楊輝標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型和函數(shù)表

劉立云 干有成 趙霖 黃裕泉

摘 要 楊輝三角數(shù)表（1262年）是由2^N推演而來，當(dāng)N=4時，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是二項式（A+B）^N展開的系數(shù)比（1：4：6：4：1），它的幾何量數(shù)學(xué)模型，是由元代數(shù)學(xué)家朱世杰（1299年）發(fā)明的，但在官方已經(jīng)失傳，僅在民間流傳。本文根據(jù)朱世杰的“斤求兩和兩求斤”的16字口訣，重建標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計公式（四則運算），揭示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中“頻數(shù)、百分率、總數(shù)、總量、平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)尺（量表）量和分辨率”八種不同概念之間的數(shù)和量的對應(yīng)關(guān)系，從而證明它是當(dāng)今最科學(xué)、簡明、直觀、精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型，并可以造福于當(dāng)今的全人類和社會。

關(guān)鍵詞 楊輝三角數(shù)表 幾何量數(shù)學(xué)模型 幾何量統(tǒng)計公式 幾何量函數(shù)表

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.06.017

Abstract Yang Hui triangle is derived from“2^n”.When N=4. The coefficient ratio of the standard normal distribution is "1：4：6：4：1".Its mathematical model of geometric quantity was invented by mathematician Zhu Shijie in the Yuan Dynasty year 1299. But this invention has been lost in the official， only in folklore. According to the "16"words formula， the mathematical model of standard normal distribution has been reconstructed and its statistical formula has been derived. The correspondence between the number and the amount of the eight concepts （frequency percent the sum total amount average median volume scale resolving power） has been uncovered. This indicates that it is the most scientific and intuitive accurate standard normal mathematical model. It can be used in modern society.

Key words Yanghui Number of Triangle Table； Mathematical Model of Geometrical Quantity； Statistical Formula of Geometrical Quantity； Function Table of Geometrical Quantity

1 楊輝三角數(shù)表

我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，早在1262年的“詳解九章算法”中，用三角數(shù)表展示出二項式展開系數(shù)對稱分布的規(guī)律。在各種對稱分布中，自然數(shù)為偶數(shù)（2、4、6…）項時，其對稱分布為單峰型，為奇數(shù)（1、3、5…）項時，對稱分布為雙峰型。在所有單峰型中，N=4的分布頻數(shù)比是“1：4：6：4：1”，累加總數(shù)為16，分別對應(yīng)的量表數(shù)為（1、2、3、4、5）如圖1。

2 楊輝三角標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型①

3 楊輝三角標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量統(tǒng)計公式（表1）

3.1 以頻數(shù)為自然數(shù)計算累加百分位：累加頻數(shù)/總數(shù)

計算16個單個方形面積和累加方形面積與總面積的比例及其百分率：16塊方塊的總面積為“1”，計算單個方塊和累加方塊分別在總面積中所占的比例及其百分率，即是古代“斤求兩與兩求斤”16字口訣：一退625（0.0625）、二125（0.125）、三1875（0.1875）、四25（0.25）、五3125（0.3125）、六375（0.375）、七4375（0.4375）、八作5（0.50）、九5625（0.5625）、十625（0.625）、十一6875（0.6875）、十二75（0.75）、十三8125（0.8125）、十四875（0.875）、十五9375（0.9375）、十六為1（圖3）。四個閾值點（量表）對應(yīng)的累加頻數(shù)分別為“1”，百分位為（6.25%），累加頻數(shù)為“5”，對應(yīng)的百分位為（31.25%），累加頻數(shù)為“11”對應(yīng)的百分位為（68.75%），累加頻數(shù)為“15”，對應(yīng)的百分位（93.75%），累加頻數(shù)為“16”對應(yīng)百分位為（100%）。圖3標(biāo)明，頻數(shù)“1”對應(yīng)的量表區(qū)為“1”和“5”；頻數(shù)“4”對應(yīng)的量表區(qū)為“2”和“4”；頻數(shù)“6”對應(yīng)的量表區(qū)為“3”?？捎萌说奈鍌€手指為例，來說明頻數(shù)和量表的關(guān)系：豎起大拇指為“優(yōu)”（100～90）、伸出食指為“良”（90～80）、中指為“中”（80～70）、無名指為“及格”（70～60）、小拇指為“差”（60以下）；五個手指的四個縫隙為量塊的界線，手指圖上的“1、2、3、4”為四個閾值點，“0”和“5”為起點和終點，六點、五區(qū)、四個閾值點。閾值點是性質(zhì)變化界點，多0.1分為“優(yōu)”、少0.1 分則為“良”，同理則為“中”、“及格”和“不及格”之分。真可謂是差之毫厘，微量的變化就會導(dǎo)致質(zhì)級的差異。

3.2 以量表為自然數(shù)計算對應(yīng)的頻數(shù)和累加百分位②

分辨率分別擴(kuò)大一個數(shù)量級，即計算160個單個方塊面積和累加方塊面積與總面積的比例及其百分率；依次類推，量表量可分別擴(kuò)大、百倍、千倍、萬倍等。根據(jù)朱世杰的16字口訣，即可計算出五級百分位的精確函數(shù)值，用表格的形式表示，即是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的函數(shù)表。

