言

布撒網掃雷系統(tǒng)是目前世界上一種比較先進的掃雷系統(tǒng)，主要針對廣闊、密集布設反坦克地雷的區(qū)域，它能夠在雷區(qū)中快速地開辟出足夠讓裝甲車輛通過的安全區(qū)域。

該系統(tǒng)的工作過程主要可以分為以下3個步驟：1）由牽引車輛將裝載布撒網的彈藥箱牽引到雷區(qū)前沿，升起彈藥箱并調整小型火箭的發(fā)射角度；2）發(fā)射火箭，火箭拖曳著布撒網向前飛行展開，使布撒網張緊鋪在目標雷區(qū)上；3）起爆布撒網上的子彈藥，清除雷區(qū)中的地雷。由于該系統(tǒng)結構和工作過程的復雜性，對其進行實物實驗研究需要消耗大量的資金和準備時間。并且，在對其結構和實驗方案的設計過程中，也需要由預先計算分析提供指導和數(shù)據支持。因此，有必要對其飛行展開過程的動力學特性進行研究。

研究布撒網展開過程的動力學特性，首先要建立該系統(tǒng)的動力學模型。布撒網的結構復雜，其主體部分為一塊由韌性帶狀材料十字交叉編制而成的長方形網。建立描述繩網運動的模型，是對該系統(tǒng)進行建模的過程中必須面對的難題。金棟平等對繩索系統(tǒng)動力學的建模方法、研究現(xiàn)狀、工程應用等方面進行了細致的總結［1］。許多國內外學者運用集中質量的方法建立柔性繩索的多體系統(tǒng)動力學模型，對拖纜火箭［2］、海底拖纜［3-4］、空間繩網［5］、大垂度柔索［6］、飛機纜繩拾取系統(tǒng)［7］和飛艇系留系統(tǒng)［8-9］等繩索動力學問題進行了研究。集中質點方法的主要思想是將柔性繩索離散為有限個質點，質點間的繩段以無質量的剛性或彈性連桿代替，構成模擬繩索運動的多體系統(tǒng)模型。這種模型能夠有效地模擬柔性繩索的大變形運動。

本文提出假設，使布撒網展開運動簡化為二維運動問題。然后，運用集中質量方法對二維布撒網模型進行離散，建立布撒網系統(tǒng)的二維多體系統(tǒng)模型。然后利用Kane方法，建立該多體系統(tǒng)的動力學方程，并對該方程進行數(shù)值求解計算，分析計算結果。

1　多體系統(tǒng)動力學模型

1.1布撒網縱向展開問題的二維假設

布撒網從在箱體里的堆疊狀態(tài)到完全展開主要經過兩個方向的運動：一個是平行于火箭彈道平面的縱向運動；另一個是垂直于火箭彈道平面的橫向運動?？紤]到布撒網的結構和展開過程的復雜性，直接建立其三維模型有相當大的困難，需要對其結構和運動進行簡化。布撒網的總長為72 m，展開后寬為3.3 m.為防止火箭尾焰影響布撒網，布撒網的前端通過牽拉鋼索與牽拉火箭末端連接。布撒網末端通過回拉繩索與固定端連接，限制布撒網的飛行距離。在布撒網中，沿縱向等距分布了16根橫向桿，橫向桿對布撒網起到了橫向剛性支撐的作用。橫向桿按位置可以分為前桿、后桿和中間桿，分別位于方形網的前端、后端和中間部分。在展開過程中，橫向桿會在內置驅動裝置的作用下?lián)伍_，帶動布撒網向橫向展開。橫向桿中間有一個柱鉸，能自由彎轉。布撒網在飛行過程中，在布撒網的自重作用下橫向桿會自然彎成“V”字形并在120°時自鎖。根據布撒網長寬比較大，且縱向展開的運動位移遠大于橫向展開的位移的特點，假設如下：

