數(shù)列、集合、邏輯學(xué)起碼常識(shí)暴露課本一系列重大錯(cuò)誤

【摘 要】人類自識(shí)自然數(shù)5千多年來(lái)一直認(rèn)定無(wú)最大自然數(shù)。然而數(shù)列、邏輯學(xué)起碼常識(shí)凸顯各有首項(xiàng)的無(wú)窮數(shù)列都有末項(xiàng)使標(biāo)準(zhǔn)分析之前2千多年的數(shù)學(xué)一直“非法”使用的無(wú)窮大整數(shù)及其倒數(shù)一下子暴露出來(lái)，否定這類用而不知、名亡實(shí)存的無(wú)窮數(shù)使對(duì)無(wú)窮數(shù)列的認(rèn)識(shí)一直存在極重大缺陷與錯(cuò)誤而將各假自然數(shù)列誤為自然數(shù)列，自然就使級(jí)數(shù)論有重大錯(cuò)誤。集合起碼常識(shí)暴露中學(xué)幾百年重大錯(cuò)誤：搞錯(cuò)一系列函數(shù)的值域而將兩異集誤為同一集。揭示“各元可排為一無(wú)窮序列的集就是可數(shù)集”是錯(cuò)誤定義。

【關(guān)鍵詞】最大及無(wú)窮大自然數(shù)及其倒數(shù)；假自然數(shù)集；推翻百年自然數(shù)公理和百年集論；級(jí)數(shù)論；著名數(shù)學(xué)家朱梧槚

“科學(xué)”共識(shí)：數(shù)學(xué)，尤其是“非常成熟”的初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域絕不可有顛覆性創(chuàng)新，數(shù)學(xué)的公理、定理絕不會(huì)被推翻。有一種“兩個(gè)凡是”：“凡是試圖推翻某些舉世公認(rèn)的科學(xué)理論的人必是搞偽科學(xué)，凡是連‘小人物也談不上的‘草根絕不能有重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)”。小學(xué)生都會(huì)說(shuō)：無(wú)最大自然數(shù)?！胺纯茖W(xué)”的“連小學(xué)生都不如”的“太無(wú)知”發(fā)現(xiàn)來(lái)自于太淺顯的：①集合起碼常識(shí)c：所謂數(shù)集A=B是說(shuō)A的元x與B的元y可一一對(duì)應(yīng)相等即有x？圮y=x（表A各元x均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)y∈B且B各元y均有與之對(duì)應(yīng)相等的數(shù)x∈A），故A=B的必要條件是有x？圮y。②下述數(shù)列、邏輯學(xué)起碼常識(shí)。

1 集合起碼常識(shí)暴露中學(xué)幾百年重大錯(cuò)誤：將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列——百年病態(tài)集論的癥結(jié)

數(shù)列起碼常識(shí)：無(wú)窮數(shù)列A={an}（其中沒(méi)相等的數(shù)）各數(shù)an均有序號(hào)數(shù)n與之配對(duì)而均在第n號(hào)位置。A各數(shù)任意改變前后位置后就形成≠A的數(shù)列了，故A是由數(shù)與容納數(shù)的位置兩部分組成，A一個(gè)項(xiàng)有兩要素：一個(gè)數(shù)與其所在位置，缺少哪一要素都不能構(gòu)成一個(gè)項(xiàng)。所以相應(yīng)各數(shù)與各位置序號(hào)數(shù)n一一配對(duì)才能構(gòu)成一數(shù)列；相應(yīng)各位置與各位置序號(hào)數(shù)n一一配對(duì)才能構(gòu)成一位置序列。

定義：若A可是由B各數(shù)分別變?yōu)橐粚?duì)“新”數(shù)（各“新”數(shù)互不相等）組成的集就稱A為偶型數(shù)集，否則稱A為奇型數(shù)集；相應(yīng)有奇、偶型級(jí)數(shù)與數(shù)列。注！由一對(duì)對(duì)數(shù)組成的數(shù)集同時(shí)也是由一個(gè)個(gè)數(shù)組成，但反之就不一定了。詳論見(jiàn)[1]。

自然數(shù)集N={n}一切偶數(shù)n=2p組成E={2p}？奐N，E各元2p變?yōu)閜組成V={0，1，2，...，p，…}， V={p}各數(shù)p一增為二地變?yōu)橐粚?duì)數(shù)2p、2p+1組成偶型N={n}={0，1，...，2p，2p+1，...}。

