關(guān)于含逆斷面正則半群的平移殼

郭曉永，劉新澤

（臨滄師范高等?？茖W(xué)校a.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所；b.數(shù)理系，云南臨滄677000）

關(guān)于含逆斷面正則半群的平移殼

郭曉永a，劉新澤b

（臨滄師范高等?？茖W(xué)校a.應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所；b.數(shù)理系，云南臨滄677000）

研究了含有逆斷面的正則半群S的平移殼 Ω(S )及若干特征，并得出了Ω (S)的一些相關(guān)的性質(zhì)。

正則半群；逆斷面；平移殼

自Blyth等［1］引入逆斷面的概念以來(lái)，關(guān)于半群的各種斷面（如逆斷面、恰當(dāng)斷面、純正斷面）已成為半群代數(shù)研究方面的重要內(nèi)容［2–20］。由于半群的一個(gè)斷面是該半群的一個(gè)子半群，因此，研究的思路就是通過(guò)半群的某一性質(zhì)比較好的子半群把握整個(gè)半群，由此達(dá)到由局部把握整體的目的。后來(lái)，陳建飛和朱光輝［15］研究了含逆斷面的正則半群的平移殼。在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步研究了含逆斷面的正則半群的平移殼的若干特征，并得出了一些相關(guān)的性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

如果 S0SS0?S0，則稱S0為S的擬理想。

如果對(duì)于任意的x、 y? S，有 x0xyy0?E( S0)，則稱S0是可乘積的，其中E（S0）為S0的所有冪等元組成的集合。

如果對(duì)于任意的x、 y? S，半群S上的映射 λ滿足λ( xy) = (λx) y，則稱 λ是半群S上的左平移；若半群S上的映射 ρ 滿足 (xy) ρ = x( yρ)，則稱 ρ是半群S上的右平移。

如果S中任意的x、y和 λ、ρ 滿足 x(λ y ) =(xρ) y，則稱 (λ, ρ)為半群S的一個(gè)聯(lián)系對(duì)。

記半群S上所有的聯(lián)系對(duì)構(gòu)成的集合為 Ω(S)。

設(shè)(λ,ρ) ? Ω(S )，定義 λ0和 ρ0如下，即對(duì)任意的x?S，有

為了得到本文結(jié)論，我們先給出以下引理。

引理1［13］：設(shè)S0是半群S的逆斷面，若S0是S的擬理想，則對(duì)任意的x0?S0，x?S，有：1） x0yy0=x0y00y ，0y0yx0= y0y00x0；2）(x0y)0= y0x00，( y x0)0=x00y0。

引理2［14］：設(shè)S是正則半群， Ω(S)是S的平移殼，若S是弱可消的，則 Ω(S )是可置換的，即對(duì)任意(λ,ρ)?Ω(S)，(λ1,ρ1)? Ω(S)及任意x?S，有 (λs)ρ1=λ( sρ1)。

2 主要結(jié)論

若 Ω(S)是半群S的平移殼，則平移殼 Ω(S)有如下性質(zhì)。

定理1：對(duì)任意的 (λ,ρ) ? Ω(S)，有如下結(jié)論：

證明：1）設(shè) e? E( S0)，由 λ(eρ )0·λ ( eρ)0= λ( e · eρ )0·λ( e · eρ )0= λ(eρ)0eρ( eρ )0=λ(e ρ)0，可得(λ(e ρ)0)00= λ(eρ )0? E( S0)。又由于(λ0λλ0)e= λ0λ(e ρ )0e=((λ( e ρ )0)00(λ(e ρ )0)0ρ)0·λ(e ρ0) e =((λ(e ρ )0)0ρ)0·λ(e ρ0) e = ((λ( e ρ )0)0ρ)0·(λ(e ρ0))0e=((λ(e ρ )0)0ρ)0·e= ( e(λ( e ρ )0)0ρ)0·e= ((λ( e ρ)0)0· eρ)0· e= ( eρ )0·(e ρ )00(eρ)0· e= ( eρ)0· e=λ0e ，因而，有λ(eρ )0? IS0∩E( S0)?I 。對(duì)任意的x?S，有(λ0λλ0)x= (λ0λλ0)(xx0)· x = (λ0λλ) (x00x0)· x = λ0(x00x0) x =λ0x ，因此，有 λ0λλ0= λ0。同理可證 ρ0ρρ0=ρ。0

2）設(shè) x ? Ω(S)，則有x (ρ ρ0ρ)0=x (λ λ0λ(x0x00))0=x(λ( x0x00))0=x ρ0，因此，有 (ρ ρ0ρ)0=ρ0。同理可證(λ λ0λ)0=λ0。