1）布撒網的結構左右對稱，橫向運動也左右對稱，并且在橫向桿的支撐作用下，橫向位移較小，所以可以認為橫向展開運動對縱向運動無影響；

2）在不考慮橫向風，或者橫向風很小的情況下，可以忽略布撒網的橫向翻轉問題；

3）子彈藥縱向分布很密集，且質量很小，引起的質量突越不大，故可以近似認為布撒網沿縱向質量分布均勻；

4）布撒網系統(tǒng)的展開飛行速度最大不超過50 m/s，因此所受到的空氣動力很小，可以忽略不計；

5）不考慮布撒網初始位置，假設布撒網從空間中一個點拉出。

本模型中并不認為布撒網沒有發(fā)生橫向運動，而是認為布撒網的橫向運動對縱向展開運動沒有影響，因此在計算布撒網縱向展開運動時不考慮其橫向運動。經過假設布撒網在火箭彈道平面上的投影，是一根質量均勻的“柔性繩索”，可以通過集中質量方法建立其二維多體系統(tǒng)模型。

1.2布撒網的多體系統(tǒng)模型

為了描述和計算布撒網系統(tǒng)中柔性部分的動力學問題，將網劃分為N段，每一段用剛性桿代替，相鄰的兩根剛性桿之間用光滑鉸鏈連接，每一段桿的質量由其長度和網的縱向線密度決定。為了提高計算效率，可以將桿的質量平均地集中在桿的兩個端點上［3］，使問題再進一步簡化。如圖1所示，對于質點，其質量等于桿i質量的一半加上桿i-1質量的一半。對于網末端正處于被拉出過程中的桿的質量，根據桿已經拉出的長度計算。將質量集中到端點后，桿變成了無質量的二力桿，其內力，即相鄰兩個質點之間的相互作用力總是沿著桿長方向的。由于假設桿是剛性的，所以相鄰兩個質點之間的距離總是保持不變的。由此，網被簡化為由N+1個質點組成的多體系統(tǒng)。此外，對于拉伸模量較大的牽拉鋼索，也可以用同樣方法進行建模。而回拉繩索采用的是拉伸模量較小的材料，在其作用過程中伸長較大，不能采用以上方法進行質點化，所以將回拉繩索簡化為一個作用在布撒網末端的彈性力元。

圖1　多體模型Fig.1 Multibody model

將火箭作為一個剛體，把網的第一個質點固定在火箭的末端，則火箭和N+1個質點構成了一個多體系統(tǒng)模型?？梢杂眠@個模型在外力作用下的運動，來模擬布撒網的縱向展開運動，進而建立方程來計算其運動過程和受力情況。

2　建立多體系統(tǒng)動力學方程

在火箭運動的平面內建立直角坐標系Oxy，x軸為水平軸，以布撒網縱向展開的方向為x軸正向，y軸方向為豎直向上。本文利用Kane方法［10］，在直角坐標系Oxy中建立布撒網縱向展開二維模型的系統(tǒng)動力學方程，給出矩陣形式的表達式。其中，用下標0表示火箭質心，下標i表示第i個質點。

2.1廣義坐標的選取

在二維運動中，自由剛體的自由度為3，自由質點的自由度為2，故整個系統(tǒng)需要用2N+5個廣義坐標來描述。由于質點1固定在火箭上，并且存在著N個等距約束，故系統(tǒng)在約束條件下的自由度為N+3，需要求解的廣義坐標為N+3個。

對于火箭，用其質心坐標（x0，y0），以及由x軸旋轉到火箭軸線的角度θ0來描述。對于網的第一個質點，由于它固定在火箭末端并且在火箭軸線上，所以其坐標（x1，y1）可以由（x0，y0）、θ0以及火箭質心到末端的距離l0表示。對于2≤i≤N+1的情況，考慮到每兩個相鄰質點之間存在等距約束，質點i的坐標可以由質點i-1的坐標、桿i-1的長度si-1和x軸到桿i-1的轉角θi-1來描述。假設桿k的初始長度為lk，則與等距約束相應的約束方程為sk=lk，所以在方程中將sk視為常量lk即可滿足等距約束方程。令

