基于改進元胞遺傳算法的蝸桿傳動多目標優(yōu)化設計*

基于改進元胞遺傳算法的蝸桿傳動多目標優(yōu)化設計*

張 屹，余竹瑪，鄭小東，陳 平
（三峽大學機械與動力學院，湖北宜昌 443002）

建立了以蝸輪的齒冠體積最小、相對滑動速度最小和中心距最小為目標函數(shù)，以滿足蝸輪蝸桿強度和剛度等條件為約束條件的多目標優(yōu)化模型，提出了一種自適應差分進化的多目標元胞遺傳算法。該算法針對多目標元胞遺傳算法的特點，結(jié)合差分進化中不同進化策略的特性，將兩種不同的進化策略融合為一種新的差分進化策略，得到一種參數(shù)自適應控制的多目標元胞差分遺傳算法。將該算法同其他典型的多目標進化算法在標準測試函數(shù)上進行性能對比試驗，結(jié)果顯示所提出的算法相比其他算法具有更好的收斂性和分布性。工程實例的求解證明了該算法可有效解決相關實際問題。

元胞遺傳算法；蝸桿傳動；多目標優(yōu)化設計

0 引言

蝸桿傳動是一種以嚙合形式的螺旋式傳動，有著傳動平穩(wěn)、振動小、噪音低等優(yōu)點，且具有自鎖功能，被廣泛用于各種機械設備中。一般情況下，設計蝸桿傳動為類比法設計，其設計周期比較長，并且無法確定最終的方案是否是最佳方案，因此新的蝸桿傳動設計方法就顯得非常重要。

近年來，關于蝸桿傳動的優(yōu)化設計很多，文獻［1］將蝸輪蝸桿傳動優(yōu)化設計處理成了單目標優(yōu)化問題，無法獲得綜合性能最優(yōu)的實施方案。文獻［2］對蝸桿傳動設計利用模糊理論來確定最優(yōu)解，其結(jié)果易受到模糊準則選取的影響。文獻［3］中的蝸桿傳動的多目標優(yōu)化問題的結(jié)果受到加權(quán)系數(shù)的影響。元胞遺傳算法是一種適合求解多目標優(yōu)化問題［4-5］的算法，文獻［6］運用元胞多目標三維空間結(jié)構(gòu)對機床主軸進行多目標優(yōu)化求解，所得結(jié)果優(yōu)于NSGA-II。本文利用改進的元胞遺傳算法來求解蝸桿傳動多目標優(yōu)化設計問題，同時將結(jié)合不同的差分策略的特點，得到一種自適應差分元胞多目標遺傳算法。將所得算法同其他經(jīng)典多目標優(yōu)化算法進行性能比較，最后將該算法應用于蝸桿傳動的多目標優(yōu)化設計，獲得其Pareto前端曲線，同時與常規(guī)設計方案進行對比分析，進而驗證算法的有效性，為蝸