數(shù)列V={0，1，2，...，p，…}各數(shù)p變?yōu)閿?shù)偶（2p，2p+1） （即一個(gè)數(shù)p用一對(duì)數(shù)來(lái)替換）就形成數(shù)偶序列A={（2p，2p+1）}={（0，1）（2，3）（4，5）…}包含N一切數(shù)n，各數(shù)偶（2p，2p+1）均在第p號(hào)位（兩個(gè)數(shù)占領(lǐng)一個(gè)位置），將A全部數(shù)偶挖去就得空位序列0號(hào)位，1號(hào)位，2號(hào)位，...，p號(hào)位，...（p的變域是V）；第p（=0，1，2，...）號(hào)位內(nèi)有兩個(gè)數(shù)（2p，2p+1）從而有：p號(hào)位？圮（2p，2p+1）——這種“一對(duì)二”的對(duì)應(yīng)使A中數(shù)偶與位置一樣多，從而使A中數(shù)2p、2p+1多于位置序號(hào)數(shù)p∈V，即A包含的自然數(shù)n=2p、2p+1多于V={p}包含的自然數(shù)p使V是假自然數(shù)列。顯然數(shù)列增數(shù)不增位后就數(shù)比位置多從而就打破數(shù)與位置可一一配對(duì)的格局。下述表明否定此結(jié)論的“理由”是不能成立的。

設(shè)兩不交且非空D、H的并集記為D+H=C。N={2p，2p+1}={2p}+{2p+1}各數(shù)分別都由2p或2p+1代表，因p>0時(shí)p<2p<2p+1故各p>0代表的數(shù)均是0與2p=p+p之間的數(shù)p∈N。N中可由2p代表的數(shù)的全體組成的{2p}=N嗎？這須研究{2p}各元2p與N各元2p、2p+1能否一一對(duì)應(yīng)相等？同樣，N中可由p=0，1，2，...∈V代表的數(shù)的全體組成的集記為I={p}（=V），I=N嗎？即N各數(shù)也都可由p代表嗎？這須研究I（=V）各元p與N各元2p、2p+1能否一一對(duì)應(yīng)相等？上述已闡明I=V各元p與N各元2p、2p+1不可一一配對(duì)，據(jù)集合常識(shí)cN≠I。所以正如N各數(shù)并非都能由2p代表一樣，N各數(shù)也并非都能由p∈I代表。有人證明了I各元p與V各元p能一一對(duì)應(yīng)相等就斷定V=N，這是錯(cuò)誤的，因這只說(shuō)明I=V而不能說(shuō)明V=N。沒(méi)人能證I={p}與N={2p，2p+1}的元可一一對(duì)應(yīng)相等的原因非常簡(jiǎn)單：當(dāng)p>0時(shí)說(shuō)2p+1>2p>p>0中的p>0可一個(gè)不漏地遍取N一切正數(shù)就是說(shuō)式中2p+1、2p可>N一切正數(shù)而取N外數(shù)——與2p+1、2p∈N矛盾！故p>0不可遍取N一切正數(shù)使I≠N；p>0被限制只能代表區(qū)間j=（0，2p+1）（2p>0可遍取N一切正偶數(shù)）內(nèi)的自然數(shù)，顯然j內(nèi)能由p<2p<2p+1代表的數(shù)p>0的全體是不能包含N一切正數(shù)n=2p、2p+1的。極顯然：N各正偶數(shù)點(diǎn)x=2p<2p+1沿x軸負(fù)向后移成點(diǎn)x+△x=p<2p組成的集≠正自然數(shù)點(diǎn)集。

故自有函數(shù)概念幾百年來(lái)一直公認(rèn)的中學(xué)“值域?yàn)镋={2p}的y=2p 的定義域V={p}=N”是被假自然數(shù)列迷惑。

同理可證：V各元p變?yōu)槿齻€(gè)數(shù)3p、3p+1、3p+2組成{3p，3p+1，3p+2}的元多于V的元p；N各元n變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)2n、2n+1組成N′的元多于N的元n使N′≠N是假N；E各元2p變?yōu)閮蓚€(gè)偶數(shù)4p、4p+2組成E′的元多于E的元2p——說(shuō)明數(shù)列E={0，2，4，...，2p，...}各數(shù)2p變?yōu)閮蓴?shù)（4p，4p+2）形成偶型數(shù)列E′={（0，2）（4，6）...（4p，4p+2）...}包含的偶數(shù)多于E包含的偶數(shù)；...。