則q就是需要計算的廣義坐標陣。

2.2Kane系統(tǒng)動力學方程的建立

下面將利用Kane方程建立系統(tǒng)動力學方程。Kane方程的表達式為

式中：Fj為系統(tǒng)關于廣義坐標qj的廣義力；為關于廣義坐標qj的廣義慣性力。

其中，廣義力的表達式為

系統(tǒng)關于廣義坐標qj的廣義慣性力為

式中：mi為火箭和各質點的質量；ai為第i個質點（或者火箭質心）的加速度，ai為其分量矩陣；Ji為轉動慣量；αi為第i個質點（或者火箭質心）的角加速度，αi為其z軸方向分量。

下面將進行火箭和各質點的偏速度、偏角速度、加速度和角加速度的推導。由廣義坐標描述的火箭質心及各質點的位移ri、速度vi分量矩陣為

式中：n為便于書寫，引入的2×1列矩陣，其表達式為

把（6）式對各廣義坐標的一階導數(shù)求偏導，得到偏速度表達式：

由（5）式再對時間求導，得到火箭質心及各質點的加速度表達式分別為

式中：Ci=［wi1wi2… wi（N+3）］；Di=0.

將（11）式和Bi代入（3）式中，得

將（3）式和（14）式代入（2）式中，經整理并寫成矩陣型式，得到該多體系統(tǒng)的動力學方程：

式中：

2.3系統(tǒng)外力分析計算

由模型的假設條件，分析可知系統(tǒng)受到的外力有火箭推力Fr、重力Gi、繩子末端拉出點的張力Te和限位裝置的彈性力Tl.

由假設2，火箭推力始終沿著火箭的軸線，所以推力的方向與x軸的夾角就是廣義坐標q3.假設火箭的工作推力大小為Ft（t），工作時間為tw，則火箭推力的表達式為

火箭和各質點所受到重力的表達式為

在網還未被完全拉出來之前，正在被拉出的網段張力作用在最后一個質點上，大小表達式［1］為

式中：ρ為網的縱向線密度；ve為網的末端，即最后一個質點的速率。

當網被完全拉出來后，為使網能夠落在預定位置，并且保持張緊狀態(tài)，在網的末端連著一個限位回拉裝置，即網末端作用這一個彈性力，其拉力的大小可以表示為

式中：le為網末端質點到回拉裝置固定端的距離；k為回拉裝置的剛度系數(shù)；S0為回拉裝置的原長。由于作用在火箭上的外力都經過火箭的質心，所以火箭質心處的合外力矩為0.對于質點，其合外力矩為0.

2.4約束內力的計算

由固定約束和等距約束產生的內力，不顯含于用Kane方法建立的系統(tǒng)動力學方程中，故求解方程（15）式不能得到質點之間以及網與火箭之間的內力。想要得到約束內力的值，可以通過解除約束的方法來求解［7］。

圖2　約束力Fig.2 The constraint force

為了求解桿i的內力，即質點i+1與質點i之間的相互作用力（如圖2所示），先解除質點之間的等距約束，以廣義坐標si來代替原來的位置、速度、加速度表達式中的桿長li.然后，進行類似2.2節(jié)中的推導過程，得到系統(tǒng)關于廣義坐標si的Kane方程，并將約束條件：

代入方程中。在該方程中將顯含桿i的內力大小Ti.以Ti為正值時表示拉力，另外與si相關的偏角速度都為0，經過推導和整理，得

式中：us，ki為質點k（或者火箭）關于si的偏速度，其表達式為

其他變量的說明請參考2.2節(jié).