桿傳動的多目標優(yōu)化設計提供一定依據(jù)。

1 蝸桿傳動優(yōu)化模型

1.1 設計變量的選擇

蝸桿的傳動的主要設計參數(shù)有蝸桿頭數(shù)z1，模數(shù)m和蝸桿的分度圓的直徑d1。因此選擇X=為優(yōu)化設計變量。

1.2 目標函數(shù)的建立

1.3 約束條件的確定

根據(jù)相關設計文獻［2］，蝸桿傳動的優(yōu)化設計需要滿足以下約束條件。

2 改進的元胞遺傳算法

差分進化［7］是由Storn和Price于1995年提出的一種基于種群的簡單高效的全局優(yōu)化算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、容易使用、魯棒性強等優(yōu)點。差分進化算法中最重要的算子是差分變異算子，根據(jù)變異個體的生成方法不同，形成了多種不同的差分進化算子，其表示形式一般為“DE/a/b”，其中“DE”表示差分進化算法；“a”代表基向量的選擇方式，一般有rand和best兩種；“b”表示算子中差分向量的個數(shù)。在多個變異算子中，比較常用的有DE/rand/1和DE/best/1兩個版本。在DE/rand/1中，待差分的個體是由種群中三個互不相同的隨機個體組成，不需要任何適應值信息，有利于保持種群的多樣性，因此其全局搜索能力較強，但收斂速度較慢。DE/best/1版本變異個體vti由xtbest作引導，因而其具有較強的局部搜索能力和較高的收斂精度，收斂速度也比較快，但算法陷入局部收斂的可能性也增大。根據(jù)這兩種不同變異模式的特點，在算法中更希望把這兩種變異模式進行折中，即在算法的進化前期以DE/rand/1為主，而在進化后期以DE/best/1為主，在變異算子中不僅考慮隨機個體起的全局搜索的作用，也考慮最優(yōu)個體所起的局部尋優(yōu)的作用。為此，本文提出一種新的變異方案，其變異操作為：其中，λ∈［0，1］。從式（1）中可以看出，當λ=0時，該變異操作即為DE/rand/1方案，而當λ=1時，式（1）等價為DE/best/1方案。一般說來，優(yōu)異的進化算法要求在進化初始階段具有較強的全局搜索能力，以盡快地發(fā)現(xiàn)可能的全局最優(yōu)解。而在進化后期，則要求具有較強的局部尋優(yōu)能力，以提高算法的收斂精度和收斂速度。當λ由0逐漸遞增為1時，xr1的權(quán)重逐漸減小而xbest的權(quán)重逐漸增加，從而可以保證算法既有較強的全局搜索能力同時又具有較快的收斂速度和較高的收斂精度，即在全局搜索和局部尋優(yōu)之間達到平衡。為此，根據(jù)sigmoid函數(shù)來自適應調(diào)整參數(shù)λ，其表達式為：

這種自適應調(diào)整的原理來自于sigmoid函數(shù)。Sigmoid函數(shù)在線性與非線性行為之間顯現(xiàn)出較好的平衡，擁有較平滑的頂部和底部，可以有效地保證全局搜索和局部尋優(yōu)之間的平衡。

雜交算子把通過變異算子產(chǎn)生變異向量Vi，D=［vi，1，…vi，j，…，vi，D］與父個體向量Xi=［xi，1，…xi，j，…，xi，D］進行離散雜交得到嘗試向量Ui=［ui，1，…，ui，j，…，ui，D］。具體方法為：對變異向量的每一維vi，j，生成產(chǎn)生一個［0，1］之間的隨機數(shù)rand和［1，D］之間的隨機整數(shù)jrand，如果rand＜CR或者j=jrand，那么ui，j=vi，j，否則ui，j=xi，j，其具體表達式為：

在DE算法中有3個控制參數(shù)，即群體大小NP、縮放因子F和雜交概率CR。一般而言，這些控制參數(shù)會影響算法搜索最優(yōu)解和收斂速度，如較小的F值會加速算法收斂，但容易使算法陷入局部收斂?，F(xiàn)有的多目標進化算法中多采用固定的參數(shù)設置，難以滿足多目標優(yōu)化的需求。因此在本文算法中，結(jié)合模擬退火策略來自適應動態(tài)調(diào)整參數(shù)CR和F，其具體表達式如下：

式（1）～（5）中，t為當前進化代數(shù)，T為最大進化代數(shù)。相比基本差分策略，該策略具有如下特點：

（1）在算法的初始階段，以全局搜索為主，有利于快速找到最優(yōu)解，加快了收斂速度；

（2）在算法的后期，隨著非支配解的增多，充分發(fā)揮最優(yōu)個體的引導作用，有利于維持算法的多樣性和局部搜索能力；

（3）該算子具有變異步長和搜索方向自適應能力，能根據(jù)不同目標函數(shù)場景進行自動自適應調(diào)整。

CombCellDE的原理圖如圖1所示。

圖1 CombCellDE的原理圖

首先將種群中的個體置于二維拓撲網(wǎng)格中，同時為每個個體分配鄰居。針對當前中心個體，從其鄰居中隨機選擇兩個個體和從外部文檔中隨機選擇一個個體作為待變異的四個父代個體，然后對這4個個體進行自適應的差分操作得到子代個體。如果子代個體優(yōu)于父代個體，則用其替換掉當前中心個體同時將其加入外部文檔中，如果父代個體和子代個體互不支配，則將子代個體加入鄰居中，對鄰居進行非支配排序操作并將最差個體放入外部文檔中。其具體流程如下：

Step1：算法參數(shù)設置：種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)T，變異概率Pm，縮放因子F的上下限Fmax、Fmin和交叉概率的上下限CRmin、CRmax等；