定理2：設(shè)( λ,ρ)? Ω(S )，( λ, ρ1) ?Ω(S )，則對(duì)任意e? E( S0)，有 (eρ )0=(eρ1)0。

定理4：設(shè) (λ,ρ) ? Ω(S)，且x?S，則有如下結(jié)論成立：

證明：1）取x?S，記 i = λx(λ x)0，則有 λx = iλ x ，且i?I，于是有 (λ λ0λ) x =(λλ0i)λ x =λ( i0ρ)0λx ，因而，有λx(λ x)0(λ λ0λ) x = i·(λ ( i0ρ)0)· λx = i·( i0λ( i0ρ)0)·i·λ x = i·( i0ρ( i0ρ)0)·i0ρ ·x= i· i0ρ·x= iλ x =λx 。同理可證xρ = x (ρ ρ0ρ) ·(xρ)0( x ρ)。

2）由結(jié)論1）可知 i0λ x = i0i( λλ0λx )= i0(λλ0λ)x ，因而有(λx )0=( i0λ x)0=( i0λλ0λx )0= (λ λ0λx)0i0= (λ λ0λx )0。同理可證 (x (ρ ρ0ρ) )0=(xρ)0。

［1］BLYTH T S,MCFADDEN R B.Regular Semigroups with a Multiplicative Inverse Transversal［J］.Proc Roy Soc A, 1982,92:253-270.

［2］ ALMEIDASANTOSM H.Inverse Transversal Congruence Extensions［J］.Communications in Algebra,1998,26: 889-898.

［3］ BLYTH T S.Inverse Transversals-a Guided Tour:

Proceeding of International Conference on Semigroups, Brago,June,18-23,1999［C］.Singapore:World Scientific, 2000.

［4］BLYTHTS,ALMEIDASANTOSMH.ASimplistic Approach to Inverse Transversals［J］.Proc Edinburgh Math Soc,1996, 39:57-69.

［5］ BLYTH TS,CHEN JF.All Inverse TransversalsareMutually Isomorphic［J］.Communications in Algebra,2001,29:799-804.

［6］ EL-QALLALIA.AbundantSemigroupswith aMultiplicative TypeATransversal［J］.Semigroup Forum,1993,47:327-340.

［7］ CHEN J F.Abundant Semigroups with Adequate Transversals［J］.Semigroup Forum,2000,60:67-79.

［8］ CHEN J F.On Regular Semigroups with Orthodox Transversals［J］.Communications in Algebra,1999,27: 4275-4288.

［9］ CHEN J F,GUO Y Q.Orthodox Transversals of Regular Semigroups［J］.International JAlgebra and Computation, 2001,11:269-279.

［10］SAITO T.Construction of Regular Semigroupswith Inverse Transversals［J］.Proc Edinburgh Math Soc,1989,32:41-51.

［11］SAITO T.Relationship Between the Inverse Transversals of a Regular Semigroup［J］.Semigroup Forum,1986,33: 245-250.

［12］SAITO T.Structure of Regular Semigroups with a Quasiideal Inverse Transversal［J］.Semigroup Forum,1985,31: 305-309.

［13］MCALISTER D B,MCFADDEN R.Regular Semigroups with Inverse Transversals［J］.Quart JMath Oxford,1983, 34（2）:459-474.

［14］PETRICH M.Some Constructions Related to Rees Matrix Semigroups［J］.Semigroup Forum,1999,59:244-263.

［15］陳建飛，朱光輝.含擬理想逆斷面正則半群的傳遞殼［J］.山東科學(xué)，2002（1）：1-4.

［16］汪立民.具有某種斷面的半群的研究進(jìn)展［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002（6）：485-494.

［17］郭曉永，費(fèi)秀海.具有乘積純正斷面的正則半群［J］.南京師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（2）：23-26.

［18］朱鳳林，劉泮振.具有逆斷面的純正半群［J］.信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（2）：130-131.

［19］陳益智，趙斌.完全 J0單半群的平移殼［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（5）：709-712.

［20］袁瑩，宮春梅，馬思遙.U-超富足半群的結(jié)構(gòu)與完全單半群的平移殼［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2014（1）：35-47.

［21]郭曉永.富足半群的擬理想恰當(dāng)斷面［J］.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（4）：289-290.

【責(zé)任編輯 王云鵬】

On Translational Hulls of Regular Sem igroups w ith Inverse Transversals

GUO Xiaoyonga，LIU Xinzeb
（a.Institute of Applied Mathematics；b.Department ofMathematics and Science, Lincang Teachers'College,Lincang 677000,China）

This paper introduced the translational hull Ω(S)of a regular semigroup S with inverse transversals.Some characters and properties of Ω(S)were characterized.

regular semigroups；inverse transversals；translational hulls

O152.7

A

2095-7726（2015）06-0001-03

2015-02-28

云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（2012Y273，2012Z150C，2013Y102）

郭曉永（1975-），男，河南南陽(yáng)人，教授，博士，研究方向：半群代數(shù)理論和控制理論。