N各元n變?yōu)榕紨?shù)2n組成{2n}各元2n與N各元n顯然不可一一對(duì)應(yīng)相等。同樣：N各元n變?yōu)?n、2n+1組成N′={0，1；2，3；…；2n，2n+1；...}各元2n、2n+1與N各元n更顯然不可一一對(duì)應(yīng)相等；N各元n變?yōu)?n、3n+1、3n+2組成N″各元3n、3n+1、3n+2與N各n更更顯然不可一一對(duì)應(yīng)相等；...。以上說(shuō)明集合常識(shí)c使持續(xù)幾百年的將無(wú)窮多假N誤為N的重大錯(cuò)誤“N=V=N′=N″=....”一下子暴露出來(lái)。建立在此錯(cuò)誤之上的理論必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤。

N各元n=2p、2p+1變?yōu)?n=4p、4p+2組成E′={2n}={4p，4p+2}～N。E各元2p變?yōu)橐粚?duì)數(shù)2p、2p+1組成N={2p}+{2p+1}中的{2p}各元2p與E各元2p能一一對(duì)應(yīng)相等，鮮明對(duì)比的是無(wú)人能證E各元2p與E′各元4p、4p+2能一一對(duì)應(yīng)相等；故中學(xué)幾百年“E={2p}=E′={2n}”是違反集合常識(shí)c的重大錯(cuò)誤——使康脫誤以為E （？奐N）～N。...。

可將A={an}比喻為一列“坐”滿數(shù)的只有單排座位的無(wú)窮長(zhǎng)列車，各數(shù)an均“坐”在n號(hào)座位上。將數(shù)列N={0，1，2，…}的奇數(shù)都挖去得有無(wú)窮多空位的序列X={0，1號(hào)空位，2，3號(hào)空位，4，…}，N各數(shù)n變?yōu)?n形成沒(méi)空位的數(shù)列E′={2n}={0，2，4，…}顯然≠X。因“拆東補(bǔ)西”地讓X中一數(shù)移到空位的同時(shí)其原座位也變空故X中數(shù)與座位是不可一一配對(duì)的，原因是數(shù)比座位少——說(shuō)明沒(méi)空位的E′包含的偶數(shù)多于X包含的偶數(shù)——說(shuō)明E′中必有偶數(shù)2n=t>X一切偶數(shù)n=2p，不識(shí)這類用而不知的N外偶數(shù)t使中學(xué)一直將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列。因X任一非0數(shù)n前移一格到空位內(nèi)的同時(shí)必生一新空位在n的后面故n前移一格就使一空位也“移”到n后面，所以X各非0數(shù)均前移一格到空位內(nèi)得Y={0，2，4，…}中必有與前移數(shù)一樣多的空位均在一切前移數(shù)的后面；目光太短淺的“肉眼”數(shù)學(xué)無(wú)法正確認(rèn)識(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)處的情況而有肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)：Y中沒(méi)空位。肉眼不能將Y的項(xiàng)都看到，但人有邏輯推理能力，“拆東補(bǔ)西”不能使有空位的序列中的空位有任何減少；慧眼能洞察Y中有空位項(xiàng)而不被肉眼所騙。

2 數(shù)列、邏輯學(xué)起碼常識(shí)讓5千年都無(wú)人能識(shí)的N={n}的最大自然數(shù)一下子暴露出來(lái)——級(jí)數(shù)論有重大錯(cuò)誤

挖去R軸一點(diǎn)x就空出一位置“洞”x說(shuō)明R軸由點(diǎn)與容納點(diǎn)的位置洞兩部分組成。R軸的自然數(shù)點(diǎn)序列N={n}無(wú)非是各點(diǎn)n各就各位地進(jìn)入各指定位置“座位”排成的一行點(diǎn)（將N全部點(diǎn)n挖去就得空位序列：0號(hào)位，1號(hào)位，2號(hào)位，...），“無(wú)窮旅館”N的數(shù)n都“住”在n號(hào)“房間”內(nèi)，一n前移“奪占”n′的座位的同時(shí)其原座位也變空，故被奪位的數(shù)都可后移到空位上。級(jí)數(shù)論的“黎曼更序定理”說(shuō)明人們?cè)缇椭罃?shù)列N={0，1，2，3，...}各數(shù)可任意改變前后位置，例其偶數(shù)n=2p均與奇數(shù)n=2p+1交換位置就得還是由N全部數(shù)與全部位置組成的B={1，0，3，2，...}，顯然B各數(shù)都在N的位置內(nèi)；同樣...。故據(jù)數(shù)列起碼常識(shí)有

