滾珠絲杠副軸向靜剛度的建模與研究*

黃露郎，王科社，查初亮

（1.北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院北京 100192；2.北京機(jī)床研究所，北京 100102）

滾珠絲杠副軸向靜剛度的建模與研究*

黃露郎1，王科社1，查初亮2

（1.北京信息科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院北京 100192；2.北京機(jī)床研究所，北京 100102）

針對(duì)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)軸向靜剛度，考慮兩端固定安裝絲杠彈性變形，結(jié)合滾珠絲杠?chē)?guó)家標(biāo)準(zhǔn)，運(yùn)用赫茲接觸理論，建立了兩端固定支撐雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠的軸向靜剛度模型。然后對(duì)各個(gè)參數(shù)對(duì)模型產(chǎn)生的影響進(jìn)行了分析。結(jié)果表明使用優(yōu)良性能的新材料，使用先進(jìn)的熱處理技術(shù)能夠增大絲杠軸向剛度，提高絲杠的綜合性能；提高絲杠的生產(chǎn)質(zhì)量能夠減小絲杠幾何尺寸誤差，提高絲杠軸向剛度；優(yōu)化絲杠結(jié)構(gòu)參數(shù)，適當(dāng)增大絲杠接觸角和導(dǎo)程以及雙螺母預(yù)緊力能夠提高絲杠軸向剛度，提高絲杠精度水平。研究結(jié)果能夠作為提高絲杠軸向剛度的重要參考，指導(dǎo)絲杠設(shè)計(jì)制造。

滾珠絲杠；靜剛度；軸向變形；赫茲接觸

0 引言

隨著我國(guó)數(shù)控裝備水平的不斷提高，數(shù)控機(jī)床正在向著高速、高精度方向發(fā)展。滾珠絲杠副作為數(shù)控機(jī)床的關(guān)鍵零部件，其性能直接影響機(jī)床的加工精度［1］。滾珠絲杠副的軸向剛度是影響定位精度的重要因素，特別是在機(jī)床傳傳動(dòng)系統(tǒng)中，滾珠絲杠副軸向剛度往往是比較薄弱的環(huán)節(jié)［2］。一般數(shù)控機(jī)床在工作時(shí)，絲杠會(huì)受到軸向載荷的作用。絲杠、螺母、滾珠都會(huì)受力變形，影響機(jī)床的加工精度。研究滾珠絲杠副的軸向靜剛度具有重要的意義［3］。

由于影響絲杠剛度的因素有很多，各種線性、非線性因素都會(huì)影響絲杠的軸向剛度。制造絲桿本身的材料特性會(huì)影響絲杠軸向剛度；滾珠與絲杠、螺母的接觸會(huì)產(chǎn)生彈性變形，滾珠絲杠副滾道和滾珠的幾何尺寸、滾珠的材料特性會(huì)影響其接觸性能，繼而會(huì)影響絲杠傳動(dòng)的軸向剛度。因此難以建立滾珠絲杠精確的軸向剛度的數(shù)學(xué)模型。山東大學(xué)的許向榮、宋現(xiàn)春根據(jù)赫茲接觸理論建立了單螺母滾珠絲杠副的軸向剛度計(jì)算公式，并分析了其印象因素，提出了改進(jìn)措施［9］；南京理工大學(xué)馮虎田、徐鳳翔建立了絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)剛度的模型，對(duì)滾珠絲杠副軸向靜剛度簡(jiǎn)化模型進(jìn)行了仿真分析，驗(yàn)證了模型的合理性［4］；北京工業(yè)大學(xué)的胡建忠、王明綜合考慮絲杠、滾珠和螺母的幾何參數(shù)，結(jié)合赫茲接觸理論建立了雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸剛度模型［5］。本文綜合考慮絲杠制造因素，考慮兩端固定安裝滾珠絲杠的軸向變形和雙螺母的預(yù)緊力影響，建立了滾珠絲杠副軸向靜剛度模型，并且對(duì)影響絲杠軸向剛度的各個(gè)影響因素進(jìn)行了分析，結(jié)論可以作為增大絲杠軸向靜剛度、提高絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)定位精度的依據(jù)。

1 滾珠絲杠副軸向靜剛度的建模

式（1）中，far為精度系數(shù)，它是由制造過(guò)程中的行程變動(dòng)量、表面粗糙精度接觸角等因素引起的，依據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，不同的精度等級(jí)取不同的精度系數(shù)。求得滾珠絲杠副軸向靜剛度Rs，螺母和絲杠的軸向靜剛度Rn/s，滾珠與滾道接觸點(diǎn)的軸向靜剛度Rb/t，則可以根據(jù)精度等級(jí)確定滾珠絲桿副軸向精度。

2 滾珠絲杠的軸向靜剛度分析

2.1 兩端固定安裝的絲杠的軸向剛度

絲杠兩端固定安裝所收到的反力分別為N1和N2，螺母上受到軸載荷為F，載荷作用點(diǎn)距絲杠右端距離為ls2，絲杠兩安裝點(diǎn)之間的距離為ls，如圖1所示，則由絲杠受力平衡關(guān)系可得