Step2：設置迭代計數(shù)器t=0；

Step3：對每個個體按照本文提出的差分策略進行差分操作；

Step4：對得到的子代個體進行多項式變異操作；

Step5：評估子代個體，更新當前種群和外部文檔；

Step6：更新計數(shù)器t，判斷是否達到最大迭代次數(shù)。若是，則輸入外部文檔作為最優(yōu)Pareto前端，否則轉(zhuǎn)到Step3。

3 算法性能測試與分析

為了測試本文提出的算法在多目標優(yōu)化問題上的性能，將本文提出的算法同NSGA-II［8］、MOCell［9］、CellDE［10］三種性能優(yōu)異的的算法在ZDT［2］系列測試函數(shù)和兩個約束測試函數(shù)上進行性能測試，并在相同的評價指標下對算法的優(yōu)化性能進行分析。

3.1 算法性能指標

（1）收斂性指標（Epsilon）

假設Pareto前端集合為A，那么EPSILON指標［11］是移除A中每個個體所需要的最小距離的一個尺度。其具體形式是：假設，其中n是問題的目標維數(shù)：

（2）分布指標（Spread）

Deb提出的分布指標［8］是衡量所得的Pareto前端解集的分布情況。其計算公式如下：

其中，di為所得Pareto前端上每兩個連續(xù)解點的歐氏距離，ˉd為這些歐氏距離的平均距離，df和dl分別為所得Pareto前端的邊界點與Pareto最優(yōu)邊界點的歐氏距離，n是所得Pareto前端個體的數(shù)目。對于分布均勻的解來說，該指標取0。因此，該指標的值越小表明分布程度越均勻。

（3）超體積（Hypervolume）

超體積是用來計算獲得的Pareto解集個體在目標域所覆蓋的體積［12］。計算公式為：

式中，Q為所獲得的Pareto前端的個數(shù)。對于這個Pareto前端中的每一個體i，vi是由參考點w=（0，…，0）和成員i所形成的超體積，此指標越大表明所得的Pareto解集能寬廣地覆蓋在其前端上。

3.2 測試結(jié)果與分析

上述四種算法均采用實數(shù)進行編碼和多項式變異算子。NSGA-II和MOCell采用SBX交叉算子，CellDE是在MOCell的基礎上用差分算子取代了SBX［13］交叉，其參數(shù)CR=0.1，F(xiàn)=0.5，CombCellDE采用上述的自適應差分進化算子，其CRmin=0.3，CRmax=0.8，F(xiàn)min=0.3，F(xiàn)max=0.8，。這四種算法的種群規(guī)模均為100，最大評價次數(shù)均為25000，交叉概率均為0.8，變異概率為1/len（len為決策變量的個數(shù)）。四種算法分別對測試函數(shù)進行30次獨立運算，統(tǒng)計三個指標的平均值和方差，最優(yōu)值用深灰色表示，次優(yōu)值用淺灰色表示。

表1 分布指標平均值和標準差

表2 收斂性指標平均值和標準差

表3 超體積平均值和標準差

從表1的分布性指標來看，在7個最優(yōu)值中，CombCellDE占了5個，MOCell占了2個，NSGA-II和Cell-DE均沒有獲得最優(yōu)值。這表明CombCellDE所獲得的最優(yōu)前端的分布性最好，即分布得比較均勻。從表2的收斂性指標Epsilon來看，CombCellDE獲得了5個最優(yōu)值，MOCell獲得了2個最優(yōu)值，同時MOCell獲得了5個次優(yōu)值，NSGA-II獲得了1個次優(yōu)值。性能指標顯示，CombCellDE在解決高維多目標函數(shù)時的收斂性要整體上強于其他三種算法。最后根據(jù)表3的綜合性指標HV分析，CombCellDE獲得了4個最優(yōu)值，MOCell獲得了3個最優(yōu)值，NSGA-II和MOCell均獲得了2個次優(yōu)值，CellDE僅獲得了1個次優(yōu)值，由此表明CombCellDE在HV上的表現(xiàn)同在Spread和Epsilon上的表現(xiàn)是一致的。

4 工程實例求解

設計某減速器中的蝸桿傳動，輸入功率P= 10kW，蝸桿轉(zhuǎn)速n1=1460r/min，工作模式為兩班制，載荷較為平穩(wěn)，傳動比i=20，蝸輪齒冠所選用的材料ZcuSn10P1。要求對蝸桿傳動優(yōu)化設計，在保證蝸桿傳動承載能力和強度的要求下，使蝸輪齒冠體積最小、傳動效率最高和滑移速度最小。