h邏輯學(xué)常識(shí)1：數(shù)列A各數(shù)任意改變前后位置形成的數(shù)列（還由A全部數(shù)與位置組成）的各數(shù)與位置座位還是已一一配對(duì)；所以無(wú)論怎樣改配對(duì)方案，在各新配對(duì)方案下構(gòu)成的新數(shù)列的各數(shù)都在舊數(shù)列的位置內(nèi)。

所以N各奇數(shù)n=2p+1可保序前移到p（=0，1，2，...）號(hào)位（即各2p+1改與p號(hào)位配對(duì)），而各偶數(shù)n=2p可保序后移到空位內(nèi)得數(shù)列K：1，3，5，…；0，2，4，…。（注：不是所有數(shù)列都能寫出通項(xiàng)式）據(jù)h邏輯學(xué)常識(shí)1K各數(shù)都在N的位置內(nèi)：1在0號(hào)位，3在1號(hào)位，…，0排在各奇數(shù)的后面而處在第w號(hào)位，2在w+1號(hào)位，...。不能想當(dāng)然地簡(jiǎn)單認(rèn)定后移的各偶數(shù)2p不在N的位置內(nèi)，對(duì)無(wú)窮現(xiàn)象須特別小心謹(jǐn)慎、過(guò)細(xì)，否則就要出錯(cuò)。人們可定義K不是數(shù)列但不可否認(rèn)K中有N的第w號(hào)位處在K各奇數(shù)后面，因h邏輯學(xué)常識(shí)1和下述改偶定理表明K各數(shù)與N各位置已一一配對(duì)；而有w號(hào)位就必有w-1號(hào)位。K各奇數(shù)2p+1（p=0，1，2，...）在p號(hào)位，所有序號(hào)數(shù)p組成V，顯然w號(hào)位中的w與w+1等等都是V={0，1，2，...，p，…}外標(biāo)準(zhǔn)無(wú)窮大自然數(shù)從而>V一切數(shù)p（V有上界就必有上確界）——推翻中學(xué)5千年“常識(shí)”：無(wú)自然數(shù)能>V一切數(shù)。顯然用而不知的w的倒數(shù)1/w<任何有窮正數(shù)ε是用而不知的無(wú)窮小正數(shù)?！皹?biāo)準(zhǔn)分析之前2千多年的數(shù)學(xué)一直使用未經(jīng)嚴(yán)格證明的無(wú)窮數(shù)進(jìn)行推理計(jì)算輕而易舉地攻克了不用無(wú)窮數(shù)就無(wú)法解決的一系列世界難題，只不過(guò)對(duì)這類舉足輕重的‘更無(wú)理數(shù)一直無(wú)力實(shí)現(xiàn)由感性認(rèn)識(shí)躍升到理性認(rèn)識(shí)罷了[2]；”“歐拉毫不猶豫地承認(rèn)無(wú)窮小的數(shù)和無(wú)窮大的數(shù)都是客觀存在的，并且如此純熟地應(yīng)用這些概念…[3]”。顯然K中偶數(shù)2p都處在K一切奇數(shù)2p+1的后面而都與1相隔無(wú)窮多個(gè)數(shù)，故K中有無(wú)窮多首項(xiàng)的數(shù)是1，末項(xiàng)的數(shù)是2p的無(wú)窮數(shù)列（各數(shù)列互不相等）。

