Banach空間中的常微分方程邊值問題的擬上下解方法

劉孝磊，馬翠玲，郝樹艷，孫璽菁（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

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Banach空間中的常微分方程邊值問題的擬上下解方法

劉孝磊，馬翠玲，郝樹艷，孫璽菁
（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

摘要：利用擬上下解方法，研究了一階非線性微分方程邊值問題u′(t ) =f(t,u(t ) )，u(0 ) -u(T ) =1,1≥0擬解的存在性，并通過線性微分方程的解來構(gòu)造算子，從而得到單調(diào)迭代序列，進(jìn)而得到該邊值問題的最大最小擬解對(duì)。

關(guān)鍵詞：邊值問題；擬上下解；單調(diào)迭代

目前，在微分方程的研究領(lǐng)域中利用擬上下解方法來研究微分方程解的存在性是一種重要且行之有效的方法。

文獻(xiàn)[1-9]中分別研究了一階常微分方程初值、終值及周期邊值問題的擬上下解方法。作為研究周期邊值問題的一種推廣，本文來考慮如下一階微分方程邊值問題：并設(shè)f(t,) =f0(t,) +f1(t,) +f2(t,)，其中f0,f1,f2:J×R→R均連續(xù)，J=[0,T ]。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1[5]：設(shè)B是半序Banach空間，D?B，A:D×D→B。若A(,)關(guān)于是增算子，關(guān)于是減算子，則稱A是混合單調(diào)算子。

定義2[5]：設(shè)B是半序Banach空間，D?B，A:D×D→B。若存在(*,*)∈D×D，使得A(*,*)=*，A(*,*)=*則稱(*,*)是A的一對(duì)擬不動(dòng)點(diǎn)；若(*,*)是A的一對(duì)擬不動(dòng)點(diǎn)，*≤*，并且對(duì)A的任意一對(duì)擬不動(dòng)點(diǎn)(ˉ,ˉ )都有*≤ˉ，*≤ˉ，則稱(*,*)是A的一對(duì)最大最小擬不動(dòng)點(diǎn)。

定義3[5]：若(0,0)∈D×D,0≤0，使得0≤A(0,0)，A(0,0)≤0，則稱(0,0)是A的一對(duì)擬上下解。

定義4：若v0(t ) ,w0(t )∈C1(J,R )，滿足：則稱(v0(t ) ,w0(t ) )為周期邊值問題（1）的一對(duì)擬上下解，其中v0(t )為擬下解，w0(t )為擬上解。若式（2）、（3）中不等式均以等式成立，則稱(v0(t ) ,w0(t ) )為邊值問題的一對(duì)擬解。

引理1（Ascoli-Arzela定理）[6]：設(shè)F在[α,β ]上是一致有界和等度連續(xù)的，則存在{fn}?F在[α,β ]上是一致收斂的。

引理2[5]：設(shè)B是半序Banach空間，0,0∈B，0≤0，D=[0,0]，A:D×D→B。若：

（1）A∈C(D×D,B )；

2　主要結(jié)果

定理1：設(shè)v0(t )，w0(t )分別是邊值問題的一對(duì)擬上下解，并且v0(t )≤w0(t )，t∈J。如果對(duì)?t∈J，v0(t )≤≤≤w0(t )，有

則邊值問題在D×D中存在最大最小擬解(v*(t ) ,w*(t ) )，即邊值問題的一對(duì)擬解，并且對(duì)任意一對(duì)擬解(vˉ(t ) ,wˉ(t ) )∈D×D，都有

其中，D={u|v0≤u≤w0}。若分別以(v0(t ) ,w0(t ) )，(w0(t ) ,v0(t ) )為初始元素作迭代序列其中，則{vn}，{wn}是單調(diào)的，并且vn(t )，wn(t )分別一致收斂于v*(t )，w*(t )。