圖1 兩端固定安裝絲杠受力示意圖

2.2 螺母與絲杠的軸向靜剛度

求滾珠螺母的軸向靜剛度可以將滾珠螺母體看作是受“內(nèi)部壓力”（滾珠法相推力的徑向分量）的厚壁圓筒，將滾珠絲杠看作是受“外部壓力”（滾珠法相推力的徑向分量）的圓柱體。在假設(shè)滾珠絲杠是實(shí)心或者有深孔，并且滾珠絲杠和滾珠螺母體的彈性模量和泊松比相同的情況下，由國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)［7］可得滾珠螺母體和滾珠絲桿的軸向剛度為：

式（8）中：Dc=Dpw+Dwcosβ，Dpw是節(jié)圓直徑，Dw是滾珠直徑，i為承載滾珠的圈數(shù)，Ph為導(dǎo)程，β為接觸角，Dc滾珠螺母上接觸點(diǎn)處的直徑，D1滾珠螺母的外徑，dc滾珠絲杠副接觸點(diǎn)處的直徑，db0表示中空絲杠的孔深直徑，當(dāng)絲杠是實(shí)心時(shí)，db0=0。

對(duì)于雙螺母滾至絲杠副，螺母與絲杠的軸向靜剛度R2n/s=2Rn/s，Rn/s單位為N/μm。

2.3 雙螺母絲杠副的接觸剛度

雙螺母滾珠絲杠副采用雙螺母結(jié)構(gòu)，能夠成倍的提高滾珠與絲杠、螺母的接觸面積，提高絲杠剛度，因而得到了廣泛的應(yīng)用。圖2所示為雙螺母結(jié)構(gòu)，螺母A和螺母B中間裝有墊片，墊片的預(yù)緊力為FP，法向預(yù)緊力為PP，滾珠在A點(diǎn)和B點(diǎn)分別受到法向力PA和PB，滾珠數(shù)目為Z，螺旋升角為λ，接觸角為β，軸向載荷為F。法向力與軸向力之間的關(guān)系為

圖2 雙螺母結(jié)構(gòu)受力示意圖

μ1，μ2為絲杠和螺母的泊松比，E1，E2為絲杠和螺母的彈性模量。Ks（）e和Kn（）e為絲杠和螺母與滾珠接觸處對(duì)偏心距的第一類(lèi)完全橢圓積分。mna和msa為絲杠和螺母與滾珠接觸處橢圓長(zhǎng)半軸系數(shù)；ρn和ρs為絲杠和螺母滾道的主曲率。

在軸向工作載荷F作用下，記A點(diǎn)滾珠所收到的總法向力為PA，則在PA作用下，對(duì)應(yīng)螺母的軸向變形量δ為

現(xiàn)就規(guī)格型號(hào)為FFZD4010-3的絲杠進(jìn)行代入數(shù)值計(jì)算。并結(jié)合公式改變相關(guān)參數(shù)，分別得Rs，Rn/s和Rb/t隨參數(shù)的變化情況。

如圖3所示，在使用新材料，增大絲杠彈性模量的情況下，絲杠軸向剛度Rs增大。圖中還列舉了三種不同長(zhǎng)度絲杠對(duì)于改變彈性模量剛度改變的敏感性，表明增大絲杠彈性模量對(duì)于短絲杠作用較為明顯。

圖4所示為在計(jì)算螺母與絲杠的軸向靜剛度Rn/s的過(guò)程中，絲杠剛度與接觸角的關(guān)系。可以看出，在導(dǎo)程一定，即Ph=0.01的情況下，螺母和絲杠的剛度隨接觸角的增大而增大。實(shí)際生產(chǎn)中，通常接觸角取45°。

根據(jù)式（8）和圖5可知，螺母與絲杠的軸向靜剛度隨導(dǎo)程的增大呈線性增大。適當(dāng)增大導(dǎo)程能夠提高絲杠軸向剛度。

圖3 絲杠剛度與彈性模量的關(guān)系

圖4 絲杠剛度與接觸角的關(guān)系

圖5 絲杠剛度與導(dǎo)程的關(guān)系

圖6 絲杠剛度與預(yù)緊力的關(guān)系

圖6所示為絲杠剛度與預(yù)緊力的關(guān)系，在不改變滾道曲率，不改變絲杠材料的情況下，適當(dāng)提高預(yù)緊力可以增大絲杠軸向剛度；增加滾珠數(shù)目也可以提高絲杠剛度。

3 影響軸向剛度的因素分析

滾珠絲杠副軸向剛度是機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)定位精度的重要影響因素［9］。對(duì)影響軸向剛度的因素進(jìn)行分析，可以指導(dǎo)改進(jìn)絲杠設(shè)計(jì)，優(yōu)化絲杠設(shè)計(jì)參數(shù)，提高機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)精度［10］。