同上理，如[4]所述N={n}各非0數(shù)1，2，3，…可保序前移一格，而0可后移到空位內(nèi)從而得數(shù)列1，2，3，...，0；（可否認(rèn)這是數(shù)列但不可否認(rèn)...）即各n≥1改與n-1號(hào)位配對(duì)后，0就移到各非0數(shù)的后面而處在第Ω號(hào)位，顯然Ω是N的最大自然數(shù)（下節(jié)更有力地證明Ω的客觀存在性）——推翻百年自然數(shù)公理。同理可證V={0，1，2，...，p，…}有末項(xiàng)，可證各有首項(xiàng)的固定無(wú)窮數(shù)列都有末項(xiàng)?？梢?jiàn)V？奐N（下節(jié)還要作更有力證明），形如{0，1，2，...，p，…}的集不一定是N，正如“有胡子的不一定是爹”一樣。所以許多書都有的“定理：集A是可數(shù)集的充要條件是：A各元可排為一無(wú)窮序列：...。”其實(shí)是百年錯(cuò)誤。文[5]有一改天換地的改偶定理：

h定理1：各x與各y一一配對(duì)成一無(wú)窮“夫妻”數(shù)偶集F={（x，y）}內(nèi)“男、女”雙方中有“人”“喜新厭舊另結(jié)新歡”改配偶使有的人變成“單身”后，一方出多少個(gè)單身，對(duì)方也只能出多少個(gè)單身。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶x0與y0就成一對(duì)單身，一單身x0“再婚”就或使對(duì)方一單身也再婚或拆散一對(duì)夫妻（x1，y1）而生一新單身x1，...，沒(méi)別的可能。故F中非單身任意改配偶（新配偶必是F中人）后一方出n個(gè)單身的同時(shí)對(duì)方也只能出n個(gè)單身。

例兩N成二重集N∪N由一對(duì)對(duì)二重元（n，n）組成集{（0，0）（1，1）（2，2）…}=N，其中一N各非0數(shù)n≥1改與n-1（∈另一N）配對(duì)而形成{（0，1）（1，2）（2，3）…}還=N；顯然其中的兩個(gè)0都可有非0配偶，雖然兩0之間相隔無(wú)窮遠(yuǎn)。這說(shuō)明不論在何配對(duì)法則下兩N的數(shù)都必可一一配對(duì)而不是只有按某特殊配對(duì)法則（例n？圮n）才可，只不過(guò)各數(shù)不一定都按同一配對(duì)法則進(jìn)行配對(duì)罷了。某人說(shuō)：我能跳高5米但只能通過(guò)特殊途徑例電影來(lái)間接“證明”此“事實(shí)”。這顯然是騙子。同樣若G=N則G=N各元y與N各元x不論在何配對(duì)法則下都必可一一配對(duì)而不是只有按...才可，否則“一樣多”是不合邏輯的假象；所以在G各非0數(shù)y′≥1都分到配偶x=y′-1∈N的同時(shí)G的0也必可按另一配對(duì)法則有配偶（Ω）∈N。為迷惑敵人將第3團(tuán)改名為“第3團(tuán)第3營(yíng)”但其實(shí)還是改名前所有人與武器組成的集體，敵人誤認(rèn)其僅是3團(tuán)的1/3部分是犯致命錯(cuò)誤。同樣“無(wú)窮旅館”N各房間與各數(shù)n已一一配對(duì)：n號(hào)房？圮n，將各房間的房號(hào)數(shù)n都涂改為2n而改稱是2n號(hào)房就得百年假象：N一部分房間可與N全部數(shù)n一一配對(duì)——“幼稚小孩”階段的數(shù)學(xué)以為“魔術(shù)師”真能將奇數(shù)號(hào)房給變沒(méi)了。證畢。

此定理表明h邏輯學(xué)常識(shí)1是正確的。應(yīng)有

h邏輯學(xué)常識(shí)2：偶型數(shù)列N={0，1，2，3，4，...}中偶數(shù)與奇數(shù)可一一配對(duì)，因這性質(zhì)與各數(shù)在哪一位置無(wú)關(guān)故這性質(zhì)不因N中各數(shù)的位置的改變而改變。顯然應(yīng)有

h邏輯學(xué)常識(shí)3：凡滿足“其各項(xiàng)可兩兩配對(duì)且每對(duì)項(xiàng)的數(shù)的代數(shù)和都是0”的級(jí)數(shù)必=0，不論其是否發(fā)散。