證明：設(shè)v0(t )≤w0(t )，t∈J。令，任給(h1,h2)∈D×D，考慮線性邊值問題

F(h1,h2)由式（7）定義。顯然該邊值問題有唯一解為

由式（8）定義。

定義算子則A:D×D→C(J,? )連續(xù)，并且A在D×D中的不動(dòng)點(diǎn)與周期邊值問題在D×D中的解是等價(jià)的。以下只需證明算子A滿足引理1的條件。

首先，證明A是混合單調(diào)算子。

不妨設(shè)h11≤h12，下證A(h11,h2)≤A(h12,h2)。

由A的定義知，只需證明如果能證明則式（10）成立。式（11）等價(jià)于即由h11≤h12及條件（4），上式成立，即

A(h11,h2)≤A(h12,h2)。

同理可以證明，若h21≤h22，則A(h1,h21)≥A(h1,h22),即A是混合單調(diào)算子。

其次，證明v0≤A(v0,w0)，A(w0,v0)≤w0。若令v1=A(v0,w0)，則由A的定義有從而

令m(t ) =v1(t ) -v0(t )，則由擬上下解的定義及上式有

下面比較v1(0 )與v1(T )的大小和v0(0 )與v0(T )的大小。由于-1≤0，所以v1(T )≤v1(0 )。

另一方面，由于v0是方程的下解，故有v0(0 ) -v0(T )≤0≤1，即v0(0 )≤v0(T )。

綜合以上2個(gè)不等式，v1(T )≤v1(0 )，v0(0 )≤v0(T )，得

以下證明：對(duì)?t∈J, m(t )≥0。

利用反證法，假設(shè)上述結(jié)論不成立，則存在t0∈J使得m(t0)= mt∈iJn m(t ) <0。由式（12）得，可取t0∈(0,T ]，有m′(t0)≤0。從而m′(t0)≥-Mm(t0)>0，矛盾。故m(t )≥0,?t∈J，即v0≤A(v0,w0)，同理可證A(w0,v0)≤w0。

最后證明A(D×D )?C(J,R )是相對(duì)緊的。

對(duì)任意的u∈A(D×D )，由A的定義，存在(h1,h2)∈D×D，使得u=A(h1,h2)，即

因?yàn)锳是混合單調(diào)算子及v0≤A(v0,w0)，A(w0,v0)≤w0，所以對(duì)v0≤h1≤w0，v0≤h2≤w0，有，即A:D×D→D，從而A(D×D )是一致有界的，所以{F(h1,h2)-Mu|(h1,h2)∈D×D,u=A(h1,h2)}是一致有界的，即{u′|u∈A(D×D )}是一致有界的，從而A(D×D )是等度連續(xù)的。由Ascoli- Arzela定理，A(D×D )?C(I,R )是相對(duì)緊的。

至此，引理1中的條件均成立。根據(jù)引理1得，邊值問題在D×D中存在最大最小擬解(v*(t ) ,w*(t ) )，并且對(duì)任意一對(duì)擬解(vˉ(t ) ,wˉ(t ) )∈D×D，都有v*(t )≤vˉ(t )，wˉ(t )≤w*(t )，其中D={u|v0≤u≤w0}。進(jìn)一步，若分別以(v0(t ) ,w0(t ) )，(w0(t ) ,v0(t ) )為初始元素作迭代序列vn(t ) ,wn(t )，則{vn(t ) } ,{wn(t ) }是單調(diào)的，并且vn(t ) ,wn(t )分別一致收斂于v*(t ) ,w*(t )。

3　結(jié)論

本文利用擬上下方法研究了一類一階微分方程邊值問題，并通過構(gòu)造單調(diào)迭代序列得到該問題的最大最小擬解。另外，從方程所給的條件可以看出，在一階微分方程邊值問題（1）中，當(dāng)1=0時(shí)，這個(gè)邊值問題就是通常的周期邊值問題，因而問題（1）是比周期邊值問題更具一般性的一類邊值問題。

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Reforming Estimation of the Perturbation Bound in Wilkinson Theorem

作者簡介：劉孝磊（1983-），男，講師，碩士。

收稿日期：2014-09-11；

DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2015.02.019

文章編號(hào)：1673-1522（2015）02-0181-03

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O175

修回日期：2014-12-17