3.3計算總量、平均量和中位量

傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)正態(tài)分布為點數(shù)量數(shù)學(xué)模型：頻數(shù)比（1：4：6：4：1）對應(yīng)的量表為（1、2、3、4、5），因此總量=48，均量=48/16=3，中位量天經(jīng)地義地也等于3 。兩個模型中位量的差異為0.5個單位?？倲?shù)量越大，差異量越小。以至于可以忽略不計。因此傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)也可稱為宏觀統(tǒng)計學(xué)，允許誤差為“0.5”，它是開放系統(tǒng)的概率估算值。總誤差接近為“0”，總面積接近為“1”；而古代朱世杰的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型則是封閉系統(tǒng)獨立事件的精準(zhǔn)計量學(xué)。因為它將量塊的中心量和量塊的邊端量區(qū)別開了（圖3）。

4 高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計公式、數(shù)學(xué)模型和函數(shù)表

4.1 高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計公式④

4.3 高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表⑤

高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)學(xué)模型是均分為“0”，標(biāo)準(zhǔn)差為“1”的鐘形面積圖（圖5） ，而楊輝三角幾何量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)學(xué)模型是中位量為“2.5”量表幅度為“0-5”，頻數(shù)比為（1：4：6：4；1）的塔形數(shù)學(xué)模型，二者標(biāo)準(zhǔn)差相同，皆為“1”。但是二者幾何圖形則不同。量塊塔形幾何圖形的量塊，可見、可數(shù)、可計算，而鐘形的面積幾何圖則是意象型圖形，其統(tǒng)計公式的推導(dǎo)，非常人所能理解，其函數(shù)值為概率估算值，非精確計算值；無頻數(shù)、百分率、量表量及其對應(yīng)總量；鐘形面積幾何圖只能與橫軸無限接近，永遠(yuǎn)不可能與橫軸相交，屬開放型系統(tǒng)，面積總和只能接近“1”，永遠(yuǎn)不可能等于“1”，而楊輝標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型，則是簡單的幾何方塊面積圖，在二維坐標(biāo)圖上是封閉型的自檢系統(tǒng)，誤差總和為“0”，面積總和為“1”。

楊輝標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布塔形總面積由16塊均等的長方塊面積組成。從圖3可見，塔形總面積轉(zhuǎn)換成三角形總面積，后者丟失標(biāo)記為“？”三角形面積的1/64，對稱分布的另一面也為1/64，二者之和為丟失的總面積1/32；若二項式的5次方展開的塔形總面積，則由32塊均等長方塊構(gòu)成，標(biāo)記為“？”三角形面積為1/128，二者之和為丟失的總面積則為1/64；由此可以推斷，從長方形面積轉(zhuǎn)換成三角形面積或鐘形面積的過程中，群體總數(shù)愈大，丟失的面積則越小，二者的面積趨向“等同”，但是不會“相同”，誤差永遠(yuǎn)存在。而“1299年朱世杰16字口訣”的封閉系統(tǒng)中量塊面積，用算術(shù)四則運算方法即可計算出精確的函數(shù)值，其誤差為“0”。漸變形的三角形幾何面積圖變形，構(gòu)成意向性高斯鐘形幾何面積圖，其總面積只能接近于“1”，永遠(yuǎn)不會等于“1”。通過高斯標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布統(tǒng)計公式計算出的值，則是高斯標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率估算值。

5楊輝與高斯閾值量比較

楊輝標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有顯著的閾值點，而高斯鐘形幾何圖沒有明顯的閾值點；前者根據(jù)16字口訣就能報出每一分的函數(shù)值，后者無法直接計算只能查高斯函數(shù)值表。兩個函數(shù)表相比，其精準(zhǔn)度不同（圖4）：A區(qū)總量的差別=7%6.25%= 0.75%，B區(qū)總量的差別=25%-24%=1%，C區(qū)總量差別=38%37.5% = 0.5%。閾值點累加量的差別：A點：0.070.0625= 0.75%，B點31%31.25%= 0.25%，C點：69%68.75%= 0.25%，D點：93%93.75%= 0.75%。

6 結(jié)論

楊輝三角標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾何量數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出的16字口訣和五級百分函數(shù)值，它屬于社會公用普通大眾通俗易懂的五指幾何量數(shù)學(xué)模型和函數(shù)值，它具有更廣泛和更深層次的應(yīng)用價值和前景。例如，在教育統(tǒng)計考試成績，社會公用計量標(biāo)準(zhǔn)的研究中，它可以證明“中國傳統(tǒng)的五級百分制”是“群體考試成績社會公用計量標(biāo)準(zhǔn)中最科學(xué)的一種，它能為學(xué)業(yè)成績等級劃分和學(xué)業(yè)等級點平均分（GPA）的計算提供科學(xué)依據(jù)，從而能夠結(jié)束國內(nèi)外考試成績計量標(biāo)準(zhǔn)的混亂現(xiàn)象；進(jìn)而能使它成為“群體考試成績社會公用計量”標(biāo)準(zhǔn)，即國家標(biāo)準(zhǔn)和國際標(biāo)準(zhǔn)提供科學(xué)依據(jù)。

注釋

① 李德明，王傲勝.計量學(xué)基礎(chǔ).同濟(jì)大學(xué)出版社，2007.

② 黃裕泉，樊正忠.遺傳學(xué).北京：高等教育出版社，1989.

③ 趙壽元，黃裕泉.人類遺傳學(xué)概論.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1996.

④⑤張厚粲，徐建平.現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計學(xué).北京師范大學(xué)出版社，2009.