將數(shù)列N中偶數(shù)都用-1置換，奇數(shù)都用1置換就得{-1，1，-1，1，-1，1，…}，相應(yīng)有偶型s=-1+1-1+1-1+1-...=0；s是否=0完全取決于s中的-1和+1是否可一一配對(duì)而與某極限是否存在無(wú)關(guān)，與各-1和+1所處位置無(wú)關(guān)。數(shù)列K={1，3，5，…；0，2，4，…}中奇數(shù)都用-1置換，偶數(shù)都用1置換就相應(yīng)有偶型級(jí)數(shù)g=（-1-1-1-...）+（1+1+1+...）=0，因K中偶數(shù)與奇數(shù)可一一配對(duì)。所以級(jí)數(shù)論斷定s≠0和g≠0是違反h邏輯學(xué)常識(shí)的幾百年重大錯(cuò)誤，癥結(jié)是幾百年來(lái)一直不知級(jí)數(shù)與數(shù)列是有奇、偶型之分的，不知：不存在沒(méi)末項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。世界數(shù)學(xué)大師歐拉在一片反對(duì)聲中超越前、后人地“頑固”堅(jiān)信：任何級(jí)數(shù)不管是否發(fā)散都有一個(gè)確定的和或值。（張文修《數(shù)林漫步》25頁(yè)，陜西科技出版社，1984）應(yīng)有起碼邏輯學(xué)常識(shí)：固定的無(wú)窮數(shù)列{an}各數(shù)f（n）變號(hào)為-f（n）形成新數(shù)列，兩數(shù)列所有數(shù)f（n）、-f（n）的代數(shù)和：∑f（n）-∑f（n）必=0，因各正、負(fù)數(shù)可一一配對(duì)且此性質(zhì)不因各數(shù)在級(jí)數(shù)中的位置的改變而改變。所以“無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加是不能完成的”是片面認(rèn)識(shí)。凡不合邏輯的理論必是不符合實(shí)際的錯(cuò)誤理論。

3 再證N有最大元推翻百年集論——朱梧槚等4位數(shù)學(xué)家的“怪論”其實(shí)是重大發(fā)現(xiàn)

h定理2：若非空A～B？奐無(wú)窮集C=（C-B）+B則A不可～C。

證：用反證法。假設(shè)A～C成立則在A、C雙方的元一一配對(duì)后再令A(yù)各元x都改與C=（C-B）+B中B～A的元y配對(duì)從而有x？圮y∈B后，A～B？奐C就有0個(gè)單身，據(jù)h定理1（改偶定理）C=（C-B）+B也只有0個(gè)單身，然而事實(shí)上（C-B）各元都是單身，故假設(shè)不成立。證畢。

據(jù)h定理2無(wú)窮集W的任何真子集A～A？奐W都不可～W。所以“可～其真子集”的“無(wú)窮集”確如朱梧槚、肖奚安、杜國(guó)平、宮寧生4位數(shù)學(xué)家所說(shuō)“都是自相矛盾的非集[6]”，正如不存在既跑得快而又絕了食的馬一樣。以非集為集的理論必是錯(cuò)上加錯(cuò)的更重大錯(cuò)誤。

V={0，1，2，...p，…}各數(shù)p變?yōu)?p、2p+1組成N={2p}+{2p+1}。據(jù)h定理2由V={p}～{2p}？奐N知V不可～N，據(jù)集合常識(shí)cV≠N。同樣...。

N各數(shù)n≥0的后繼y=n+1≥1的全體組成H={1，2，...，n+1，...}～N， 中學(xué)一直認(rèn)定H=N+=N-{0}={1，2，...，n≥1，...}？奐N；其實(shí)這是將兩異數(shù)列誤為同一數(shù)列。據(jù)h定理2～N的H不是N的真子集N+？奐N。因N+各數(shù)n≥1都是n-1∈N的后繼n∈后繼集H，故H包含N+；包含N+的H≠N+說(shuō)明H中必至少有一N+外的正整數(shù)y0=n0+1>n0∈N，顯然n0=Ω是N的最大元——其后繼Ω+1是N+？奐N外即N外數(shù)。人類由認(rèn)識(shí)自然數(shù)到發(fā)現(xiàn)Ω竟須歷時(shí)5千多年！