由式（1）及其各部分的表達(dá)式可知，影響絲杠軸向靜剛度的因素很復(fù)雜，存在各種線性和非線性的影響因素。根據(jù)兩端固定安裝絲杠的軸向剛度表達(dá)式Rs，絲杠長(zhǎng)度和螺母所處位置影響兩端固定安裝絲杠的軸向剛度；由滾珠/螺母的軸向靜剛度表達(dá)式Rn/s可知，滾珠絲杠副是否中空，滾珠圈數(shù)和絲杠導(dǎo)程以及接觸角直接影響滾珠/螺母的軸向靜剛度；雙螺母滾珠絲杠副接觸剛度涉及到赫茲接觸應(yīng)力的計(jì)算，由Rb/t表達(dá)式可知，滾珠絲杠副材料特性，幾何尺寸影響絲杠副接觸剛度，滾珠數(shù)目，預(yù)緊力大小，接觸角、螺旋升角對(duì)絲杠接觸剛度也有影響。此外精度系數(shù)也會(huì)影響到絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)軸向靜剛度的計(jì)算，制造絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)各個(gè)部分的材料特性，如彈性模量會(huì)影響到軸向靜剛度計(jì)算的各個(gè)方面［11］。

因此為了提高機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)精度，增大絲杠軸向靜剛度，可以從以下幾個(gè)方面改進(jìn)：①提高制造絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的材料品質(zhì)和加工工藝。傳統(tǒng)材料如高碳軸承鋼、高強(qiáng)度模具鋼加上先進(jìn)的熱處理技術(shù)已經(jīng)能夠使絲杠剛度表現(xiàn)良好的性能，新材料的研制和應(yīng)用（如小尺寸氧化硅陶瓷球制作滾珠，各種剛硬度、大彈性模量的材料的研制）能夠極大地提高絲杠剛度，保證絲杠綜合性能。②提高絲杠副生產(chǎn)制造品質(zhì)。如保證絲杠生產(chǎn)過(guò)程中的形位公差、尺寸公差在精度等級(jí)所允許的范圍內(nèi)，能夠幫助合理選擇精度系數(shù)，計(jì)算絲杠軸向靜剛度。③優(yōu)化絲杠結(jié)構(gòu)參數(shù)。優(yōu)化改變滾道參數(shù)，如優(yōu)化設(shè)計(jì)滾道內(nèi)截面曲率，適當(dāng)增大滾道螺旋升角，適當(dāng)增加導(dǎo)程，增加滾珠圈數(shù)和滾珠數(shù)目可以提高絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)軸向靜剛度。此外，對(duì)于雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副，適當(dāng)增大預(yù)緊力也可以增大滾珠與滾道接觸點(diǎn)的靜剛度，提高絲杠的軸向靜剛度。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的靜剛度進(jìn)行了建模，分析了影響絲杠軸向靜剛度的各個(gè)因素，結(jié)果表明：①提高絲杠材料彈性模量可以提高絲杠軸向靜剛度，采用新材料制作滾珠絲杠，使用新的熱處理技術(shù)能夠極大地提高絲杠軸向剛度，提高絲杠精度和綜合性能。②提高絲杠生產(chǎn)品質(zhì)，嚴(yán)格保證生產(chǎn)質(zhì)量能夠保證絲杠精度，提高絲杠軸向剛度。③優(yōu)化設(shè)計(jì)絲杠結(jié)構(gòu)參數(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)滾道內(nèi)截面曲率，適當(dāng)增大滾道螺旋升角，適當(dāng)增加導(dǎo)程，增加滾珠圈數(shù)和滾珠數(shù)目，適當(dāng)增大預(yù)緊力可以提高絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)軸向靜剛度。

［1］Fukada S，F(xiàn)ang B，Shigeno A.Experimental analysis and simulation of nonlinear microscopic behavior of ball screw mechanism for ultra-precision positioning［J］.Precision Engineering，2011，35（4）：650-668.

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（編輯 趙蓉）

M odeling and Analysis of Axial Static Rigidity of Ball Screw

HUANG Lu-lang1，WANG Ke-she1，ZHA Chu-liang2
（1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Beijing Information Science&Technology University，Beijing 100192，China；2.Beijing Machine Tool Research Institute，Beijing 100102，China）

Based on axial static rigidity of lead screw transm ission system，considering both ends fixed installation screw elastic deformation，combined w ith the national standard for ball screw，by using the Hertz contact theory，both ends fixed support double nut and tighten the axial static rigidity model of ball screw is set up.Then the impacts of various parameters on the model are analyzed.Results show that the using of excellent property new materials，and the using of advanced heat treatment technology can increase the screw axial stiffness and improve the comprehensive performance of screw；To improve the quality of production of a ball screw can reduce the screw geometry and size error and help improve the screw axial stiffness；To optimize structural parameters of screw，such as to increase screw contactangle，lead and axial preload stiffness of double nut screw appropriately can improve axial stiffness and improve the level of precision of screw.Research results can serve as important reference to improve screw axial stiffness and guide screw design and manufacture.

ball screw；static rigidity；axial deformation；hertz contact

TH132；TG506

A

1001-2265（2015）08-0039-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.010

2014-10-24；

2014-11-24

人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新試驗(yàn)項(xiàng)目（PXM2014_014224_000087）

黃露郎（1988-），男，武漢人，北京信息科技大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，機(jī)械機(jī)構(gòu)彈性理論，（E-mail）noland11218 @163.com。