同理，將質點1的固定約束解除，用廣義坐標sx和sy描述質點1與火箭末端的相對位移，經過推導和整理，可以得到質點1與火箭之間的內力沿x軸和y軸的分量表達式為

式中：us，kx和us，ky分別為質點k（或者火箭）關于廣義坐標sx和sy的偏速度，其表達式為

令T=［T0xT0yT1… TN］T，合并各內力表達式，得

式中：us的表達式為

其他各矩陣的說明請參考2.2節(jié)。

3　模擬布撒網展開實驗

為了分析研究布撒網系統(tǒng)的展開規(guī)律，也為了驗證布撒網二維展開計算模型的可靠性，進行了模擬布撒網的展開實驗。模擬布撒網系統(tǒng)是在原型布撒網系統(tǒng)的基礎上進行尺寸縮比和結構簡化得到的，專門用于實驗研究布撒網系統(tǒng)展開過程的實驗系統(tǒng)。模擬布撒網系統(tǒng)采用了一款現(xiàn)有的小型火箭作為牽拉火箭，實驗系統(tǒng)以該火箭的參數(shù)為基準進行縮比。除了尺寸以外，模擬布撒網的橫向桿結構也進行了簡化，去除了橫向桿的展開機構和彎轉機構，用一根直桿來代替原型中的橫向桿。圖3為模擬布撒網組裝完成后的照片，圖3中黑色鋼桿即為簡化的一根中間橫向桿。模擬布撒網中橫向桿共有7根，將布撒網劃分為6塊網。在每個橫向帶和縱向帶交匯處，安裝了一個螺栓，該螺栓用于模擬實際負載的重量。

圖3　模擬布撒網結構Fig.3 Structure of net

模擬布撒網展開實驗的現(xiàn)場布置如圖4和圖5所示，模擬布撒網就放置在布撒網箱中。其中，橫向桿兩端的突出部分搭在箱體頂部的滑槽中，布撒網的網體自然懸垂。牽拉火箭如圖4所示，設置在布撒網箱前的發(fā)射架上，從地面發(fā)射。圖4顯示了發(fā)射前模擬布撒網和火箭發(fā)射架的相對位置以及布置情況。由于布撒網在懸掛時處于折疊狀態(tài)，為防止在拉出過程中相鄰兩塊網互相干擾，在兩塊網之間放置泡沫隔板（圖4中布撒網箱前白色部分）。隔板采用輕質材料，與布撒網之間沒有連接，當網被拉出后馬上飛離，對布撒網的運動影響很小。在實驗過程中，由一臺高速攝影儀拍攝下模擬布撒網發(fā)射、展開和落地的全過程。圖5中的標桿用于在分析數(shù)據時標定圖片中的距離。

模擬布撒網在牽拉火箭初始射角為48°時，成功發(fā)射展開。在火箭飛行的初始階段，火箭方向角有大幅度的上下擺動，經過幾次大幅擺動后，擺幅明顯減小。如圖6所示，在模擬布撒網向前展開的過程中，布撒網面在離開布撒網箱后，呈波浪形上下起伏并向前運動。模擬布撒網落地后平整地鋪開在地面上。本次實驗成功地驗證了布撒網系統(tǒng)展開技術的可行性，并獲得了模擬布撒網展開過程的圖像數(shù)據。

圖4　布撒網箱體和發(fā)射架Fig.4 Net container and rocket laucher

圖5　實驗現(xiàn)場布置示意圖Fig.5 Experimental layout

圖6　飛行展開過程Fig.6 Deploying process

4　數(shù)值計算結果及分析

本文運用Matlab，編制了數(shù)值求解常微分方程組（15）式并且同時根據（28）式求解布撒網縱向張力的計算程序。數(shù)值計算的方法采用了Adams四步法，利用經典4階龍格-庫塔法起步。隨著數(shù)值積分過程的進行，網段數(shù)N將從0開始逐漸增加。程序在每個積分步結束后根據質點N+1與拉出點的距離le，判斷N是否需要增加。當le大于劃分的網段長度時，N將增加，并根據末端質點的位置和速度給出新質點的初始位置和速度。積分程序將從龍格-庫塔法開始重新起步。