不斷增元的集是變集。其項(xiàng)不斷由n個(gè)增加到n+1個(gè)的數(shù)列是變數(shù)列B：由{0}變到{0，1}變到{0，1，2}變到…，當(dāng)且僅當(dāng)其項(xiàng)不再增加而有末項(xiàng)時(shí)B才成固定數(shù)列N。“潛無(wú)窮”觀認(rèn)為不可有包含無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)的固定數(shù)列，“實(shí)無(wú)窮”觀認(rèn)為可有此類無(wú)窮數(shù)列，但又?jǐn)喽ㄆ錄](méi)末項(xiàng)；這是不合邏輯的自相矛盾。設(shè)x軸包含N一切點(diǎn)，能將N全部點(diǎn)取出的x必使軸內(nèi)∈N的點(diǎn)不斷變少，最后使軸內(nèi)無(wú)∈N的點(diǎn)；顯然當(dāng)且僅當(dāng)此x取到某點(diǎn)∈N后，軸內(nèi)就無(wú)∈N的點(diǎn)了，才能說(shuō)x的變域可是N。說(shuō)由小到大取值且變域?yàn)镹的n每取一數(shù)n∈N后總還有后續(xù)數(shù)n+1∈N要取而總不能取到無(wú)數(shù)∈N可取，顯然就是說(shuō)n不可取光N一切數(shù)——與“n的變域?yàn)镹”矛盾！由小到大取值且變域?yàn)闊o(wú)窮有序集T=[a， b]的x必有最后一次的取值：取至b后就無(wú)數(shù)可取了，即其取數(shù)過(guò)程是有完有了、有始有終的（“潛無(wú)窮”觀認(rèn)為不可有包含無(wú)窮多個(gè)元的集）。這是“無(wú)窮”與“有窮”的對(duì)立統(tǒng)一性在數(shù)學(xué)中的生動(dòng)體現(xiàn)。關(guān)鍵：對(duì)人而言T內(nèi)數(shù)多得取之不盡，但人所創(chuàng)立的符合實(shí)際的抽象理論中的變數(shù)卻能一個(gè)不漏地遍取其變域T的一切數(shù)，正如人造的機(jī)器人等能干人所不能干的事一樣。所以無(wú)人能將無(wú)窮級(jí)數(shù)的項(xiàng)都寫出來(lái)≠其沒(méi)末項(xiàng)。

與x相異或相等的數(shù)均可表為y=x+△x（△x可=0也可≠0）。

h定理3：集隨元的變換而變換。不含負(fù)數(shù)的有序數(shù)集A各元x保序變?yōu)閥（x）=x+△x組成元為y的B，若B=A則此變換只能是恒等變換即必是x？圮y=x。

證1：保序變換可分為恒等變換與非恒等變換兩種。比x大（?。┑臄?shù)y可稱是在x前（后）面的數(shù)y。A={0，1，2 }各元x保序變?yōu)閥=x+△x=2x組成{0，2，4 }各元2x與A 各x不可一一對(duì)應(yīng)（下轉(zhuǎn)第36頁(yè)）（上接第6頁(yè)）相等，各x=0，1，2只可與各2x=x+x中的x=0，1，2一一對(duì)應(yīng)相等。同樣，…。這說(shuō)明任何有序數(shù)集A各元x保序變?yōu)閥=x+△x不≡x組成B各元x+△x與A各x不可一一對(duì)應(yīng)相等（各x只可與各x+△x∈B中的x一一對(duì)應(yīng)相等），因≠x的各x+△x都在x的前（后）面。在x？圮y=x+△x（△x≡0時(shí)x不≡0）中顯然當(dāng)且僅當(dāng)△x≡0時(shí)才可有x？圮y=x。注：式中若△x≡0時(shí)x也≡0則有0？圮0。

證2：A各元x到0的距離就是x本身。若B=A則不含負(fù)數(shù)的A（B）各元x（y）到0的距離是變量x（y），顯然因A與B是同一集故x與y必是同一距離變量即y=x——恒等變換式（注：y是由x變?yōu)閥=x+△x而來(lái)的）。證畢。

設(shè)R所有非負(fù)元x≥0組成R+，R+各元x≥0保序變?yōu)閗x（正常數(shù)k≠1）≥0（從而有x？圮y=kx）組成的集可記為kR+。據(jù)h定理3kR+≠R+。R？勱D=[0，1]各元x（非負(fù)數(shù)）保序變?yōu)閥=xn≥2組成J，據(jù)h定理3J≠D（據(jù)h定理3，R+各元x≥0保序變?yōu)閥=xn≥2≥0組成L≠R+）；...。所以中學(xué)幾百年函數(shù)“常識(shí)”：kR+=R+，J=D等等，其實(shí)是違反集合常識(shí)c的一系列重大錯(cuò)誤。

