基于最小二乘法的改進(jìn)的Logistic人口模型

李苑等

【摘 要】人口變化對(duì)社會(huì)發(fā)展有著直接的影響。人口增長(zhǎng)率是研究人口增長(zhǎng)的重要指標(biāo)之一，人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)對(duì)人口政策的制定有著非常重要的作用。本文在有關(guān)人口的理論知識(shí)基礎(chǔ)上，根據(jù)中國(guó)1971年-2014年人口數(shù)據(jù)，基于最小二乘法的改進(jìn)的Logistic模型，分別建立模型來(lái)預(yù)測(cè)中國(guó)人口的增長(zhǎng)趨勢(shì)，并將預(yù)測(cè)的函數(shù)曲線(xiàn)與真實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到較好的結(jié)果。利用曲線(xiàn)擬合的理論，采用MATLAB軟件得到阻滯函數(shù)，再用Logistic模型來(lái)預(yù)測(cè)中國(guó)人口。結(jié)合我國(guó)人口低出生率、人口老齡化等問(wèn)題，國(guó)家調(diào)整決定開(kāi)放二胎政策，以期將我國(guó)人口調(diào)整為更加合理的發(fā)展方向。

【關(guān)鍵詞】人口增長(zhǎng)； Logistic模型；曲線(xiàn)擬合

【Abstract】Population change of future social development has a direct impact. The population growth rate is an important indicator of research and population growth， population growth has a very important role in the formulation of population policies. In this paper， based on the theoretical knowledge of the relevant population， according to the 1971 to 2014 population data， Chinese population Logistic model based on the theory of differential equations， respectively model to predict the growth trend of China's population. And predictable function curve and real data to get better results. Using the theory of curve fitting using the MATLAB software block function， and then the Logistic model predicted that China's population.Combined with the problem of the low birth rate and aging population，China decide to adjust the policy of opening a second child to make our country become better.

【Keywords】Population growth；Logistic model；Curve fitting

0 引言

人口總數(shù)的預(yù)測(cè)是人口研究中最重要、最基本的內(nèi)容之一，未來(lái)人口總數(shù)不僅對(duì)自身有重要意義，同時(shí)也是其他預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。人口預(yù)測(cè)的基本方法是在認(rèn)識(shí)人口發(fā)展變化的客觀規(guī)律和人口變量的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行測(cè)算。研究人口問(wèn)題不僅需要對(duì)人口總數(shù)進(jìn)行研究，還要對(duì)人口總數(shù)的總體狀況、變化趨勢(shì)、發(fā)展規(guī)模以及對(duì)影響人口發(fā)展的各種因素等進(jìn)行研究。本文將以往的人口預(yù)測(cè)模型進(jìn)行改進(jìn)并結(jié)合最小二乘法，擬合出較為符合實(shí)際的人口變化情況。以往的人口預(yù)測(cè)對(duì)于增長(zhǎng)率的研究不是十分理想，對(duì)于人口阻滯增長(zhǎng)模型的各種因素對(duì)人口增長(zhǎng)的影響程度沒(méi)有具體的量化，只是以一種定性研究存在。本文通過(guò)改進(jìn)Logistic 模型中的增長(zhǎng)率計(jì)算方式使得于預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確。通過(guò)查閱中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒了解我國(guó)從1970年到2014的人口總數(shù)，利用以往的Logistic模型進(jìn)行計(jì)算，并畫(huà)圖擬合出中國(guó)人口變化情況。將以往Logistic模型中的參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，利用改進(jìn)后的Logistic模型進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)計(jì)算出人口增長(zhǎng)率，作圖擬合出增長(zhǎng)率的變化情況，不難發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的模型計(jì)算所得結(jié)果相比于原來(lái)的模型更加符合實(shí)際情況。利用結(jié)合最小二乘法的改進(jìn)Logistic模型進(jìn)行人口總數(shù)的預(yù)測(cè)有較好的結(jié)果。人口的變動(dòng)會(huì)影響到基本國(guó)策的制定，聯(lián)系當(dāng)今中國(guó)國(guó)情和開(kāi)放二胎政策，使得對(duì)人口總量以及增長(zhǎng)率的研究變得尤為重要。目前我國(guó)人口低出生率、老齡化狀況明顯，這種現(xiàn)象對(duì)于我國(guó)的年齡組成是一種巨大的挑戰(zhàn)，為使我國(guó)人口可以以一種健康穩(wěn)定的態(tài)勢(shì)發(fā)展，中國(guó)政府結(jié)合實(shí)際情況正開(kāi)展逐步放開(kāi)生二胎的政策，以期可以順利調(diào)整人口狀況，使我國(guó)以更加合理的方式發(fā)展。