通過使用該數(shù)值計算程序，對在一定設計參數(shù)（見表1）下的布撒網展開飛行過程進行了仿真計算。通過數(shù)值計算，得到了廣義坐標、廣義速度和廣義加速度在每一時刻的值。利用這些結果，根據（5）式、（6）式、（11）式、（28）式計算得到了火箭和網質點的位置、速度、加速度和布撒網縱向張力。

以下對比分析的實驗數(shù)據來自模擬布撒網系統(tǒng)展開實驗。其中，實際上鋼索和布撒網之間還有1 m由縱向網帶構成的過渡段，該段縱向線密度與鋼索幾乎一樣，所以計算時將其歸為鋼索。通過利用高速攝影儀拍下模擬布撒網系統(tǒng)的全展開過程，獲得等時間間隔的飛行展開過程圖片。通過分析圖片上牽拉火箭的位置像素，即可獲得牽拉火箭的彈道位置數(shù)據，進一步使用差分方法可以得到火箭的速度。表1中的計算參數(shù)來源于模擬布撒網系統(tǒng)展開實驗的實際測定參數(shù)，牽拉火箭和鋼索的初始位置也按照實驗的布置進行構造。

表1　計算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters

圖7為火箭質心飛行軌跡的計算值和實驗值的對比?；鸺匚恢玫挠嬎阒禐?9.1 m，實驗值為32.6 m，火箭落地點相差了6.5 m.火箭彈道頂點高度的計算值為5.2 m，實驗值為4.7 m，相差0.5 m.從火箭的彈道曲線來看，計算結果的飛行高度和射程都比實驗結果大，造成這種誤差的主要原因是模型不計火箭和布撒網的空氣動力。

圖7　火箭質心的飛行軌跡Fig.7 Rocket gravity center trajectory

圖8　計算得到的模擬布撒網姿態(tài)Fig.8 Calculated net shapes

圖8為計算得到的模擬布撒網在幾個時刻的飛行姿態(tài)。由于本計算模型中沒有考慮與地面的碰撞，不能描述布撒網和火箭與地面碰撞的過程，有布撒網質點豎直位置小于0的情況。布撒網與地面接觸已經是落地階段，因此不計地面碰撞對布撒網的展開飛行過程沒有影響。如圖中所示計算得到的布撒網形狀也呈一定的波浪形，但是擺動幅度比實驗中觀察到的幅度小。在實際的放置方式中，布撒網形狀就是波浪形上下起伏的。而計算模型中忽略了布撒網的初始位置、姿態(tài)是導致計算中網面起伏幅度變小的原因。

圖9和圖10分別為火箭速度的水平分量v0x和豎直分量v0y的時程曲線對比圖。由圖9可以明顯看出，在0.5 s后，火箭速度的水平分量的計算值比實驗值要高。在圖10中，火箭速度豎直分量計算值也微小的偏高，但總體趨勢一致?；鸺俣鹊挠嬎阏`差也是造成火箭飛行高度和飛行距離計算誤差的因素。一般的編織物在加載再卸載的過程中存在遲滯效應，即卸載時張力比加載時小，造成了織物在加載卸載的過程中存在能量損耗。在布撒網的動態(tài)展開的過程中，網帶需要經歷許多次加載卸載的過程，網帶的變形過程會造成布撒網動能的損耗。而在本模型中，忽略了網帶的軸向變形過程，所以布撒網系統(tǒng)的動能總體會偏高。

圖11為火箭方向角θ0的時程曲線對比圖，圖中顯示雖然計算值和實驗值的數(shù)據相差較大，但是前期幾個極值點的出現(xiàn)時間和總體趨勢都有較好的一致性。

布撒網的總質量遠大于火箭的質量，布撒網的運動將會對火箭運動起到很大的影響作用。圖12所示為牽拉鋼索對火箭拉力Tl的計算值時程曲線。如圖12所示，在模擬布撒網的展開過程中，火箭受到的動態(tài)載荷在瞬間最大能達到火箭推力的5倍以上。布撒網對火箭的強動載荷，不僅對火箭的速度產生影響，而且使火箭的方向角產生較大的變化。而火箭方向角的變化會導致火箭推力方向的變化，進一步影響火箭水平速度和豎直速度。因此，火箭方位角的求解精度很大程度上影響了布撒網系統(tǒng)中其他廣義坐標的求解精度。