針對上述實例，應用CombCellDE和CellDE進行求解。其參數(shù)設置如下：種群大小N=100，外部文檔為100，最大評價次數(shù)Gmax=25000，變異概率Pm= 1/len（len為變量維數(shù)）。CombCellDE差分算子中CRmin=0.2，CRmax=0.8，F(xiàn)min=0.2，F(xiàn)max=0.8，CellDE中CR=0.5，F(xiàn)=0.5。由兩種算法得到的Pareto前端如圖2所示。

圖2 兩種算法得到的Pareto前端

圖3 中心距與相對滑動速度關系曲線

為了能更清楚的顯示各個目標之間的關系，圖3給出了中心距和相對滑動速度的關系曲線。在圖3中，處于左上方的Pareto前端的解說明其中心距較大同時具有較小的嚙合面相對滑動速度，這表明蝸桿的中心距越大，其嚙合面之間的相對滑動速度越小，傳動效率越高。而對于處在右下方的Pareto前端的解，表明其中心距越小時，其相對速度越大傳動效率也越低。由圖3可以看出，針對中心距和相對滑動速度這兩個目標，CombCellDE得到的Pareto前端要比CellDE得到的Pareto前端的分布更加均勻，并且也具有更好的收斂性。

綜上所述，經(jīng)過圓整，CombCellDE與CellDE相比，表現(xiàn)出一定的優(yōu)勢，將CombCellDE得到的Pareto前端的100個非劣解中單個目標最小的解同常規(guī)設計方案（z1=2，m=9，q=10）進行對比，其對比結(jié)果如表4所示。

表4 結(jié)果對比表

以第一個非劣最優(yōu)解而言，相比常規(guī)設計，其齒冠體積減少了55.4%，傳動效率提高了13.95%，中心距減少了7.09%。由此可見，采用CombCellDE對蝸桿傳動進行優(yōu)化，所得的最優(yōu)方案更多，從而使得在滿足承載能力及強度要求的約束下，蝸輪的齒冠體積更小、傳動效率更高、中心距更小，整體結(jié)構(gòu)較常規(guī)設計更為緊湊。

5 結(jié)論

將改進的差分進化算子融入到多目標元胞遺傳算法中，提出了一種改進的自適應進化的差分元胞多目標遺傳算法。該算法將差分進化的不同策略集成在一起，充分發(fā)揮

不同進化策略的特性，并且采用自適應策略，有效地提升了CombCellDE的收斂性和解集的分布性。性能測試結(jié)果表明，CombCellDE得到的Pareto最優(yōu)前端更加逼近真實Pareto前端且分布均勻。應用該算法求解蝸桿傳動的多目標優(yōu)化設計，所得結(jié)果較常規(guī)設計有了一定的提高。該求解過程及優(yōu)化設計結(jié)果表明該方法避免了常規(guī)設計中盲目選取參數(shù)的不足，具有一定的工程實用價值。

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（編輯 趙蓉）

M ulti-optim ization Design of W orm Transm ission Based on Im proved Cellular Genetic A lgorithm

ZHANG Yi，YU Zhu-ma，ZHENG Xiao-dong，CHEN Ping
（College of Mechanical&Power Engineering，Three Gorges University，Yichang Hubei443002，China）

Taking them inimization of the tooth crown of a worm wheel and the relative sliding speed transm ission efficiency and the distance from the center as objectives，established themodel for themulti-objective optimization under that the worm transmission meet the needs for strength and stiffness and others.An adaptive differential evolution of multi-objective cellular genetic algorithm was proposed.Considering the feature of different differential evolution strategies，a new differential strategy w ith parameter adaptive-controlwas formed.Aim ing at the characteristics of cellularmulti-objective optim ization algorithm，the new improved strategy was integrated into the algorithm.The comparative performance test results reveal that the proposed algorithm outperforms some state-of-the-art algorithms in terms of convergence and diversity.The engineering example proved the algorithm could solve the relevant practical problems effectively.

cellular genetic algorithm；worm transm ission；multi-objective optimization design

TH122；TG65

A

1001-2265（2015）08-0010-05 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.003

2014-12-01；

2014-12-30

國家自然科學基金（51275274）

張屹（1976-），男，蘭州人，三峽大學副教授，博士后，研究方向為智能制造，系統(tǒng)優(yōu)化設計，（E-mail）jxzhangyi1976@126.com。