1 相關(guān)理論

1.1 人口阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic 模型）

2 人口預(yù)測(cè)模型建立

2.1 中國(guó)總?cè)丝诘墓烙?jì)Logistic模型

通過(guò)查閱2014年中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒，得到從1970年到2014年中國(guó)總?cè)丝凇⒛行院团匀丝跀?shù)量表格。由于表1.1從1949年到1969年之間數(shù)據(jù)不全，我們選取從1970年到2014年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，先計(jì)算出這40年間各類(lèi)人口的平均增長(zhǎng)率，總?cè)丝谄骄鲩L(zhǎng)率分別為0.01216032，設(shè)X（t）=x（t），其中x（t）表示第t年總?cè)丝诘臄?shù)量，并以1970年的人口數(shù)據(jù)X0=x0作為t=0年的數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)公式代入（1.1），得到x（t）=82992e0.01216032t（1.5）。

為了驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)過(guò)的合理性，我們將1970到2014年的原始總?cè)丝跀?shù)據(jù)與利用公式（1.5）中x（t）的函數(shù)圖形進(jìn)行比較，利用MATLAB編寫(xiě)程序[7]如下：

2.2 改進(jìn)的Logistic 模型

在Logistic模型中，對(duì)公式（1.4）系數(shù)r、xm主要通過(guò)估計(jì)[9]或統(tǒng)計(jì)得到，來(lái)分析預(yù)測(cè)人口發(fā)展態(tài)勢(shì)。事實(shí)上我們知道r（x）為x的線(xiàn)性減函數(shù)，即r（x）=r-sx，（r>0，s>0），而系數(shù)r、s不好確定。為此我們改進(jìn)Logistic模型中r（x）確定方法，我們根據(jù)人口的每年的變化率與人口數(shù)量之間的關(guān)系，采用曲線(xiàn)擬合的方式來(lái)確定r（x）=r-sx的參數(shù)r、s，對(duì)具體人口預(yù)測(cè)效果會(huì)更好。

2.2.1 中國(guó)人口增長(zhǎng)率的擬合

我們通過(guò)利用表1.的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出從1970-2014年的中國(guó)人口的增長(zhǎng)率

2.2.2 中國(guó)人口阻滯增長(zhǎng)函數(shù)的擬合

為了得到Logistic模型的阻滯增長(zhǎng)函數(shù)r（x）=r-sx，（r>0，s>0），的系數(shù)我們利用最小二乘擬合方法來(lái)擬合增長(zhǎng)率r（x）與人口總數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)表2編寫(xiě)MATLAB程序，來(lái)擬合增長(zhǎng)率與人口總數(shù)之間的關(guān)系。

運(yùn)行可得到中國(guó)人口阻滯增長(zhǎng)函數(shù)r（x）=0.0678-0.0047x。同時(shí)得到中國(guó)人口增長(zhǎng)率與人口數(shù)量（億）的關(guān)系和擬合的阻滯增長(zhǎng)函數(shù)對(duì)比關(guān)系。

2.2.3 應(yīng)用改進(jìn)的Logistic 模型方法預(yù)測(cè)中國(guó)人口

為了驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)過(guò)的合理性，我們將1970到2014年的原始總?cè)丝跀?shù)據(jù)與利用公式（1.7）中x（t）的函數(shù)圖形進(jìn)行比較，利用MATLAB編寫(xiě)程序如下：

通過(guò)分析利用Logistic 模型求出的總?cè)丝跀?shù)據(jù)與x（t）的函數(shù)圖形比較，利用改進(jìn)的Logistic 模型求出的總?cè)丝跀?shù)據(jù)與x（t）的函數(shù)圖形比較可以發(fā)現(xiàn)圖4更準(zhǔn)確，更具有實(shí)際意義[10]。

3 結(jié)束語(yǔ)

人口增長(zhǎng)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，人口變化對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)，社會(huì)發(fā)展有著直接的影響。人口增長(zhǎng)率是研究人口增長(zhǎng)的重要指標(biāo)之一，人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)對(duì)人口政策的制定有著非常重要的作用。我國(guó)人口總數(shù)在逐年增加，人口質(zhì)量明顯提高，但增長(zhǎng)率卻是降低的。通過(guò)人口數(shù)據(jù)的處理和圖像擬合的結(jié)果不難看出這一規(guī)律。人口的增長(zhǎng)變化主要是由自身的發(fā)展規(guī)律和客觀條件決定的。對(duì)于我國(guó)現(xiàn)狀而言，由于出生率低，國(guó)家人口規(guī)劃指出要完善生育政策在低出生率和人口老齡化加速的社會(huì)大趨勢(shì)下，在計(jì)劃生育基本國(guó)策不變的前提下做出一定程度的變化，國(guó)家決定“開(kāi)放二胎”政策。全國(guó)分步實(shí)施以期達(dá)到全國(guó)全面放開(kāi)二胎的目標(biāo)。進(jìn)一步改善我國(guó)人口低出生率和老齡化的現(xiàn)狀，提高我國(guó)的人口凈增長(zhǎng)率。

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[責(zé)任編輯：曹明明]