圖9　火箭質心速度x軸分量Fig.9 x-component of rocket velocity

圖10　火箭質心速度y軸分量Fig.10 y-component of velocity

如圖11所示，在牽拉鋼索的張力作用下，火箭方位角的變化很劇烈。如二維假設中提到的，火箭受到的空氣動力很小，主要影響火箭方位角的是作用在火箭末端的拉力矩。該拉力矩的大小和方向都與圖12所示的牽拉鋼索拉力大小和圖13所示的夾角有關。其中鋼索拉力的方向角與牽拉鋼索和布撒網的瞬時形狀有關，因此布撒網的上下起伏運動會促使火箭方位角的擺動，而且布撒網起伏越劇烈，火箭方位角的擺動也會越劇烈。計算得到的火箭方位角擺動幅度比實驗值小，是因為計算中的布撒網起伏運動幅度比實際小，從根源上來說是因為忽略了布撒網的初始位置、姿態(tài)。火箭方位角的變化存在著一定的規(guī)律。圖13為火箭方位角θ0與鋼索對火箭拉力方向的夾角θ1的計算值，圖中顯示布撒網對火箭拉力的作用結果，總是使火箭軸線與網前端方向趨于一致，趨于一致的過程中火箭方向角度會經歷往復運動。圖14分析了火箭受到的拉力矩情況，布撒網對火箭的拉力總是能使得火箭的軸線向拉力作用線方向偏轉。

圖11　火箭方向角Fig.11 Direction angle of rocket

圖12　鋼索對火箭的拉力Fig.12 Tension of wire

圖13　火箭軸線和拉力方向的夾角Fig.13 Angle between rocket axis and tension direction

圖14　布撒網拉力對火箭質心的力矩Fig.14 Net tension moment relevant to the rocket gravity center

5　結論

本文運用集中質量法建立了火箭拖曳布撒網展開運動過程的二維多體系統(tǒng)模型，運用Kane方法建立了系統(tǒng)動力學方程，并利用Matlab對該方程編制了數(shù)值求解程序。通過對計算結果的分析討論，以及計算結果與實驗結果的對比，得到了以下結論：

1）布撒網系統(tǒng)的二維多體系統(tǒng)模型能較好地模擬布撒網的展開運動過程，關于火箭彈道的各計算值與實驗值具有一致性。

2）在展開過程中，火箭的末端受到較大的動載荷，動載荷的最大值可以達到火箭推力的6倍以上。

3）火箭的方位角在鋼索拉力作用下經歷劇烈往復運動，火箭軸向方向和拉力作用方向總是趨于一致。

如文中分析，布撒網系統(tǒng)的二維多體系統(tǒng)模型仍然有許多可以改進之處。考慮空氣動力，考慮柔性體的軸向變形以及構造更加準確的初始條件，這些都是該模型可以改進的方向。

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Research on the Trajectory of a Rocket-towed Net System

HAN Feng，CHEN Han，CHEN Fang
（State Key Laboratory of Explosion Science and Technology，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

The lengthwise deployment of a net towed by a rocket is studied.The problem is simplified as two-dimensional motion，and a multi-rigid-body dynamic model is built.The dynamics equation of the multi-body system is built using Kane's method and is derived with numerical computation method.The calculated results which contain the trajectory and tension of the rocket-towed net system are in agreement with the simulation results.

ordnance science and technology；multiple body dynamics；rocket-towed net system；Kane method

TG156

A

1000-1093（2015）02-0263-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.011

2014-07-03

總裝備部預先研究項目（3020020121137）

韓峰（1965—），男，教授，博士生導師。E-mail：hhanfeng@bit.edu.cn；陳翰（1985—），男，博士研究生。E-mail：10902033@bit.edu.cn