Z′=[0，2]？奐R+的子部D=[0，1]？奐Z′各元x變?yōu)閄=2x∈Z′生成元為X=2x的Z=[0，2]（～D）？奐2R+≠R+。據(jù)h定理2，Z～D？奐Z′不可～Z′，據(jù)集合常識(shí)cZ′≠Z。故中學(xué)幾百年“Z=Z′”其實(shí)是將兩異集誤為同一集的肉眼直觀錯(cuò)覺(jué)。用h定理2檢驗(yàn)知課本上類似這樣將不“等勢(shì)”的兩異集誤為同一集的錯(cuò)誤比比皆是，沒(méi)能及時(shí)發(fā)現(xiàn)使康脫推出康健離脫的病態(tài)理論。

4 結(jié)束語(yǔ)

錯(cuò)誤的基礎(chǔ)教育會(huì)使受教育者打歪成才的基礎(chǔ)。破除迷信、解放思想、實(shí)事求是才能創(chuàng)造幾千載難逢的神話般世界奇跡使數(shù)學(xué)發(fā)生革命飛躍：一下子飛躍進(jìn)認(rèn)識(shí)Ω的時(shí)代從而不再被違反集合常識(shí)c的假無(wú)窮集迷惑。百年集論百年來(lái)浪費(fèi)了億萬(wàn)學(xué)生（包括物理、哲學(xué)、邏輯學(xué)專業(yè)的學(xué)生）大量寶貴時(shí)間（“時(shí)間就是金錢，…”）與精力以及億萬(wàn)元寶貴學(xué)費(fèi)。育人課本的重大錯(cuò)誤造成的重大經(jīng)濟(jì)損失一點(diǎn)也不亞于經(jīng)濟(jì)建設(shè)的重大錯(cuò)誤造成的經(jīng)濟(jì)損失，是否及時(shí)糾正與每一人的切身利益息息相關(guān)。

備注：已對(duì)本文采取法律公證等法律保護(hù)措施。

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃小寧.證明數(shù)偶集{（1，2）（3，4）...（2n-1，2n）...}有最大數(shù)元——反復(fù)論證集有奇、偶型之分糾正課本重大錯(cuò)誤[J].科技視界，2014（24）：362.

[2]黃小寧.極限論總極難學(xué)真因：人有抵制思想混亂學(xué)說(shuō)本能——為偉大科學(xué)家遠(yuǎn)超后人地使用無(wú)窮數(shù)光輝實(shí)踐正名[J].科技信息，2010（33）：61.

[3][美]愛(ài)德華.微積分發(fā)展史[M].張鴻林，譯.北京：北京出版社：1987：368.

[4]黃小寧.真正科學(xué)常識(shí)否定5千年“常識(shí)”：沒(méi)最大自然數(shù)——證實(shí)龐加萊百年前偉大科學(xué)預(yù)見(jiàn)推翻百年集論[J].科技信息，20011（27）：24.

[5]黃小寧.著名數(shù)學(xué)家朱梧槚的發(fā)現(xiàn)揭示課本有一系列重大錯(cuò)誤——發(fā)現(xiàn)最小、大正數(shù)推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題[J].科技視界，2014（10）：70.

[6]朱梧槚，肖奚安，杜國(guó)平，宮寧生.關(guān)于無(wú)窮集合概念的不相容性問(wèn)題的研究[J].南京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)：自然版，2006（6）.

[7]黃小寧.兩集相等概念推翻百年集論和幾百年函數(shù)“常識(shí)”——課本重大錯(cuò)誤：定義域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（3）：117.

[8]黃小寧.課本一系列重大根本錯(cuò)誤：將兩異圖形（數(shù)列）誤為同一圖形（數(shù)列）——書中x軸確如朱梧槚等4位數(shù)學(xué)家所說(shuō)“是自相矛盾的非集”[J].科技視界，2015（3）：332.

[9]黃小寧.中學(xué)極重大根本錯(cuò)誤：無(wú)窮數(shù)列必?zé)o末項(xiàng)——“一對(duì)一”常識(shí)推翻五千年科學(xué)“常識(shí)”：無(wú)最大自然數(shù)[J].科技信息，2011（1）：51.

[責(zé)任編輯：曹明明]